北師大版高中數(shù)學（必修5）1.4《數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應(yīng)用》之三ppt課件

1、 一、數(shù)列運用問題的常見模型 (1)_；普通地，假設(shè)添加(或減少)的量是一個固定的詳細量時，該模型是等差模型，添加(或減少)的量就是公差，其普通方式是：an1and(常數(shù)) (2)_：普通地，假設(shè)添加(或減少)的百分比是一個固定的數(shù)時，該模型是等比模型 (3)_：在一個問題中，同時涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列的模型 (4)_：假設(shè)某一個量，每一期以一個固定的百分數(shù)添加(或減少)，同時又以一個固定的詳細量添加(或減少)時，我們稱該模型為生長模型如分期付款問題，樹木的生長與砍伐問題等 (5)_：假設(shè)容易找到該數(shù)列恣意一項an1與它的前一項an(或前幾項)間的遞推關(guān)系式，那么我們可以用遞推數(shù)列的知識求解問

2、題 友誼提示：普通涉及遞增率什么的，用到_；涉及依次添加或者減少什么的，用到_，或者有的問題是經(jīng)過轉(zhuǎn)化得到_的，在處理問題時要往這些方面去聯(lián)絡(luò) 二、與銀行利率相關(guān)的幾類模型 (1)銀行儲蓄單利公式 利息按單利計算，本金為a元，每期利率為r，存期為x，那么本利和_. (2)銀行儲蓄復利公式 按復利計算利息的一種儲蓄，本金為a元，每期利率為r，存期為x，那么本利和_. (3)產(chǎn)值模型 原來產(chǎn)值的根底數(shù)為N，平均增長率為p，對于時間x的總產(chǎn)值_. (4)分期付款模型 a為貸款總額，r為月利率，b為月等額本息還款數(shù)，n為貸款月數(shù)，那么_. 三、數(shù)列綜合運用題的解題步驟 (1)_弄清題意，分析涉及哪些數(shù)

3、學內(nèi)容，在每個數(shù)學內(nèi)容中，各是什么問題 (2)_把整個大題分解成幾個小題或幾個“步驟，每個小題或每個小“步驟分別是數(shù)列問題、函數(shù)問題、解析幾何問題、不等式問題等 (3)_分別求解這些小題或這些小“步驟，從而得到整個問題的解答 (4)_將所求結(jié)果復原到實踐問題中 詳細解題步驟如下框圖： 1.零存整取模型 銀行有一種叫作零存整取的儲蓄業(yè)務(wù)，即每月定時存入一筆一樣數(shù)目的現(xiàn)金，這是零存；到商定日期，可以取出全部本利和，這是整取，規(guī)定每次存入的錢不計復利注：單利的計算是僅在原有本金上計算利息，而本金所產(chǎn)生的利息不再計算利息，其公式為 利息本金利率存期， 本利和本金(1存期利率) 零存整取是等差數(shù)列求和在

4、經(jīng)濟方面的運用 例李先生為今年上高中的兒子辦理了“教育儲蓄從8月1號開場，每個月的1號都存入100元，存期三年 (1)知當年“教育儲蓄存款的月利率是2.7.問到期時，李先生一次可支取本息多少元？ (2)知當年同檔次的“零存整取儲蓄的月利率是1.725.問李先生辦理“教育儲蓄比“零存整取多收益多少元？(注：零存整取要收20%的利息稅) 2定期自動轉(zhuǎn)存模型 銀行有一種儲蓄業(yè)務(wù)為定期存款自動轉(zhuǎn)存例如，儲戶某日存入一筆1年期定期存款，1年后，假設(shè)儲戶不取出本利和，那么銀行自動辦理轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù)，第2年的本金就是第1年的本利和 注：復利的計算是把上期末的本利和作為下一期的本金，在計算時每一期本金的數(shù)額是不同的

5、復利的計算公式為： 本利和本金(1利率)n. 定期自動轉(zhuǎn)存(復利)是等比數(shù)列求和在經(jīng)濟方面的運用 例知本金m1200元，復利率i7%，期數(shù)n4，求本利和總額S4. 解析：S41200(17%)41572.96(元) 3分期付款模型 采用分期付款的方法，購買售價為a元的商品(或貸款a元)，每期付款數(shù)一樣，購買后1個月(或1年)付款1次，過1個月(或1年)再付1次，如此下去，到第n次付款后全部付清 假設(shè)月利率(或年利率)為b，那么每期付款x元滿足以下關(guān)系： 按單利計息時為a(1nb)x1(1b)(12b)1(n1)b； 按復利計息時為a(1b)nx1(1b)(1b)2(1b)n1 化簡得x(1b)

6、n1ab(1b)n. 例某職工年初向銀行貸款2萬元用于購房，銀行為了推進住房制度改革，低息貸款年利率為2%，按復利計息(即本年的利息計入次年的本金生息)假設(shè)這次貸款要求分10次等額還清，每年一次，從貸款次年年初開場還，問每年應(yīng)還多少元？(準確到元) 解析：設(shè)每年還款x元，第n年還款后余額為Mn.依題意得： M120000(12%)x， M2M1(12%)x20000(12%)2x(12%)x， M3M2(12%)x20000(12%)3x(12%)2x(12%)x， M1020000(12%)10 x(12%)9x(12%)8x(12%)x. 4怎樣處置數(shù)列的運用問題 數(shù)列運用問題的學習已成為

7、高中數(shù)學學習與研討的一個重要內(nèi)容，現(xiàn)實生活中涉及銀行利率、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤、人口增長、任務(wù)效率、圖形面積、曲線長度、堆積物品總數(shù)等實踐問題，都需求用數(shù)列的知識加以處理解答數(shù)列運用問題的中心是建立模型，其根本步驟如下表 (1)等差數(shù)列的實踐運用 在數(shù)列運用題中，假設(shè)an1與an的關(guān)系滿足an1and(d為常數(shù))時，那么可以運用等差數(shù)列模型處理 闡明：要經(jīng)過對題意的分析，闡明數(shù)列為等差數(shù)列，然后設(shè)出有關(guān)符號，如an，d等的意義，這樣才干使閱卷者迅速了解他的解答思緒 5模型法 模型法就是在實踐問題中，構(gòu)造數(shù)列模型或其他模型，再進而構(gòu)造數(shù)學模型，經(jīng)過構(gòu)造模型使問題順利得到處理 運用模型法來處理問題時

8、，應(yīng)廣泛搜集信息，抓住關(guān)鍵詞，準確了解題意，要擅長抓主要矛盾，類比聯(lián)想，從而建立相應(yīng)模型 (1)處理數(shù)列的運用問題必需準確探求問題所涉及的數(shù)列的模型(如等差數(shù)列、等比數(shù)列、或與等差、等比數(shù)列有關(guān)的數(shù)列)，或準確定義問題中的數(shù)列 (2)求出數(shù)列的通項公式或建立遞推公式：假設(shè)問題所涉及的數(shù)列是特殊數(shù)列(如等差數(shù)列、等比數(shù)列、或與等差、等比有關(guān)的數(shù)列，等等)，應(yīng)首先建立數(shù)列的通項公式；假設(shè)問題所涉及的數(shù)列不是某種特殊數(shù)列，普通應(yīng)思索先建立數(shù)列的遞推關(guān)系(即an與an1的關(guān)系). 數(shù)學運用問題的教學已成為中學數(shù)學學習與研討的重要內(nèi)容，解答數(shù)學運用問題的中心是建立數(shù)學模型解答數(shù)列運用題的根本步驟： (1

9、)閱讀了解實踐資料且對資料作適當處置； (2)建立變量關(guān)系，將實踐問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型； (3)討論變量性質(zhì)，發(fā)掘標題中的條件 例1某人有七位朋友第一位朋友每天晚上都去他家看他，第二位朋友每隔一個晚上到他家去，第三位朋友每隔兩個晚上去他家串門，第四位朋友每隔三個晚上去他家做客，依次類推，直至第七位朋友每隔六個晚上在他家出現(xiàn)這七位朋友昨晚在主人家中碰面，他們還會同一個晚上在主人家中碰面嗎？ 解析：第一位朋友每天晚上在主人家；第二位朋友以后在主人家的天數(shù)為第：2,4,6,8，這些數(shù)構(gòu)成以2為首項，公差為2的等差數(shù)列，通項公式為：an2n；第三位朋友以后在主人家的天數(shù)為第：3,6,9，這些數(shù)構(gòu)成以3為

10、首項，公差為3的等差數(shù)列，通項公式為：an3n；第四、五、六、七位朋友晚上在主人家的天數(shù)構(gòu)成以4、5、6、7為首項，公差為4、5、6、7的等差數(shù)列，通項公式分別為an4n，an5n，an6n，an7n；他們要在同一晚上出現(xiàn)，這個數(shù)應(yīng)為這七個數(shù)列的公共項，這一項為哪一項2,3,4,5,6,7的倍數(shù)，而2,3,4,5,6,7的最小公倍數(shù)為420，因此第420,840,1260天晚上他們會同時在主人家出現(xiàn) 變式訓練1用分期付款方法購買電器一件，價錢為1150元，購買當天先付150元，以后每月這一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率為1%，分20次付完，假設(shè)交付150元以后的第一個月開場算分期付款

11、的第一個月，問分期付款的第十個月該交付多少錢？全部貸款付清后，買這件家電實踐花多少錢？ 解析：購買時付150元，欠1000元，每月付50元，分20次付清，設(shè)每月付款數(shù)依次成數(shù)列an，那么a15010001%60(元)，a250(100050)1%59.5(600.51)(元)，a350(1000502)1%59(600.52)(元)，依次類推，a1050(1000509)1%55.5(600.59)(元)，an600.5(n1)0.5n60.5(1n20)所以an組成以60為首項，0.5為公差的等差數(shù)列，所以，總數(shù)S2015020a1 d1501255(元)，第十個月該交55.5元，全部付清實

12、踐花1255元 評析：審題，建立等差數(shù)列模型，運用等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式求解，但需留意最后一次付款利息是50元欠款的利息，第一次付款利息是1000元的利息而不是950元，此處易出錯 處理數(shù)列在實踐運用中的問題關(guān)鍵是經(jīng)過仔細審題，將實踐問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型，運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識處理問題，因此在做題過程中必需明確建立的是等差數(shù)列模型還是等比數(shù)列模型，明確是求n，還是求an，或是求Sn. 例2陳教師購買工程集資房92 m2，單價為1000元/m2，一次性國家財政補貼28800元，學校補貼14400元，余款由個人負擔房地產(chǎn)開發(fā)公司對教師實行分期付款(注)，經(jīng)過一年付款一次，共付10次，

13、10年后付清，假設(shè)按年利率7.5%，每年按復利計算(注)，那么每年應(yīng)付款多少元？(注) 注：分期付款，各期所付的款以及最后一次付款時所生的利息合計，應(yīng)等于個人負擔的購房余額的現(xiàn)價及這個房款現(xiàn)價到最后一次付款時所生的利息之和 每年按復利計算，即本年利息計入次年的本金生息 必要時參考以下數(shù)據(jù). 1.07591.971,1.075102.061,1.075112.216. 解析：設(shè)每年應(yīng)付款x元，那么到最后一次付款時(即購房十年后)，第一年付款及所生利息之和為x1.0759元，第二年付款及所生利息之和為x1.0758元，第九年付款及其所生利息之和為x1.075元，第十年付款為x元，而所購房余款的現(xiàn)價

14、及其利息之和為100092(2880014400)1.07510488001.07510(元)因此有x(11.0751.07521.0759)488001.07510(元)，所以x488001.07510 488002.0610.0717141(元) 每年需交款7141元 變式訓練2為了迎接2021年北京奧運會，我國決議治理渣滓經(jīng)調(diào)查，近10年來我國城市渣滓的年平均增長率為3%，到2001年底堆存渣滓已達60億噸，侵占了約5億平方米的土地，目前我國還以年產(chǎn)1億噸的速度產(chǎn)生新的渣滓，渣滓治理已刻不容緩！ (1)問1991年我國城市渣滓約有多少億噸？ (2)假設(shè)從2002年起，每年處置上年堆存渣滓

15、的 ，到2007年底，我國城市渣滓約有多少億噸？可節(jié)約土地多少億平方米？ 數(shù)列的遞推運用問題往往是以一定的實踐問題作為背景進展命題的，該問題來源于消費實際，解題時先將實踐生活模型用數(shù)學公式或等量關(guān)系式列出，然后得出數(shù)列的遞推關(guān)系式適當?shù)臅r候也可以利用特殊化思想方法先求得前幾項，運用不完全歸納法得出通項后再進展進一步的論證其最終目的是把運用問題轉(zhuǎn)化為an與an1之間的關(guān)系，或an與Sn間的關(guān)系，然后利用所學知識加以處理 例3某國采用養(yǎng)老貯藏金制度公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老貯藏金，數(shù)目為a1，以后每年交納的數(shù)目均比上一年添加d(d0)，因此，歷年所交納的貯藏金數(shù)目a1，a2，是一個公差為d的等差

16、數(shù)列與此同時，國家給予優(yōu)惠的計息政策，不僅采用固定利率，而且計算復利這就是說，假設(shè)固定年利率為r(r0)，那么，在第n年末，第一年所交納的貯藏金就變?yōu)閍1(1r)n1，第二年所交納的貯藏金就變?yōu)閍2(1r)n2，.以Tn表示到第n年末所累計的貯藏金總額 (1)寫出Tn與Tn1(n2)的遞推關(guān)系式； (2)求證：TnAnBn，其中An是一個等比數(shù)列，Bn是一個等差數(shù)列 解析：(1)由題意有，TnTn1(1r)an(n2) (2)T1a1，對n2反復運用上述關(guān)系式，得 TnTn1(1r)anTn2(1r)2an1(1r)ana1(1r)n1a2(1r)n2an1(1r)an. 在式兩端同乘1r，得

17、(1r)Tna1(1r)na2(1r)n1an1(1r)2an(1r)， 例4(2021湖南卷)給出下面的數(shù)表序列： 表1表2表3 1 13 135 4 48 12 其中表n(n1,2,3，)有n行，第1行的n個數(shù)是1,3,5，2n1，從第2行起，每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和 解析：()表4為 1357 4 8 12 1220 32 它的第1,2,3,4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4,8,16,32，它們構(gòu)成首項為4，公比為2的等比數(shù)列 將這一結(jié)論推行到表n(n3)，即 表n(n3)各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為n，公比為2的等比數(shù)列 由此可知，表n(n3)各行中的數(shù)都成等差數(shù)

18、列，且各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為n，公比為2的等比數(shù)列 ()表n的第1行是1,3,5，2n1，其平均數(shù)是 由()知，它的各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為n，公比為2的等比數(shù)列(從而它的第k行中的數(shù)的平均數(shù)是n2k1)，于是，表n中最后一行的獨一一個數(shù)為bnn2n1.因此 變式訓練4某企業(yè)進展技術(shù)改造，有兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前一年添加30%的利潤；乙方案：每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年比前一年添加5千元；兩種方案運用期都是10年，到期一次性歸還本息假設(shè)銀行兩種方式的貸款都按年息5%的復利計算，試比較兩種方案中，哪種獲利更多？ (取1.05101.629,1.31013.786,1.51057.665) 例5職工小張年初向銀行貸款2萬元用于購房，銀行貸款的年利率為10%，按復利計算(即本年的利息計入次年的本金)，假設(shè)這筆貸款要分10年等額還清，每年年初還一次，并且從借款后次年年初開場歸還，問每年應(yīng)還多少元？(準確到1元) 解析：設(shè)每年還款x元，需10年還清，那么每年還款及利息情況如下：第10年還款x元，此次欠款全部還清 第9年還款x元，過1年欠款全部還清時，所付款連同利息之和為x(110%)元 第8年還款x元，過2年欠款全部還清時，所付款連同利息之和為x(