實(shí)例說(shuō)明利用Excel進(jìn)行主成分分析

1、方法:1 利用Excel2000進(jìn)行主成分分析第一步，錄入數(shù)據(jù)，并對(duì)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化?！纠恳唤M古生物腕足動(dòng)物貝殼標(biāo)本的兩個(gè)變量：長(zhǎng)度和寬度。圖1 原始數(shù)據(jù)和標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)及其均值、方差（取自張超、楊秉庚計(jì)量地理學(xué)基礎(chǔ)）計(jì)算的詳細(xì)過(guò)程如下： 將原始數(shù)據(jù)繪成散點(diǎn)圖（圖2）。主持分分析原則上要求數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)趨勢(shì)如果數(shù)據(jù)之間不相關(guān)（即正交），則沒(méi)有必要進(jìn)行主成分分析，因?yàn)橹鞒煞址治龅哪康木褪怯谜坏淖兞看嬖瓉?lái)非正交的變量；如果原始數(shù)據(jù)之間為非線性關(guān)系，則有必要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行線性轉(zhuǎn)換，否則效果不佳。從圖2 可見(jiàn)，原始數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)趨勢(shì)，且測(cè)定系數(shù)R2=0.4979，相應(yīng)地，相關(guān)系數(shù)R=0.7056。 對(duì)數(shù)據(jù)

2、進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)學(xué)公式為這里假定按列標(biāo)準(zhǔn)化，式中，分別為第j列數(shù)據(jù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，為第i行（即第i個(gè)樣本）、第j列（即第j個(gè)變量）的數(shù)據(jù)，為相應(yīng)于的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)，為樣本數(shù)目。圖2 原始數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖圖3 標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖 對(duì)數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化的具體步驟如下： 求出各列數(shù)據(jù)的均值，命令為average，語(yǔ)法為：average(起始單元格:終止單元格)。如圖1所示，在單元格B27中輸入“=AVERAGE(B1:B26)”，確定或回車(chē)，即得第一列數(shù)據(jù)的均值；然后抓住單元格B27的右下角（光標(biāo)的十字變細(xì)）右拖至C27，便可自動(dòng)生成第二列數(shù)據(jù)的均值。求各列數(shù)據(jù)的方差。命令為varp，語(yǔ)法同均值。如圖1所示，

3、在單元格B28中輸入“=VARP(B2:B26)”，確定或回車(chē)，可得第一列數(shù)據(jù)的方差，右拖至C28生成第二列數(shù)據(jù)的方差。 求各列數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。將方差開(kāi)方便得標(biāo)準(zhǔn)差。也可利用命令stdevp直接生成標(biāo)準(zhǔn)差，語(yǔ)法和操作方法同均值、方差，不贅述。 標(biāo)準(zhǔn)化計(jì)算。如圖1所示，在單元格D2中輸入“=(B2-$B$27)/$B$29”，回車(chē)可得第一列第一個(gè)數(shù)據(jù)“3”的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)值-1.786045，然后按住單元格D2的右下角下拖至D26，便會(huì)生成第一列數(shù)據(jù)的全部標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)值；按照單元格D2的右下角右拖至E2，就能生成第二列第一個(gè)數(shù)據(jù)“2”的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)-1.806077，抓住單元格E2的右下角下拖至E26便會(huì)生成

4、第二列數(shù)據(jù)的全部標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)值。 作標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖（圖3）?？梢钥闯?，點(diǎn)列的總體趨勢(shì)沒(méi)有變換，兩種數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化以前完全相同。但回歸模型的截距近似為0，即有，斜率等于相關(guān)系數(shù)，即有。 求標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)矩陣或協(xié)方差矩陣。求相關(guān)系數(shù)矩陣的方法是：沿著“工具（T）”“數(shù)據(jù)分析（D）”的路徑打開(kāi)“分析工具（A）”選項(xiàng)框（圖4），確定，彈出“相關(guān)系數(shù)”對(duì)話框（圖5），在“輸入?yún)^(qū)域”的空白欄中輸入標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)范圍，并以單元格G1為輸出區(qū)域，具體操作方法類(lèi)似于回歸分析。確定，即會(huì)在輸出區(qū)域給出相關(guān)圖4 分析工具選項(xiàng)框圖5 相關(guān)系數(shù)對(duì)話框系數(shù)矩陣的下三角即對(duì)角線部分，由于系對(duì)稱(chēng)矩陣，上三角的數(shù)值與

5、下三角相等，故未給出（圖6），可以通過(guò)“拷貝轉(zhuǎn)置粘帖”的方式補(bǔ)充空白部分。圖6 標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)和協(xié)方差 求協(xié)方差的方法是在“分析工具”選項(xiàng)框中選擇“協(xié)方差”（圖7），彈出“協(xié)方差” 選項(xiàng)框（圖8），具體設(shè)置與“相關(guān)系數(shù)”類(lèi)似，不贅述。結(jié)果見(jiàn)圖6，可以看出，對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)而言，協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣完全一樣。因此，二者任取其一即可。圖7 在分析工具選項(xiàng)框中選擇“協(xié)方差”圖8 協(xié)方差選項(xiàng)框 計(jì)算特征根。我們已經(jīng)得到相關(guān)系數(shù)矩陣為，而二階單位矩陣為，于是根據(jù)公式，我們有按照行列式化為代數(shù)式的規(guī)則可得根據(jù)一元二次方程的求根公式，當(dāng)時(shí)，我們有據(jù)此解得，（對(duì)于本例，顯然，）。這便是相關(guān)系數(shù)矩陣的兩

6、個(gè)特征根。 求標(biāo)準(zhǔn)正交向量。將代入矩陣方程，得到在系數(shù)矩陣中，用第一行加第二行，化為由此得，令，則有，于是得基礎(chǔ)解系，單位化為單位化的公式為（）。 完全類(lèi)似，將代入矩陣方程，得到用系數(shù)矩陣的第二行減去第一行，化為于是得到，取，則有，因此得基礎(chǔ)解系為，單位化為這里、便是標(biāo)準(zhǔn)正交向量。 求對(duì)角陣。首先建立標(biāo)準(zhǔn)正交矩陣P，即有該矩陣的一個(gè)特殊性質(zhì)便是，即矩陣的轉(zhuǎn)置等于矩陣的逆。根據(jù)，可知下面說(shuō)明一下利用Excel進(jìn)行矩陣乘法運(yùn)算的方法。矩陣乘法的命令為mmult，語(yǔ)法是mmult (矩陣1的單元格范圍，矩陣2的單元格范圍)。例如，用矩陣 與矩陣C相乘，首先選擇一個(gè)輸出區(qū)域如G1:H2，然后輸入“=m

7、mult(A1:B2,C1:D2)”，然后按下“Ctrl+Shift+Enter”鍵（圖9），即可給出1.2060441.2060440.20817-0.20817再用乘得的結(jié)果與P陣相乘，便得對(duì)角矩陣1.705603000.294397如果希望一步到位也不難，選定輸出區(qū)域如C3:D4，然后輸入“=mmult(mmult(A1:B2,C1:D2),E1:F2)” （圖10），同時(shí)按下“Ctrl+Shift+Enter”鍵，立即得到結(jié)果（圖11）。顯然，對(duì)角矩陣對(duì)角線的數(shù)值恰是相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值。圖9 矩陣乘法示例圖10 矩陣連乘的命令與語(yǔ)法 至此，標(biāo)準(zhǔn)化的原始變量x與主成分之間z之間可以表作

8、顯然與之間正交。圖11 乘法結(jié)果：對(duì)角矩陣 根據(jù)特征根計(jì)算累計(jì)方差貢獻(xiàn)率?，F(xiàn)已求得第一特征根為，第二特征根為，二者之和剛好就是矩陣的維數(shù)，即有，這里m=2為變量數(shù)目（注意前面的n=25為樣本數(shù)目）。比較圖6或圖10中給出的相關(guān)系數(shù)矩陣C與圖11中給出的對(duì)角矩陣D可以看出，Tr.(C)=1+1=2，Tr.(D)=1.7056+0.2944=2，即有Tr.(C)= Tr.(D)，可見(jiàn)將相關(guān)系數(shù)亦即協(xié)方差矩陣轉(zhuǎn)換為對(duì)角矩陣以后，矩陣的跡（trace，即對(duì)角線元素之和）沒(méi)有改變，這意味著將原始變量化為主成分以后，系統(tǒng)的信息量沒(méi)有減少。現(xiàn)在問(wèn)題是，如果我們只取一個(gè)主成分代表原來(lái)的兩個(gè)變量，能反映原始變量

9、的多少信息？這個(gè)問(wèn)題可以借助相關(guān)系數(shù)矩陣的特征根來(lái)判斷。利用Excel容易算出，第一特征根占特征根總和即矩陣維數(shù)的85.28%（見(jiàn)下表），即有特征根累計(jì)值百分比累計(jì)百分比1.7056031.70560385.28%85.28%0.294397214.72%100.00%也就是說(shuō)：1.7056， ：0.2944， ：2，這表明，如果僅取第一個(gè)主成分，可以反映原來(lái)數(shù)據(jù)85.28%的信息換言之，舍棄第二個(gè)主成分，原來(lái)數(shù)據(jù)的信息僅僅損失14.72%，但分析變量的自由度卻減少一個(gè)，整個(gè)分析將會(huì)顯得更加簡(jiǎn)明。 計(jì)算主成分載荷。根據(jù)公式，容易算出 計(jì)算公因子方差和方差貢獻(xiàn)。根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果可以比較公因子方差

10、和方差貢獻(xiàn)。再考慮全部的兩個(gè)主成分的時(shí)候，對(duì)應(yīng)于和的公因子方差分別為 對(duì)應(yīng)于第一主成分z1和第二主成分z2的方差貢獻(xiàn)分別為 可以看出（圖12）： 第一，方差貢獻(xiàn)等于對(duì)應(yīng)主成分的特征根，即有第二，公因子方差相等或彼此接近，即有第一，公因子方差之和等于方差貢獻(xiàn)之和，即有第一個(gè)規(guī)律是我們決定提取主成分?jǐn)?shù)目的判據(jù)與之一，第二個(gè)規(guī)律是我們判斷提取主成分?jǐn)?shù)目是否合適的判據(jù)之一，第三個(gè)規(guī)律是我們判斷提取主成分后是否損失信息的判據(jù)之一。去掉次要的主成分以后，上述規(guī)律理當(dāng)仍然滿足。這時(shí)如果第二個(gè)規(guī)律不滿足，就意味著主成分的提取是不合適的。此外，上述規(guī)律也是我們檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果是否正確的判據(jù)之一。圖12 公因子方差、

11、方差貢獻(xiàn)的計(jì)算結(jié)果及其與特征根的貢獻(xiàn) 計(jì)算主成分得分。根據(jù)主成分與原始變量的關(guān)系，應(yīng)有或者對(duì)于本例而言，式中，這里，為前面計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量。于是有化為代數(shù)形式便是式中的x均為標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)。對(duì)進(jìn)行轉(zhuǎn)置，可得圖13 計(jì)算特征向量的公式及語(yǔ)法圖14 計(jì)算主成分得分根據(jù)這個(gè)式子，利用Excel計(jì)算主成分得分的步驟如下： 將特征向量復(fù)制到標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的附近； 選中一個(gè)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)占據(jù)范圍一樣大小的數(shù)值區(qū)域（如G2:H26）； 輸入如下計(jì)算公式“=mmult(標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的范圍，特征向量的范圍)”，在本例中就是“=MMULT(B2:C26,E2:F3)”（圖13）； 同時(shí)按下“Ctrl+Shift+Ente

12、r”鍵。 計(jì)算主成分得分的均值和方差，可以發(fā)現(xiàn)，均值為0（由于誤差之故，約等于0），方差等于特征根。 最后，可以對(duì)主成分得分進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。已知主成分得分的均值為0,我們不按總體方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，而按樣本方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。圖15 主成分得分的標(biāo)準(zhǔn)化結(jié)果 樣本方差的計(jì)算公式為相應(yīng)地，標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)化公式同前面給出的一樣。結(jié)果見(jiàn)表15。注意，這里之所以按樣本方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，主要目的是為了與SPSS的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。 分別以z1、z2為坐標(biāo)軸，將主成分得分（包括標(biāo)準(zhǔn)化的得分）點(diǎn)列標(biāo)繪于坐標(biāo)圖中，可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)列分布沒(méi)有任何趨勢(shì)：回歸結(jié)果表明，回歸系數(shù)和相關(guān)系數(shù)均為零，即有，（圖16，圖17）。這從幾何圖形上顯