高等數(shù)學(xué)：2-3 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1、第三節(jié)第三節(jié) 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一一 、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二二 、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、三、 導(dǎo)數(shù)公式與法則導(dǎo)數(shù)公式與法則. )( 0),( , 0),( xyyyxFyxyxF 一個(gè)隱函數(shù)一個(gè)隱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)確定了在該區(qū)間內(nèi)確定了存在，那么就說(shuō)方程存在，那么就說(shuō)方程值值總有滿足方程的唯一的總有滿足方程的唯一的內(nèi)的任一值時(shí)，相應(yīng)地內(nèi)的任一值時(shí)，相應(yīng)地取某區(qū)間取某區(qū)間當(dāng)當(dāng)中中如果在方程如果在方程定義定義.)(形形式式稱稱為為顯顯函函數(shù)數(shù)xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱

2、函數(shù)的顯化問(wèn)題問(wèn)題: :隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?1.1.隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo).一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解解,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)x, 0 dxdyxydxdyey解得解得).0( , yyexexydxdy. 1 0 yx，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)100 yxyxexydxdy.1e ., 0 1 0 xydxdydxdyyexye的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求有方程求有方程例例由原方程知由原方程知,，得到，得到注意注意 )( xyy .)323, 2(1916

3、 222處處的的切切線線方方程程在在求求橢橢圓圓例例 yx解解, 求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì) x. 0928 dxdyyx22169 xxyxy.43 所求切線方程為所求切線方程為)2(43323 xy. 03843 yx即即)323, 2(xyo44/3 1,(0,1).xxyyy例設(shè)求 在點(diǎn)處的值解解求導(dǎo)得求導(dǎo)得方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy2.2.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4)(3()2)(1(sinxxyxxxxy 方法：先在方程兩邊取對(duì)數(shù)方法：先在方程兩邊取對(duì)數(shù), 然后利用隱函數(shù)然后利用隱函數(shù) 的求導(dǎo)

4、方法求出導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).適用范圍適用范圍: :.)( )(的情形的情形數(shù)數(shù)多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函xvxu解解),4ln()3ln()2ln()1ln(21ln xxxxy 求求導(dǎo)導(dǎo)得得上上式式兩兩邊邊對(duì)對(duì) x yy.,)4)(3()2)(1( 4yxxxxy 求求設(shè)設(shè)例例)41312111()4)(3()2)(1(21 xxxxxxxxy等式兩邊取對(duì)數(shù)等式兩邊取對(duì)數(shù)(先假定先假定 ),得得4 x),41312111(21 xxxx)4)(3()2)(1(xxxxy )4)(3()2)(1(xxxxy 用同樣方法可得與上面相同的結(jié)果用同樣方法可得與上面相同的結(jié)果.時(shí)，時(shí)

5、，當(dāng)當(dāng)1 x,32時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x解解.),0( 5sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)例例等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得.lnsinlnxxy 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì)x yy1)1sinln(cosxxxxyy ).sinln(cossinxxxxxx xxxx1sinlncos 一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv),()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又).(ln)()(xfdxdxfxf .)()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv ),(ln)()(lnxuxvxf 二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,)(

6、)( 定定的的函函數(shù)數(shù)稱稱此此為為由由參參數(shù)數(shù)方方程程所所確確間間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系與與確確定定若若參參數(shù)數(shù)方方程程xytytx 例如例如 ,22tytx,2xt 22)2(xty ,42x .21xy 消去參數(shù)消去參數(shù)問(wèn)題問(wèn)題: : 消去參數(shù)困難或無(wú)法消去參數(shù)如何求導(dǎo)消去參數(shù)困難或無(wú)法消去參數(shù)如何求導(dǎo)?, t),( )( 1xttx 具具有有單單調(diào)調(diào)連連續(xù)續(xù)的的反反函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(1xy 由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得 dxdydtdxdtdy1 ，)()(tt dtdxdtdydxdy 即即, )()( 中中在方程在方程 tytx , 0)(,)()

7、,( ttytx 且且都可導(dǎo)都可導(dǎo)再設(shè)函數(shù)再設(shè)函數(shù)dxdtdtdy 解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 . 2 )cos1()sin( 6處的切線方程處的切線方程在在求擺線求擺線例例 ttayttax.),12(,2ayaxt 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 所求切線方程為所求切線方程為),12( axay).22( axy即即 )( C)(sin x)(tan x)(sec x)( x)(cos x)(cot x)(csc x)( xa)(log xa)( xe)(ln x1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式0 1 xxcos xsin x2sec x2csc xx tansec xxcotcsc aaxln xe axln1 x1 2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)設(shè))(),(xvvxuu 可導(dǎo)，可導(dǎo)，)( )4( vu)( )3( uv)( )1( vu)( )2( cu則則)(arcsin x)(arccos x)tan( xacr)cot( xacr211x 211x 211x 211x , vu ).( 是常數(shù)是常數(shù)其中其中cuc , vuvu ).0( 2 vvvuvu 3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則導(dǎo)數(shù)為導(dǎo)數(shù)為的的則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)而而設(shè)