專題二數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化的創(chuàng)新應(yīng)用問題(教案)

1、專業(yè)文檔 珍貴文檔 專題二數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化的創(chuàng)新應(yīng)用問題 高考命題動(dòng)向，重視數(shù)學(xué)文化 教育部考試中心函件關(guān)于 2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知要求 “增加中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的 考核內(nèi)容，積極培育和踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀，充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導(dǎo)向作用比如, 在數(shù)學(xué)中增加數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容. ”因此，我們特別策劃了此專題，將數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，選取典 型樣題深度解讀. 考情分析 預(yù)測1 :古代數(shù)學(xué)書籍九章算術(shù) 數(shù)書九章等書為背景的數(shù)學(xué)文化類題目. 預(yù)測2 :與高等數(shù)學(xué)相銜接的題目，如幾類特殊的函數(shù)：取整函數(shù)、狄利克雷函數(shù)、符號(hào)函數(shù). 預(yù)測3:以課本閱讀和課后習(xí)題為背景的數(shù)學(xué)文化類題

2、目：輾轉(zhuǎn)相除法、更相減損術(shù)、秦九韶算法、二進(jìn) 制、割圓術(shù)、阿氏圓等. 預(yù)測4:以中外一些經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題為背景的題目如：回文數(shù)、匹克定理、哥尼斯堡七橋問題、四色猜 想等經(jīng)典數(shù)學(xué)小問題. 考點(diǎn)一年份 題型 2017年高考全國卷I 選擇題第4題 2016年咼考全國卷n 選擇題第9題 2015年咼考全國卷I 選擇題第4題 選擇題第6題 015年咼考全國卷n 選擇題第8題 考查角度 考情分析 幾何概型 數(shù)學(xué)文化題是近幾年課標(biāo)全國 卷中出現(xiàn)的新題型預(yù)計(jì)在高 考中，數(shù)學(xué)文化題仍會(huì)以選擇 題或填空題的形式考查，也不 排除以解答題的形式考查，難 度適中或容易. 秦九韶算法 勾股數(shù)、古典 概型 九章算術(shù)、圓 錐體

3、積 更相減損術(shù) 專業(yè)文檔 珍貴文檔 C. c, b 圖完全相同時(shí)”這個(gè)關(guān)鍵條件作答. 為一個(gè)正方形，且兩條對角線為實(shí)線，故選 A. 答案：A 體會(huì)領(lǐng)悟“牟合方蓋”是我國古代利用立體幾何模型和數(shù)學(xué)思想方法解決數(shù)學(xué)問題的代表之一本題 取材于“牟合方蓋”，通過加工改造，添加解釋和提供直觀圖的方式降低了理解題意的難度解題從識(shí) “圖”到想“圖”再到構(gòu)“圖”，考生要經(jīng)歷分析、判斷的邏輯過程另外，我國古代數(shù)學(xué)中的其他著名 幾何體，如“陽馬”“鱉臑”和“塹堵”等的三視圖問題都有可能在高考中考查. 故選B. 答案：B 體會(huì)領(lǐng)悟本題屬于生活中谷物儲(chǔ)存問題，源于九章算術(shù)第五章 “商功”，結(jié)合立體幾何中的基礎(chǔ) 知識(shí)進(jìn)

4、行設(shè)問，強(qiáng)化了數(shù)學(xué)文化的傳承和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)我國古代數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào) “經(jīng)世濟(jì)用”，涉及的 研究大多與實(shí)際生活、生產(chǎn)聯(lián)系緊密，體現(xiàn)出明顯的問題式、綜合性的特征立體幾何中幾何體體積公式 是?？純?nèi)容，例如 2014年湖北卷第10題和2015年高考全國卷I第 6題考查圓錐的體積公式. 例2 “牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體，它 由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合 （牟合）傘（方蓋）其直觀圖如圖1，圖2中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線，當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相 同時(shí)，它的正視圖和俯視圖分別可能是 A a, 思路分析

5、觀察題目所給直觀圖，理解題干中有關(guān) “牟合方蓋”的特征敘述，結(jié)合 “當(dāng)其正視圖和側(cè)視 解析：當(dāng)正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)， “牟合方蓋” 相對的兩個(gè)曲例3我國南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家 祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幕勢既同，則積不容 B a, c 專業(yè)文檔 珍貴文檔 異” “幕”是截面積，“勢”是幾何體的高，意思是兩等高立方體，若在每一等高處的截面積都相等,專業(yè)文檔 珍貴文檔 則兩立方體體積相等已知某不規(guī)則幾何體與如圖所對應(yīng)的幾何體滿足“幕勢同”，則該不規(guī)則幾何體的 體積為（ ） 4 n B IE 思路分析根據(jù)題設(shè)所給的三視圖，想象出圖中所對應(yīng)幾何體是從一個(gè)正方體中挖去一個(gè)半圓柱，再根 據(jù)祖暅

6、原理和有關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算即可. 解析：由祖暅原理可知，該不規(guī)則幾何體的體積與已知三視圖的幾何體體積相等. 根據(jù)題設(shè)所給的三視圖， 可知圖中的幾何體是從一個(gè)正方體中挖去一個(gè)半圓柱，正方體的體積為 23 4 = 8，半圓柱的體積為 1 X （ nX 12） X 2= n,因此該不規(guī)則幾何體的體積為 8 n故選C. 答案：C 體會(huì)領(lǐng)悟祖暅原理是我國古代數(shù)學(xué)家祖暅提出的一個(gè)有關(guān)幾何求積的著名定理，祖 暅提出這個(gè)原理， 要比其他國家的數(shù)學(xué)家早一千多年人民教育出版社數(shù)學(xué)必修 介紹了祖暅原理本題取材于祖 暅原理，考查幾何體的三視圖和體積計(jì)算，既檢測了考生的基礎(chǔ)知識(shí)和基 數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化題 例4九章算術(shù)是我國古代的

7、數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下 三人等問各得幾何？”其意思為：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、 戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列問五人各得多少錢？” （ “錢”是古代的一 種重量單位）這個(gè)問題中，甲所得為（ ） A.5錢 B.p錢 4 3 3 4 C.；錢 D.：錢 思路分析讀懂題意，將古代實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代數(shù)學(xué)問題，本題相當(dāng)于已知等差數(shù)列 an中，前5項(xiàng) 禾口為 5, ai+ a2 = a3+ a4+ a5, 求 ai. 2（A版）第30頁“探究與發(fā)現(xiàn)”中專門 俯視圖 展示了中華民族的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化 專業(yè)文檔 珍

8、貴文檔 4 2ai+ d = 3ai+ 9d, ai = 3, 解析：設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為ai，公差為d,依題意有 5 解得 l2ai + d = 2， Id =- 1, 答案：D 體會(huì)領(lǐng)悟我國古代數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào) “經(jīng)世濟(jì)用”，注重算理算法，其中很多問題可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問題. 例5中國古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日 腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還”其意思為：有一個(gè)人走 378里路, 第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了 6天后到達(dá)目的地，請問第二天走 了 () A. 192 里 B. 96 里 C.

9、 48里 D . 24 里 思路分析讀懂題意，將古代實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代數(shù)學(xué)問題，本題相當(dāng)于：已知等比數(shù)列 1 =2,前 6 項(xiàng)和 S6= 378,求 a2. 則a2= 192 X 2= 96，即第二天走了 96里，故選B. 答案：B 體會(huì)領(lǐng)悟與等差數(shù)列一樣，我國古代數(shù)學(xué)涉及等比數(shù)列問題也有很多，因此，涉及等比數(shù)列的數(shù)學(xué)文 化題也頻繁出現(xiàn)在各級(jí)各類考試試卷中解決這類問題的關(guān)鍵是將古代實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代數(shù)學(xué)問題，掌 握等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和前 n項(xiàng)和公式. 例6意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)： 1,123,5,8，該數(shù) 列的特點(diǎn)是：從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于

10、它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列 an /+ a6 + a2 + + a2 稱為“斐波那契數(shù)列”，則 一27 - 是斐波那契數(shù)列中的第 _ 項(xiàng). a2 015 思路分析本題先根據(jù)題意明確該數(shù)列的遞推公式，再依據(jù)所給式子中項(xiàng)的特點(diǎn)把遞推公式恰當(dāng)變形得 出結(jié)論. 解析：依題意得 a1= a2= 1 , an+ 2= an+ 1 + an, an+ 1 an+ 2= an+ 1 + anan+ 1 ,貝U a2 015a2 016= a2 015+ a2 014a2 015, 2 2 2 a2 014 a2 015 = a2 014 + a2 01382 014, a2 01382

11、014 = a2 013 + a2 01282 013,，a2a3= a2+ a1a2, 2 2 2 2 6 1 2 2 , 2 2 2 2 2 2 2 a1 + a2 + a3+ a2 015 又 a1= a1a2,因此 a2 015a2 016= a2 015 + a2 014+ a2 013+ a2 + a1,即卩 =a2 016, a2 015 故選D. an中，公比q 解析: 設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為 ai,公比為 1 q= 2，依題意有 378,解得 a1= 192, 專業(yè)文檔 珍貴文檔 ai + a2 + a3+ + a2 015 即 是斐波那契數(shù)列中的第 2 016項(xiàng). a2 0

12、15 答案：2 016 體會(huì)領(lǐng)悟該題的命制以人民教育出版社數(shù)學(xué)必修 5（A版）第32頁“閱讀與思考”中的“斐波那契 數(shù)列”為背景，考查考生靈活處理遞推數(shù)列問題的能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力斐波那契數(shù)列有很多有趣的性 質(zhì)，在實(shí)際生活中也有廣泛應(yīng)用在高考中，也曾經(jīng)很多次考查斐波那契數(shù)列問題. 聖算法中的數(shù)學(xué)文化題 例7如圖所示程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的“更相減損術(shù)” 執(zhí)行該 程序框圖，若輸入的 a, b分別為8,12，則輸出的a=（ ） A 4 B 2 C. 0 D 14 思路分析讀懂程序框圖，按程序框圖依次執(zhí)行即可. 解析：由程序框圖輸入的 a= 8, b= 12,按程序框圖所示

13、依次執(zhí)行，可得 b= 12 8 = 4, a= 8; a = 8 4= 4, b = 4, a= b,所以輸出 a = 4.故選A. 答案：A 體會(huì)領(lǐng)悟九章算術(shù)系統(tǒng)總結(jié)了我國古代人民的優(yōu)秀數(shù)學(xué)思想，開創(chuàng)了構(gòu)造算法以解決各類問題的東 方數(shù)學(xué)發(fā)展的光輝道路，這與當(dāng)今計(jì)算機(jī)科學(xué)的飛速發(fā)展對數(shù)學(xué)提出的要求不謀而合本題程序框圖的算 法思路源于九章算術(shù)中計(jì)算兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的 “更相減損術(shù)”算法，2015年高考全國卷n第 8題也是此類問題. 例8秦九韶是我國南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州安岳 （現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的數(shù)書九章中提出 的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法，如圖所示的程序框圖

14、給出了利用秦九韶算法求某 多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入 n, x的值分別為4,3，則輸出v的值為（ ）專業(yè)文檔 珍貴文檔 A. 20 C. 183 思路分析讀懂程序框圖，按程序框圖依次執(zhí)行即可. 解析：初始值n, x的值分別為4,3，程序運(yùn)行過程如下: v= 1, i = 30, v = 1 x 3 + 3 = 6, i = 2 0; v= 6x 3 + 2= 20, i = 1 0; v= 20 x 3+ 1 = 61, i = 0 0; v= 61 x 3+ 0 = 183, i = 1v 0，結(jié)束循環(huán)，此時(shí)輸出 v的值為183.故選C. 答案：C 體會(huì)領(lǐng)悟秦九韶算法是一種將一元 n次多項(xiàng)式

15、的求值問題轉(zhuǎn)化為 n個(gè)一次式的求值問題的算法.其大 大簡化了計(jì)算過程，即使在現(xiàn)代，利用計(jì)算機(jī)解決多項(xiàng)式的求值問題時(shí)， 秦九韶算法依然是最優(yōu)的算法.本 題程序框圖的算法思路源于數(shù)書九章中多項(xiàng)式求值的 例9公元263年左右，我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，多邊形面積可無限 逼近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值 3.14，這就是著名的“徽率” 如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖，則輸出 n的值為 B . 61 D . 548 “秦九韶算法 _ .（參考數(shù)據(jù): sin15 獨(dú) 專業(yè)文檔 珍貴文檔 思路分析讀懂程序框

16、圖，按程序框圖依次執(zhí)行即可.專業(yè)文檔 珍貴文檔 解析：n= 6, S= 2x 6X sin 60 =萼2.598V 3.1,不滿足條件，進(jìn)入循環(huán)； n= 12, S=卜 12X sin 30 3 1 V 3.1,不滿足條件，繼續(xù)循環(huán)； n = 24, S= 2x 24 x sin 15 12x 0.258 8 = 3.105 6 3.1,滿足條件，退出 循環(huán)，輸出n的值為24. 答案：24 體會(huì)領(lǐng)悟更相減損術(shù)、秦九韶算法和割圓術(shù)分別在人民教育出版社數(shù)學(xué)必修 3（A版）第36頁，第 37頁，第45頁“算法案例”中出現(xiàn)其中更相減損術(shù)和秦九韶算法分別在 2015年和2016年高考全國卷 n中考過，因

17、此以后全國卷考查割圓術(shù)的可能性較大. 概率統(tǒng)計(jì)中的數(shù)學(xué)文化題 例10歐陽修的賣油翁中寫到：“（翁）乃取一葫蘆，置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔 入，而錢不濕”可見“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止若銅錢是直徑為 3 cm的圓，中間 有邊長為1 cm的正方形孔，若隨機(jī)向銅錢上滴一滴油 （油滴的直徑忽略不計(jì)），則正好落入孔中的概率是 思路分析將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的幾何概型問題，關(guān)鍵是要求出銅錢的面積和中間正方形孔的面積, 然后代入幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解. 答案: 體會(huì)領(lǐng)悟從中國古代文學(xué)作品中選取素材考查數(shù)學(xué)問題，豐富了數(shù)學(xué)文化題的取材途徑試題插圖的 創(chuàng)新是本題的一個(gè)亮點(diǎn)，其一，

18、增強(qiáng)了數(shù)學(xué)問題的生活化，使數(shù)學(xué)的應(yīng)用更貼近考生的生活實(shí)際；其二， 有利于考生分析問題和解決問題，這對穩(wěn)定考生在考試中的情緒和心態(tài)起到了較好的效果；其三，探索了 數(shù)學(xué)試題插圖的新形式，給出了如何將抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化的范例. 三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)文化題 例11第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計(jì)的. 如圖，會(huì)標(biāo)是由 解析：依題意，所求概率為 12 = 4 n（|） 9 n 專業(yè)文檔 珍貴文檔 四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.如果小正方形的面積為 1，大正方形的面積專業(yè)文檔 珍貴文檔 為25,直角三角形中較大的銳角為 0,那么tan (0+ n)=

19、_ 思路分析本題先根據(jù)題意確定大、小正方形的邊長，再由直角三角形中銳角的三角函數(shù)值確定角 0滿 足的條件，由此依據(jù)相關(guān)的三角函數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算即可. 解析：依題意得大、小正方形的邊長分別是 5,1,于是有5sin 0- 5cos 0= 1(0v 0 0, b 0,則衛(wèi)為a，b的調(diào)和平均數(shù)如圖, 為AB的中點(diǎn)，以AB為直徑作半圓.過點(diǎn) C作AB的垂線交半圓于 D,連接OD , AD , BD.過點(diǎn)C作OD 的垂線，垂足為 E則圖中線段OD的長度是a, b的算術(shù)平均數(shù)，線段 CD的長度是a, b的幾何平均數(shù)， 線段 的長度是a, b的調(diào)和平均數(shù). 思路分析將線段OD , CD融入相關(guān)直角三角形中，利

20、用三角形相似進(jìn)行計(jì)算，再結(jié)合調(diào)和平均數(shù)的定義 即可得到正確結(jié)果. 2 a _+ b 解析：因?yàn)镽tQECRtADCO，所以DD = OD，從而DE = CD依題意可得 OD =廠,CD = ab,所以 2ab DE = ，即線段DE的長度是a, b的調(diào)和平均數(shù). a + bC為線段AB上的點(diǎn)，AC= a, CB = b, O 例 12 不等式中的數(shù)學(xué)文化題 專業(yè)文檔 珍貴文檔 B . D . P和一個(gè)焦點(diǎn)F,題目所給四個(gè)式子涉及長半軸長和半焦距, 因此可以從橢圓的焦距入手求解. 解析：觀祭圖形可知 a1 + C1 a2+ C2,即式不正確；a1 C1 = a2 C2=|PF|,即式正確；由 a

21、1 C1 = a2 a1 C1 a2 C2 a1 a2 C1 C2 C20, C1C20，知 ，即;Ta1C2, 2,即式正確，式不正確.故選 C1 C2 C1 C2 a1 a2 D. 答案：D 體會(huì)領(lǐng)悟命題者抓住“嫦娥奔月”這個(gè)古老而又現(xiàn)代的浪漫話題，以探測衛(wèi)星軌道為背景，抽象出共 答案：DE 體會(huì)領(lǐng)悟早在4世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家帕波斯在其代表作數(shù)學(xué)匯編第 3卷第2部分就給出了算術(shù)平 均、幾何平均、調(diào)和平均三種平均數(shù)的理論嵌入幾何意義考查不等式，凸顯經(jīng)典數(shù)學(xué)名題的深邃內(nèi)涵和 卩題專家的 解析幾何中的數(shù)學(xué)文化題 例13 2016年1月14日，國防科工局宣布，“嫦娥四號(hào)”任務(wù)已經(jīng)通過了探月工程重大專項(xiàng)領(lǐng)導(dǎo)小組