第二講_復(fù)變函數(shù)與解析函數(shù)ppt課件

1、第二講復(fù)變函數(shù)與解析函數(shù)& 1. 復(fù)變函數(shù)的定義復(fù)變函數(shù)的定義& 2. 映射的概念映射的概念& 3. 反函數(shù)或逆映射反函數(shù)或逆映射5 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)1. 復(fù)變函數(shù)的定義復(fù)變函數(shù)的定義與實變函數(shù)定義相類似與實變函數(shù)定義相類似定義定義).(, zfwzwivuwGzfiyxzG 記記作作）的的函函數(shù)數(shù)（簡簡稱稱復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)是是復(fù)復(fù)變變數(shù)數(shù)則則稱稱復(fù)復(fù)變變數(shù)數(shù)與與之之對對應(yīng)應(yīng)就就有有一一個個或或幾幾個個使使得得存存在在法法則則的的非非空空集集合合是是一一個個復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)A 是是多多值值函函數(shù)數(shù). .值值，稱稱多多個個是是單單值值函函數(shù)數(shù); ;值值，稱稱一一個個若若)(

2、)(zfwzzfwz。論的函數(shù)均為單值函數(shù)論的函數(shù)均為單值函數(shù)今后無特別聲明，所討今后無特別聲明，所討面面區(qū)區(qū)域域（定定義義域域）的的定定義義集集合合，常常常常是是平平)(zfG函函數(shù)數(shù)值值集集合合, )(*GzzfwwG ),(),( )()(),();,(yxivyxuiyxfzfwvuivuwyxiyxz ),(),(yxvvyxuu 故故),(),()(yxvvyxuuivuzfw xyiyxiyxivuwivuwiyxzzw2)()(2222 則則令令例例1xyvyxuzw2222 例例2 22221111)(yxiyyxxzf若若已已知知.)(的函數(shù)的函數(shù)表示成表示成將將zzfzz

3、zf1)( )(21),(21,zziyzzxiyxz 則則設(shè)設(shè)oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在幾何上，在幾何上， w=f(z)可以看作：可以看作：).() (*)(變換變換平面）的映射平面）的映射平面平面wGwzGzzfw 的的原原象象。稱稱為為，而而映映象象的的象象點點為為稱稱wzzw)( 定義域定義域函數(shù)值集合函數(shù)值集合 2. 映射的概念映射的概念復(fù)變函數(shù)的幾何意義復(fù)變函數(shù)的幾何意義zw=f(z)wA 以下不再區(qū)分函數(shù)與映射變換。以下不再區(qū)分函數(shù)與映射變換。A 在復(fù)變函數(shù)中用兩個復(fù)平面上點集之間的在復(fù)變函數(shù)中用兩個復(fù)平面上點集之間的A 對應(yīng)關(guān)系來表達(dá)兩對變量對應(yīng)關(guān)系來表達(dá)兩

4、對變量 u，v 與與 x，y A 之間的對應(yīng)關(guān)系，以便在研討和了解復(fù)變之間的對應(yīng)關(guān)系，以便在研討和了解復(fù)變A 函數(shù)問題時，可借助于幾何直觀函數(shù)問題時，可借助于幾何直觀.復(fù)變函數(shù)的幾何意義是一個映射變換復(fù)變函數(shù)的幾何意義是一個映射變換.所所構(gòu)構(gòu)成成的的映映射射研研究究zw 例例3 iirezreirz )sin(cos設(shè)設(shè)解解關(guān)于實軸對稱的一個映射關(guān)于實軸對稱的一個映射見圖見圖1-11-2旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換(映射映射)即即，)sinsin()sincos( )(sin(cos yxiyxiyxiivuw 見圖見圖2.( 實常數(shù)）所構(gòu)成的映射實常數(shù)）所構(gòu)成的映射研究研究 zewi 例例4)( iii

5、iirereezewrez設(shè)設(shè)解解 sinsinsincosyxvyxuoxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o 圖圖1-1圖圖1-2圖圖2uv(w)o.2所所構(gòu)構(gòu)成成的的映映射射研研究究zw 例例5oxy(z)ouv(w) 2 oxy(z)ouv(w)R=2R=46 3 422 yx2zw 2zw 2zw 2zw 3. 反函數(shù)或逆映射反函數(shù)或逆映射例例 設(shè)設(shè) z=w2 那么稱那么稱 為為z=w2的反函數(shù)或逆映射的反函數(shù)或逆映射zw )1 , 0(22 kezzwk為多值函數(shù)為多值函數(shù),2支支.定義定義 設(shè)設(shè) w =f (z) 的定義集合為的定義集合為G,函數(shù)值集合

6、為函數(shù)值集合為G*Gz *)(Gwzfw *Gw )()(wzGz 或或幾幾個個一一個個那么稱那么稱z=(w)為為w=f(z)的反函數(shù)逆映射的反函數(shù)逆映射.GzzfzGwwfw )()(* 當(dāng)當(dāng)反反函函數(shù)數(shù)單單值值時時顯顯然然有有)(zfz 一一般般是是一一一一對對應(yīng)應(yīng)的的。與與集集合合是是一一一一的的。也也稱稱集集合合映映射射都都是是單單值值的的，則則稱稱函函數(shù)數(shù)逆逆映映射射和和其其反反函函數(shù)數(shù)映映射射當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù) GGzfwwzzfw)()()()()()( 例例 知映射知映射w= z3 ，求區(qū)域，求區(qū)域 0argz 在平面在平面w上的象。上的象。3 例例?1:,122平平面面上上怎怎樣樣

7、的的曲曲線線映映射射成成被被平平面面上上的的曲曲線線判判斷斷已已知知映映射射wyxzzw & 1. 函數(shù)的極限函數(shù)的極限& 2. 運算性質(zhì)運算性質(zhì)& 3.函數(shù)的延續(xù)性函數(shù)的延續(xù)性6 復(fù)變函數(shù)的極限與延續(xù)性復(fù)變函數(shù)的極限與延續(xù)性1. 函數(shù)的極限函數(shù)的極限AzfzzAzfzzzfAAzfzzAzUzzfwzz )()(lim)(,)(,0, 0),(),( 000)000時時，或或當(dāng)當(dāng)時時的的極極限限，記記作作當(dāng)當(dāng)為為則則稱稱有有時時當(dāng)當(dāng)）（，若若存存在在數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)（定義定義uv(w)oA xy(z)o 0z)(zfw 幾何意義幾何意義: 當(dāng)變點當(dāng)變點z一旦進(jìn)一旦進(jìn)入入z0

8、的充分小去的充分小去心鄰域時心鄰域時,它的象它的象點點f(z)就落入就落入A的的一個預(yù)先給定的一個預(yù)先給定的鄰域中鄰域中A (1) (1) 意義中意義中 的方式是恣意的的方式是恣意的. .A 與一元實變函數(shù)相比較要求更高與一元實變函數(shù)相比較要求更高. .0zz (2) A是復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù). 2. 運算性質(zhì)運算性質(zhì)復(fù)變函數(shù)極限與其實部和虛部極限的關(guān)系：復(fù)變函數(shù)極限與其實部和虛部極限的關(guān)系：000 ),(),()(iyxziyxzyxivyxuzf 設(shè)設(shè)定理定理1(3) 假設(shè)假設(shè)f(z)在在 處有極限處有極限,其極限是獨一的其極限是獨一的.0z0),(),(0),(),(00),(lim),(lim)

9、(lim00000vyxvuyxuivuAzfyxyxyxyxzz 則則 BAzgzgzfzgzfABzgzfzgzfBAzgzfzgzfBzgAzfzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz )0)(lim()(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim,)(lim)(lim000000000000則則若若定理定理2A 以上定理用極限定義證以上定理用極限定義證!例例1.)(22在在平平面面上上處處處處有有極極限限證證明明yxiyxw 例例2.0)(時時的的極極限限在在求求 zzzzzzf例例3.0Re)(時時的的極極限限不不存存在

10、在在在證證明明 zzzzf在在平平面面上上處處處處有有極極限限22,yxyx .)0 , 0()(2)(2222處處極極限限不不存存在在在在yxyxzf 3.函數(shù)的延續(xù)性函數(shù)的延續(xù)性定義定義.)()()(lim,;)(;)()()(lim0000000處處連連續(xù)續(xù)上上點點在在曲曲線線，則則稱稱且且、若若內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在內(nèi)內(nèi)處處處處連連續(xù)續(xù)，則則稱稱若若在在區(qū)區(qū)域域處處連連續(xù)續(xù)在在，則則稱稱若若zCzfzfzfCzzDzfDzzfzfzfzzzz .),(),(lim),(),(lim),(),()(00),(),(00),(),(0000000yxvyxvyxuyxuiyxzyxivyxuzf

11、yxyxyxyx 處處連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)定理定理3例例4 證明證明f (z)=argz在原點及負(fù)實軸上不延續(xù)。在原點及負(fù)實軸上不延續(xù)。上上不不連連續(xù)續(xù)。在在負(fù)負(fù)實實軸軸在在負(fù)負(fù)實實軸軸上上 argarglim arglim)0)(0 ,( )2(00zzzxxPyy 故故不不連連續(xù)續(xù)。在在原原點點沒沒有有定定義義， arg)()1(zzf 證明證明xy(z)ozz)0 ,(xP 定理定理4 延續(xù)函數(shù)的和、差、積、商延續(xù)函數(shù)的和、差、積、商 (分母不為分母不為0) 仍為延續(xù)函數(shù)仍為延續(xù)函數(shù); 延續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為延續(xù)函數(shù)。延續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為延續(xù)函數(shù)。.0)()()()(10點點外外處處處處連

12、連續(xù)續(xù)在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)除除分分母母為為的的；在在整整個個復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)是是連連續(xù)續(xù)由由以以上上討討論論zQzPzRzazaazPnn MzfMCzfC )(, 0)(在在曲曲線線上上恒恒有有上上連連續(xù)續(xù)在在若若內(nèi)內(nèi)的的曲曲線線段段為為閉閉曲曲線線或或端端點點包包括括在在設(shè)設(shè)曲曲線線有界性：有界性：2.1 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念 一一. 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)定義定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)w=f (z) zD, 且且z0、 z0 +zD，假設(shè)極限假設(shè)極限 存在，那么稱函數(shù)存在，那么稱函數(shù)f (z)在點在點z0處可導(dǎo)。稱此極限值為處可導(dǎo)。稱此極限值為f (z)在在z

13、0的導(dǎo)數(shù)，的導(dǎo)數(shù)，記作記作zzfzzfz )()(lim000zzfzzfdzdwzfzzz )()(lim)( 00000 假設(shè)假設(shè)w=f(z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)，那么稱內(nèi)處處可導(dǎo)，那么稱f (z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)。內(nèi)可導(dǎo)。A (1) z0 (1) z0是在平面區(qū)域上以恣意方式趨于零。是在平面區(qū)域上以恣意方式趨于零。A (2) z=x+iy,z=x+iy, f=f(z+z)-f(z) (2) z=x+iy,z=x+iy, f=f(z+z)-f(z) .Re)(:可可導(dǎo)導(dǎo)在在平平面面上上的的任任何何點點都都不不證證明明zzf 例例1zzzzzf )Re()Re(:證證明明yixxxx

14、 yixx ;0,0; 1,0zfzzfz時時取取純純虛虛數(shù)數(shù)趨趨于于當(dāng)當(dāng)時時取取實實數(shù)數(shù)趨趨于于當(dāng)當(dāng).lim0不不存存在在zfz (2)求導(dǎo)公式與法那么求導(dǎo)公式與法那么 常數(shù)的導(dǎo)數(shù)常數(shù)的導(dǎo)數(shù) c=(a+ib)=0. (zn)=nzn-1 (n是自然數(shù)是自然數(shù)).證明證明 對于復(fù)平面上恣意一點對于復(fù)平面上恣意一點z0，有，有10010021000)(limlimlim000 nnnnzznnzzzznzzzzzzzzzzzzzz -實函數(shù)中求導(dǎo)法那么的推行實函數(shù)中求導(dǎo)法那么的推行 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (z),g (z) 均可導(dǎo)，那么均可導(dǎo)，那么 f (z)g (z) =f (z)g(z)， f (

15、z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g(z)0)( ,)()( )()()( )()(2 zgzgzgzfzgzfzgzf.0)()()()(10處處可可導(dǎo)導(dǎo)點點外外）處處在在復(fù)復(fù)平平面面上上（除除分分母母為為導(dǎo)導(dǎo)；在在整整個個復(fù)復(fù)平平面面上上處處處處可可由由以以上上討討論論zQzPzRzazaazPnn 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ( f g(z) =f (w)g(z)， 其中其中w=g(z)。 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ，其中，其中: w=f (z)與與z=(w)互為單值的反函數(shù)，且互為單值的反函數(shù)，且(w)0。)( 1)( wzf ?)(,;),()(,22的的可可導(dǎo)導(dǎo)

16、性性復(fù)復(fù)函函數(shù)數(shù)中中內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在實實函函數(shù)數(shù)中中zzfxxf 例例3 問：函數(shù)問：函數(shù)f (z)=x+2yi能否可導(dǎo)？能否可導(dǎo)？!0, 020, 012lim0不不存存在在時時當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng) yxxyyixyixz)( 11)5()(22zfzzzzf，求求已已知知 例例2解解22)1(1)52)(5(2)( zzzzzfyixyixiyyxxzzfzzfzz )2()(2lim)()(lim00解解.2)(處處不可導(dǎo)處處不可導(dǎo)故函數(shù)故函數(shù)yixzf 例例4 證明證明 f (z)=zRez只在只在z=0處才可導(dǎo)。處才可導(dǎo)。 時時不不存存在在時時0!)(Re(lim00Relim00zyixx

17、zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz Re)Re(limRe)Re()(lim00證明證明不不存存在在！時時當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng) 0, 010, 00lim0yxxyyixxzA (1) (1) 復(fù)變函數(shù)在一點處可導(dǎo)，要比實函數(shù)復(fù)變函數(shù)在一點處可導(dǎo)，要比實函數(shù)A 在一點處可導(dǎo)要求高得多，也復(fù)雜得在一點處可導(dǎo)要求高得多，也復(fù)雜得A 多，這是由于多，這是由于z0z0是在平面區(qū)域上是在平面區(qū)域上A 以恣意方式趨于零的原故。以恣意方式趨于零的原故。 (2) (2) 在高等數(shù)學(xué)中要舉出一個處處延續(xù)，在高等數(shù)學(xué)中要舉出一個處處延續(xù)， 但處處不可導(dǎo)的例題是很困難的但處處不可導(dǎo)的例題是很困難的, , 但在

18、復(fù)變函數(shù)中，卻輕而易舉。但在復(fù)變函數(shù)中，卻輕而易舉。(3)可導(dǎo)與延續(xù)可導(dǎo)與延續(xù)假設(shè)假設(shè) w=f (z) 在點在點 z0 處可導(dǎo)處可導(dǎo) w=f (z) 點點 z0 處延續(xù)處延續(xù).? 連續(xù)連續(xù)在在所以所以由此可得由此可得則則令令有有時時使得當(dāng)使得當(dāng)則則可導(dǎo)可導(dǎo)在在若若證明證明000000000000000)(),()(lim,)()()(, 0lim),()()(,)()()(,0, 0, 0,)(:zzfzfzzfzzzzfzfzzfzzfzzfzzfzzfzzfzzfzzzfzz 二二. 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念定義定義 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù)w=f (z)在在z0及及z0的某個鄰域內(nèi)處處的某個鄰域內(nèi)處處 可導(dǎo)，那么稱可導(dǎo)，那么稱f (z)在在z0解析；解析； 假設(shè)假設(shè)f (z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)每一點都解析，那么稱內(nèi)每一點都解析，那么稱 f (z)在在D內(nèi)解析，或稱內(nèi)解析，或稱f (z)是是D內(nèi)的解析函數(shù)內(nèi)的解析函數(shù) (全純函數(shù)或正那么函數(shù)。全純函數(shù)或正那么函數(shù)。假設(shè)假設(shè)f (z)在點在點z0不解析，就稱不解析，就稱z0是是f (z)