山東高考之導(dǎo)數(shù)匯總

1、高考真題之導(dǎo)數(shù) 李傳文導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用2006年18（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)，其中，求的單調(diào)區(qū)間.解：由已知得函數(shù)的定義域?yàn)?，且?）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，（2）當(dāng)時(shí)，由解得、隨的變化情況如下表0+極小值從上表可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增.2007年(22)(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+b ln(x+1),其中b0.()當(dāng)b>時(shí)，判斷函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性；（）求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；（）證明對(duì)任意的正整數(shù)n,不等式ln()都成立.22【答案】(I) 函數(shù)的定義域?yàn)?，令

2、，則在上遞增，在上遞減，.當(dāng)時(shí)，在上恒成立.即當(dāng)時(shí),函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增。（II）分以下幾種情形討論：（1）由（I）知當(dāng)時(shí)函數(shù)無(wú)極值點(diǎn).（2）當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn)。（3）當(dāng)時(shí)，解得兩個(gè)不同解，.當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上有唯一的極小值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，在都大于0 ，在上小于0 ，此時(shí)有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn).綜上可知，時(shí)，在上有唯一的極小值點(diǎn)；時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；時(shí)，函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn)。（III） 當(dāng)時(shí)，令則在上恒正，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，恒有.即當(dāng)時(shí)，有，對(duì)任意正整數(shù)，取得2008年21（本小題滿分12分）已知函數(shù)，其中，為常數(shù)（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意的正整數(shù)

3、，當(dāng)時(shí)，有21（）解：由已知得函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，所以（1） 當(dāng)時(shí)，由得，此時(shí)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，所以無(wú)極值綜上所述，時(shí)，當(dāng)時(shí)，在處取得極小值，極小值為當(dāng)時(shí)，無(wú)極值（）證法一：因?yàn)?，所以?dāng)為偶數(shù)時(shí)，令，則（）所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，因此恒成立，所以成立當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，要證，由于，所以只需證，令，則（），所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，恒有，即命題成立綜上所述，結(jié)論成立證法二：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的正整數(shù)，恒有，故只需證明令，則，當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，即成立故當(dāng)時(shí)，有即A B C x 2009年21）（本小題滿分12分）兩縣城A和B相距20Km，現(xiàn)計(jì)劃在兩縣

4、城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn)C建造垃圾理廠，其對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的距離有關(guān)，對(duì)城A和城B的總影響度為對(duì)城A與對(duì)城B的影響度之和。記C點(diǎn)到城A的距離xKm，建在C處的垃圾處理廠對(duì)城B的影響度為Y，統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明；垃圾處理廠對(duì)城A的影響度與所選地點(diǎn)到城B的平方成反比，比例系數(shù)為4；城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為K，當(dāng)垃圾處理廠建在弧的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城A和城B）總影響度為0.065（）將Y表示成X的函數(shù)；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）討論（）中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度最?。咳舸嬖?，求出該點(diǎn)

5、城A的距離；若不存在，說(shuō)明理由。21. 解法一:（1）如圖,由題意知ACBC,其中當(dāng)時(shí)，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函數(shù)為（2）,令得,所以,即,當(dāng)時(shí), ,即所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù),當(dāng)時(shí), ,即所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù).所以當(dāng)時(shí), 即當(dāng)C點(diǎn)到城A的距離為時(shí), 函數(shù)有最小值.解法二: （1）同上.（2）設(shè),則,所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取”=”.下面證明函數(shù)在(0,160)上為減函數(shù), 在(160,400)上為增函數(shù).設(shè)0<m1<m2<160,則 ,因?yàn)?<m1<m2<160,所以4>4×240×2409 m1m2<9×

6、160×160所以,所以即 函數(shù)在(0,160)上為減函數(shù).同理,函數(shù)在(160,400)上為增函數(shù),設(shè)160<m1<m2<400,則因?yàn)?600<m1<m2<400,所以4<4×240×240, 9 m1m2>9×160×160所以,所以即函數(shù)在(160,400)上為增函數(shù).所以當(dāng)m=160即時(shí)取”=”,函數(shù)y有最小值,所以弧上存在一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度最小.2010年22)(本小題滿分14分)已知函數(shù).()當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（）設(shè)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，存在，使，求實(shí)

7、數(shù)取值范圍.【解析】()原函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+，因?yàn)?=，所以當(dāng)時(shí)，令得，所以此時(shí)函數(shù)在（1，+上是增函數(shù)；在（0，1）上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，所以此時(shí)函數(shù)在（0，+是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，令=得，解得（舍去），此時(shí)函數(shù)在（1，+上是增函數(shù)；在（0，1）上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，令=得，解得，此時(shí)函數(shù)在（1，上是增函數(shù)；在（0，1）和+上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，令=得，解得，此時(shí)函數(shù)在1）上是增函數(shù)；在（0，）和+上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，由于，令=得，可解得0，此時(shí)函數(shù)在（0，1）上是增函數(shù)；在（1，+上是減函數(shù)。（）當(dāng)時(shí)，在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上是增函數(shù)，所以對(duì)任意，有，又已知存在，使，所以，即存在，使，即，

8、即，所以，解得，即實(shí)數(shù)取值范圍是?！久}意圖】本題將導(dǎo)數(shù)、二次函數(shù)、不等式知識(shí)有機(jī)的結(jié)合在一起，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題，考查了同學(xué)們分類討論的數(shù)學(xué)思想以及解不等式的能力；考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。（1）直接利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值、利用二次函數(shù)知識(shí)或分離常數(shù)法求出在閉區(qū)間1,2上的最大值，然后解不等式求參數(shù)。2011年21.（本小題滿分12分）某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為立方米，且.假

9、設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為.設(shè)該容器的建造費(fèi)用為千元.（）寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；（）求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的.【解析】（）因?yàn)槿萜鞯捏w積為立方米，所以,解得,所以圓柱的側(cè)面積為=,兩端兩個(gè)半球的表面積之和為,所以+,定義域?yàn)?0,).（）因?yàn)?=,所以令得:; 令得:,所以米時(shí), 該容器的建造費(fèi)用最小.2012年22(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x) = （k為常數(shù)，e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線y= f(x)在點(diǎn)（1，f(1)）處的切線與x軸平行。（）求k的值；（）求f(x)的單

10、調(diào)區(qū)間；（）設(shè)g(x)=(x2+x) ,其中為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)任意x0，。解析：由f(x) = 可得，而，即，解得；（），令可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。于是在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；在內(nèi)為減函數(shù)。簡(jiǎn)證（），當(dāng)時(shí)， ，.當(dāng)時(shí)，要證。只需證，然后構(gòu)造函數(shù)即可證明.2013年21、（本小題滿分13分） 設(shè)函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）（）求的單調(diào)區(qū)間、最大值； （）討論關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)。21、解：（）， 由 ，解得， 當(dāng) 時(shí)，單調(diào)遞增； 當(dāng) 時(shí)，單調(diào)遞減. 所以，函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，最大值為. （）令. （1） 當(dāng) 時(shí)， ，則， 所以 . 因?yàn)?， 所以 因此 在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)

11、時(shí)， ，則，所以 .因?yàn)椋?又，所以，即，因此 在上單調(diào)遞減.綜合（1）（2）可知 當(dāng) 時(shí)，.當(dāng)，即時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)，故關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù)為0；當(dāng)，即時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，故關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)，即時(shí)， 當(dāng)時(shí)，由（）知 ， 要使，只需使，即 ； 當(dāng)時(shí)，由（）知 ， 要使，只需使，即 ；所以 時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，故關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù)為2.綜上所述，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù)為2.2014年（20）（本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)（為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.20解

12、：由題，。由可得，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增。所以，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；由知，時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，所以在內(nèi)不存在極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，設(shè)，因，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增。所以在內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增。所以函數(shù)的最小值為。函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，解得。綜上所述，函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為。2015年（21） （本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)，其中.（）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；（）若，成立，求的取值范圍.解：（），定義域?yàn)?，設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在為增函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，若時(shí)，函數(shù)在為增函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn).若時(shí)，設(shè)

13、的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，且，而，則，所以當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增.因此此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，但，所以當(dāng)單調(diào)遞増；當(dāng)單調(diào)遞減.所以函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)。 綜上可知當(dāng)時(shí)的無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的有兩個(gè)極值點(diǎn).（）由（）可知當(dāng)時(shí)在單調(diào)遞增，而，則當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，而，則當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，而，則當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，于是，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，不符合題意.綜上所述，的取值范圍是.另解：（），定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，函數(shù)在為增函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn).設(shè)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知的根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).若，即時(shí)，函數(shù)在為增函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn).若，即或，而當(dāng)時(shí)此時(shí)方程在只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)方程在都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；綜上可知當(dāng)時(shí)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.（）設(shè)函數(shù)，都有成立.即當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由均有成立。故當(dāng)時(shí)，則只需；當(dāng)時(shí)，則需，即.綜上可知對(duì)于，都有成立，只需即可，故所求的取值范圍是.另解：設(shè)函數(shù)，要使，都有成立，只需函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增即可，于是只需，成立，當(dāng)時(shí)，令，則；當(dāng)時(shí)；當(dāng)，令，關(guān)于單調(diào)遞增，則，則,于是