高等數(shù)學(xué)課件：5-4 廣義積分

1、返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年12月15日星期三1新課引入新課引入前面討論的定積分， 都是在有限區(qū)間有限區(qū)間上的上的有界有界函數(shù)函數(shù)這類積分屬于通常意義下的積分. 的積分， 但在實(shí)際問(wèn)題中， 還會(huì)遇到積分區(qū)間為無(wú)限積分區(qū)間為無(wú)限 或被積被積函數(shù)函數(shù)在積分區(qū)間上是無(wú)界無(wú)界的情況， 這就需將定積分的概念推廣， 推廣后的積分被稱為廣義積分廣義積分. 常義積分積分限有限有限被積函數(shù)有界有界推廣推廣無(wú)窮限無(wú)窮限的廣義積分無(wú)界函數(shù)無(wú)界函數(shù)的廣義積分返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年12月15日星期三2第四節(jié)第四節(jié) 廣廣義積分義積分 第五章第五章 （Improper Integrals)

2、二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分一、無(wú)窮限的廣義積分一、無(wú)窮限的廣義積分返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年12月15日星期三3一、一、無(wú)窮限無(wú)窮限（Infinite Intervals）的廣義積分的廣義積分引例引例 曲線21xy 和直線1x及 x 軸所圍成的開(kāi)口曲邊梯形的面積 可記作12dxxA其含義可理解為 bbxxA12dlimbbx11limbb11lim1xOy121yxb返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年12月15日星期三4, ),)(aCxf,ab 取則稱如下形式存在 ,為 f (x) 的無(wú)窮限廣義積分廣義積分, 如果極限lim( )dbabf xx這時(shí)

3、稱廣義積分xxfad)(收斂收斂 ;如果上述極限不存在, 就稱廣義積分xxfad)(發(fā)散發(fā)散 .定義定義1 設(shè)xxfad)(返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年12月15日星期三5類似地 , 若, ,()(bCxf則定義xxfxxfbaabd)(limd)(返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年12月15日星期三6, ),()(Cxf若則定義xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim( c 為任意取定的常數(shù) )只要有一個(gè)有一個(gè)極限不存在不存在 , 就稱xxfd)(發(fā)散 .無(wú)窮限的廣義積分也稱為第一類廣義積分第一類廣義積分. ,并非不定型 ,說(shuō)明說(shuō)明: 上述定義中若出

4、現(xiàn) 它表明該廣義積分發(fā)散 .返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年12月15日星期三7,)()(的原函數(shù)是若xfxF引入記號(hào); )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx則有類似牛 萊公式的計(jì)算表達(dá)式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年12月15日星期三8apxxd證證:當(dāng) p =1 時(shí)有 axxdaxlnapxxdappx11當(dāng) p 1 時(shí)有 1p1p,11pap當(dāng) p 1 時(shí)收斂 ; p1 時(shí)發(fā)散 .,因此, 當(dāng) p 1 時(shí), 廣義積分收斂 , 其值為;11pap當(dāng)

5、p1 時(shí), 廣義積分發(fā)散 . 例例1 證明第一類 p 積分返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年12月15日星期三9.1d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2例例2 計(jì)算廣義積分返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年12月15日星期三10思考思考: ?01d2對(duì)嗎xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原積分發(fā)散 !注意注意: 對(duì)廣義積分, 只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零” 的性質(zhì), 否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤 .返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年12月15日星期三11二、無(wú)界函數(shù)二、無(wú)界函數(shù)（Unbounded Functions）的廣義積分的廣義積分引例引例:曲線

6、xy1所圍成的1x與 x 軸, y 軸和直線開(kāi)口曲邊梯形的面積xOy1yx1可記作10dxxA其含義可理解為 10dlimxxA12lim0 x)1 (2lim02返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年12月15日星期三12, ,()(baCxf而在點(diǎn) a 的右鄰域內(nèi)右鄰域內(nèi)無(wú)界,0取如果極限 這時(shí)稱廣義積分xxfbad)(收斂收斂 ;如果上述極限不存在, 就稱廣義積分xxfbad)(發(fā)散發(fā)散 .稱如下形式baxxfd)(lim0為函數(shù) f (x) 在 a , b 上的廣義積分, 定義定義2 設(shè)xxfbad)(存在 ,返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年12月15日星期三13類似地

7、, 若, ),)(baCxf而在 b 的左鄰域內(nèi)無(wú)界,xxfxxfbabad)(limd)(0則定義返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年12月15日星期三14,)(,)(外連續(xù)上除點(diǎn)在若bcacbaxf而在點(diǎn) c 的無(wú)界函數(shù)的積分又稱作第二類廣義積分第二類廣義積分, 無(wú)界點(diǎn)常稱鄰域內(nèi)無(wú)界 ,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220為瑕點(diǎn)瑕點(diǎn)(奇點(diǎn)奇點(diǎn)) .則定義返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年12月15日星期三15若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個(gè)第一類有限個(gè)第一類 例如,xxxd11112xxd) 1(11間斷

8、點(diǎn)間斷點(diǎn),而不是廣義積分. 則本質(zhì)上是常義積分, 說(shuō)明說(shuō)明: 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年12月15日星期三16,)()(的原函數(shù)是設(shè)xfxF的計(jì)算表達(dá)式 : xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF則也有類似牛 萊公式的若 b 為瑕點(diǎn), 則若 a 為瑕點(diǎn), 則若 a , b 都為瑕點(diǎn), 則返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年12月15日星期三17, ),(bac則xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消嗎可相消嗎?注意注意: 若瑕點(diǎn)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年12月15日星期三18提示：提

9、示：10ln d .x x例例 3 求積分0lim lnxx x=0是瑕點(diǎn)是瑕點(diǎn)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年12月15日星期三19320d(2)xx 3012x 112 32 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年12月15日星期三20故x=2是瑕點(diǎn)是瑕點(diǎn)320d(2)xx 232202dd(2)(2)xxxx112200dlim(2)xx223220dlim(2)xx返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年12月15日星期三21baqaxx)(d證證: 當(dāng) q = 1 時(shí),當(dāng) q 1 時(shí)收斂 ; q1 時(shí)發(fā)散 .baaxxdbaax ln當(dāng) q1 時(shí)baqaxx)(dab

10、qqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以當(dāng) q 1 時(shí), 該廣義積分收斂 , 其值為;1)(1qabq當(dāng) q 1 時(shí), 該廣義積分發(fā)散 .例例5 證明廣義積分返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年12月15日星期三22limxxxaxa解：解：2e2lim 1xxaaxa224dxax ex222dexax22221 eaaa222221 eeaaaa01aa或或返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年12月15日星期三23相轉(zhuǎn)化相轉(zhuǎn)化 .例如 ,1021dxx）令txsin(20dtxxxd11104210121d122txxx102112)()d(xxxx)1(xxt令022dtt(2) 當(dāng)一題同時(shí)含兩類廣義積分時(shí)當(dāng)一題同時(shí)含兩類廣義積分時(shí), 應(yīng)劃分積分區(qū)間應(yīng)劃分積分區(qū)間,分別討論每