導數(shù)含參數(shù)取值范圍分類討論題型總結與方法歸納

1、導數(shù)習題題型十七：含參數(shù)導數(shù)問題的分類討論問題含參數(shù)導數(shù)問題的分類討論問題1求導后，導函數(shù)的解析式含有參數(shù)，導函數(shù)為零有實根（或導函數(shù)的分子能分解因式）, 導函數(shù)為零的實根中有參數(shù)也落在定義域內，但不知這些實根的大小關系，從而引起討論。 已知函數(shù)（a>0）,求函數(shù)的單調區(qū)間 例1 已知函數(shù)（a>0）求函數(shù)的單調區(qū)間 例3已知函數(shù)，其中。（）當時，求曲線在點處的切線方程；（）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間與極值。解：（）當時，曲線在點處的切線方程為。（）由于，所以 ,由，得。這兩個實根都在定義域R內，但不知它們之間 的大小。因此，需對參數(shù)的取值分和兩種情況進行討論。 (1)當時，則。易得在區(qū)

2、間，內為減函數(shù)，在區(qū)間為增函數(shù)。故函數(shù)在處取得極小值； 函數(shù)在處取得極大值。（1） 當時，則。易得在區(qū)間，內為增函數(shù)，在區(qū)間為減函數(shù)。故函數(shù)在處取得極小值；函數(shù)在處取得極大值。 以上三點即為含參數(shù)導數(shù)問題的三個基本討論點，在求解有關含參數(shù)的導數(shù)問題時，可按上述三點的順序對參數(shù)進行討論。因此，對含參數(shù)的導數(shù)問題的討論，還是有一定的規(guī)律可循的。當然，在具體解題中，可能要討論其中的兩點或三點，這時的討論就更復雜一些了，需要靈活把握。 (區(qū)間確定零點不確定的典例)例4 某分公司經(jīng)銷某種品牌產品，每件產品的成本為3元，并且每件產品需向總公司交a元（3a5）的管理費，預計當每件產品的售價為x元（9x11）

3、時，一年的銷售量為（12-x）2萬件.（1）求分公司一年的利潤L（萬元）與每件產品的售價x的函數(shù)關系式；（2）當每件產品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L最大，并求出L的最大值Q（a）.解 （1）分公司一年的利潤L（萬元）與售價x的函數(shù)關系式為：L=(x-3-a)(12-x)2,x9,11. (2)L(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x) =(12-x)(18+2a-3x).X=12y 令L=0得x=6+a或x=12（不合題意，舍去）. 3a5,86+a.912x 在x=6+a兩側L的值由正變負.0 所以當86+a9即3a時， Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=

4、9(6-a). 當96+a即a5時，Lmax=L(6+a)=(6+a-3-a)12-(6+a)2=4(3-a)3.所以Q(a)=答 若3a，則當每件售價為9元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q（a）=9(6-a)（萬元）；若a5，則當每件售價為(6+a)元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q(a)=4（3-a）3(萬元).（導函數(shù)零點確定，但區(qū)間端點不確定引起討論的典例）例2、已知 ().求函數(shù)的單調區(qū)間; ().求函數(shù)在上的最小值; ()對一切的,恒成立,求實數(shù)的取值范圍. 解：() ()()0<t<t+2<，t無解； ()0<t<<t+2，即0<

5、t<時，； ()，即時，9分 ()由題意:在上恒成立,即 可得（分離參數(shù)）,設, 則12分 令,得(舍) 當時,;當時, 當時,取得最大值, =-213分.二求導后，導函數(shù)為零有實根（或導函數(shù)的分子能分解因式），但不知導函數(shù)為零的實根是否落在定義域內，從而引起討論。(用導數(shù)解決函數(shù)問題若求導后研究函數(shù)的導數(shù)問題時能轉化為研究二次函數(shù)問題時，二次項的系數(shù)含參數(shù)按系數(shù)大于零、等于零、小于零分類；再按在二次項的系數(shù)不等于零時對判別式按0、=0、0；在0時，求導函數(shù)的零點再根據(jù)零點是否在在定義域內進行套論，若零點含參數(shù)在對零點之間的大小進行討論。)1 已知函數(shù) ，求函數(shù)的單調區(qū)間 例2 已知函數(shù)

6、（a>0）,求函數(shù)的單調區(qū)間 例3 已知是實數(shù)，函數(shù)（）求函數(shù)的單調區(qū)間；（）設為在區(qū)間上的最小值。 （）寫出的表達式； （）求的取值范圍，使得。解：（）函數(shù)的定義域為，由得。考慮是否落在導函數(shù)的定義域內，需對參數(shù)的取值分及兩種情況進行討論。（1） 當時，則在上恒成立，所以的單調遞增區(qū)間為。（2） 當時，由，得；由，得。因此，當時，的單調遞減區(qū)間為，的單調遞增區(qū)間為。（）（）由第（）問的結論可知：（1） 當時，在上單調遞增，從而在上單調遞增，所以。（2） 當時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以： 當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以。 當，即時，在上單調遞減，所以。綜上所述，（）令

7、。若，無解；若，由解得； 若，由解得。綜上所述，的取值范圍為。三.求導后，因導函數(shù)為零是否有實根（或導函數(shù)的分子能否分解因式）不確定，而引起的討論。例1已知函數(shù) 求函數(shù)的單調區(qū)間例2已知函數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間 例3 設，函數(shù)，試討論函數(shù)的單調性。解： ?？紤]導函數(shù)是否有實根，從而需要對參數(shù)的取值進行討論。（一）若，則。由于當時，無實根，而當時，有實根，因此，對參數(shù)分和兩種情況討論。（1） 當時，在上恒成立，所以函數(shù)在上為增函數(shù)；（2） 當時，。由，得，因為，所以。由，得；由，得。因此，當時，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)。（二）若，則。由于當時，無實根，而當時，有實根，因此，對參數(shù)分和兩種情況討

8、論。（1） 當時，在上恒成立，所以函數(shù)在上為減函數(shù)；（2） 當時，。由，得；由，得。因此，當時，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)。綜上所述：（1） 當時，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)。（2） 當時，函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)。（3） 當時，函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)。 19設a0,討論函數(shù)f（x）=lnx+a（1-a）x2-2（1-a）x的單調性。解：函數(shù)的定義域為當?shù)呐袆e式當有兩個零點，（1）且當內為增函數(shù)；當內為減函數(shù)；當內為增函數(shù)；當內為增函數(shù)；當 時，由 >0 <0所以在定義域(0，+)內有唯一零點，且當內為增函數(shù)；當時，內為減函數(shù)。的單

9、調區(qū)間如下表： （其中）因函數(shù)的零點的個數(shù)不確定而引起的討論。例已知函數(shù)f(x)=1n x，g(x)=(a為常數(shù))，若直線與y=f(x)和y=g(x)的圖象都相切，且與y=f(x)的圖象相切于定點P（1，f（1） （1）求直線的方程及a 的值； （2）當kR時，討論關于x的方程f(x2+1)-g(x)=k的實數(shù)解的個數(shù)解：（1）f(x)=，f（1）=1 k1=1,又切點為P（1，f（1），即（1，0）l的解析式為y=x-1， y=x-1l與y=g(x)相切， 由 y=,消去y得x2-2x+2a+2=0,=（-2）2-4（2a+2）=0，得a=-（2）令h（x）=f(x2+1)-g(x)=1n(

10、x2+1)h(x)=-x=-，則為增函數(shù)，-1x0或x1時，故x=±1時，h（x）取極大值1n2， x=0時，h（x）取極小值。因此當k（1n2，+），原方程一解；當k=1n2時，原方程有兩解；當k1n2時，原方程有四解；當k=時，原方程有三解；當k時，原方程有兩解5.求參數(shù)的范圍時由于不能分離出參數(shù)而引起的對參數(shù)進行的討論例1：（此為不能分離出參數(shù)a的例題）已知（）當 時，若對有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：因為f(x)=x3-6ax2+9a2x，x3-6ax2+9a2x-40所以f'(x)=3x2-12ax+9a2=（3x-3a）(x3a), 在上>0是增函數(shù)，在上

11、<0是減函數(shù)，在上>0是增函數(shù)。所以函數(shù)在x=a時，所以函數(shù)在x=a時，因對有恒成立， 求實數(shù)的取值范圍.極值點 指定區(qū)間端點位置關系不確定引起討論。討論如下： a>0 當兩個極值點都在指定區(qū)間內時。即0<3a3，也就是0<a<1時，（當a>0時為什么分為0<a<3，與a3兩類。要講清楚） 在上>0是增函數(shù)，在上<0是減函數(shù)，在上>0是增函數(shù)。所以函數(shù)在x=a時，所以函數(shù)在x=a時， 有恒成立，等價于 解得即0<a1 當兩個極值點有一個在指定區(qū)間內時。即0<a3，且3a>3時，也就是1<a3 時，（

12、當a>0時為什么分為0<a<3，與a3兩類。要講清楚） 在上>0是增函數(shù)，在上<0是減函數(shù)， 所以函數(shù)在x=a時， 有恒成立，等價于解得 當兩個極值點都不在在指定區(qū)間內時。即a>3時， （當a>0時為什么分為0<a<3，與a3兩類。要講清楚） 在 上>0是增函數(shù)， 與 矛盾。 綜上：對有恒成立時，實數(shù)的取值范圍是.例4設函數(shù)，其中，求函數(shù)的極值點。解：由題意可得的定義域為，的分母在定義域上恒為正，方程是否有實根，需要對參數(shù)的取值進行討論。（1）當，即時，方程無實根或只有唯一根，所以,在上恒成立，則在上恒成立，所以函數(shù)在上單調遞增，從而

13、函數(shù)在上無極值點。（2）當，即時，方程，即有兩個不相等的實根：。這兩個根是否都在定義域內呢？又需要對參數(shù)的取值分情況作如下討論：（）當時，所以。此時，與隨的變化情況如下表：0遞減極小值遞增由此表可知：當時，有唯一極小值點。（）當時，所以。此時，與隨的變化情況如下表：遞增極大值遞減極小值遞增由此表可知：當時，有一個極大值點和一個極小值點。綜上所述：（1） 當時，有唯一極小值點；（2） 當時，有一個極大值點和一個極小值點；（3） 當時，無極值點。從以上諸例不難看出，在對含參數(shù)的導數(shù)問題的討論時，只要把握以上三個基本討論點，那么討論就有了方向和切入點，即使問題較為復雜，討論起來也會得心應手、層次分明

14、，從而使問題迎刃而解。 (19)()小問5分，()小問7分.)已知函數(shù)(其中常數(shù)a,bR),是奇函數(shù).()求的表達式;()討論的單調性，并求在區(qū)間1,2上的最大值和最小值.（21）已知函數(shù)（I）當時，求曲線在點處的切線方程；（II）當時，討論的單調性.解：（） 當 所以 因此， 即 曲線又所以曲線 （）因為 ，所以 ，令 （1）當所以，當，函數(shù)單調遞減；當時，此時單調遞 （2）當 即，解得當時，恒成立，此時，函數(shù)在（0，+）上單調遞減；當時，單調遞減；時，單調遞增；，此時，函數(shù)單調遞減；當時，由于時，此時，函數(shù)單調遞減；時，此時，函數(shù)單調遞增。綜上所述：當時，函數(shù)在（，）上單調遞減；函數(shù)在（，

15、）上單調遞增；當時，函數(shù)在（0，+）上單調遞減；當時，函數(shù)在（0，1）上單調遞減；函數(shù)在上單調遞增；函數(shù)上單調遞減， (22)已知函數(shù).()當時，討論的單調性；（）設當時，若對任意，存在，使，求實數(shù)取值范圍.解：（）因為，所以 ，令 ， 當時，恒成立，此時，函數(shù) 在上單調遞減； 當， 時，此時，函數(shù)單調遞減； 時，此時，函數(shù) 單調遞增； 時，此時，函數(shù)單調遞減； 當時，由于， ，,此時，函數(shù) 單調遞減；時，此時，函數(shù)單調遞增.綜上所述：0（）因為a=，由（）知，=1，=3，當時，函數(shù)單調遞減；當時，函數(shù)單調遞增，所以在（0，2）上的最小值為。由于“對任意，存在，使”等價于“在上的最小值不大于在

16、（0,2）上的最小值”（*）又=，所以當時，因為，此時與（*）矛盾當時，因為，同樣與（*）矛盾當時，因為，解不等式8-4b，可得綜上，b的取值范圍是。（21）已知函數(shù). （）討論函數(shù)的單調性； （）設，證明：對任意，.解：() f(x)的定義域為(0,+)，.當a0時，0，故f(x)在(0,+)單調增加；當a1時，0, 故f(x)在(0,+)單調減少；當1a0時，令0,解得x=.當x(0, )時, 0；x(，+)時，0, 故f(x)在（0, ）單調增加，在（，+）單調減少.()不妨假設x1x2.由于a2,故f(x)在（0，+）單調減少.所以等價于4x14x2,即f(x2)+ 4x2f(x1)+

17、 4x1.令g(x)=f(x)+4x,則+4.于是0.從而g(x)在（0，+）單調減少，故g(x1) g(x2)，即f(x1)+ 4x1f(x2)+ 4x2，故對任意x1,x2(0,+) ，.（21）已知函數(shù)（I） 討論函數(shù)的單調性；（II） （II）設.如果對任意，求的取值范圍。解：（）的定義域為（0，+）. .當時，0，故在（0，+）單調增加；當時，0，故在（0，+）單調減少；當-10時，令=0，解得.則當時，0；時，0.故在單調增加，在單調減少.（）不妨假設，而-1，由（）知在（0，+）單調減少，從而 ，等價于 ， 令，則等價于在（0，+）單調減少，即 . 從而 故a的取值范圍為（-，-

18、2. (18)已知函數(shù)()=In(1+)-+(0)。()當=2時，求曲線=()在點(1，(1)處的切線方程；()求()的單調區(qū)間。解：（I）當時，由于， 所以曲線在點處的切線方程為 即 （II），.當時，. 所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，.故得單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是.當時，由，得，所以，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故得單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是.當時， 故得單調遞增區(qū)間是.當時，得，.所以沒在區(qū)間和上，；在區(qū)間上， 故得單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是20、（本小題滿分16分）設是定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導函數(shù)為。如果存在實數(shù)和函數(shù)，其中對任意的都有>0，使得，則稱函數(shù)具有性質。(

19、1)設函數(shù)，其中為實數(shù)。(i)求證：函數(shù)具有性質； (ii)求函數(shù)的單調區(qū)間。(2)已知函數(shù)具有性質。給定設為實數(shù)，且，若|<|，求的取值范圍。解析 本小題主要考查函數(shù)的概念、性質、圖象及導數(shù)等基礎知識，考查靈活運用數(shù)形結合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力。滿分16分。（1）(i),時，恒成立，函數(shù)具有性質；(ii)（方法一）設，與的符號相同。當時，故此時在區(qū)間上遞增；當時，對于，有，所以此時在區(qū)間上遞增；當時，圖像開口向上，對稱軸，而，對于，總有，故此時在區(qū)間上遞增；（方法二）當時，對于， 所以，故此時在區(qū)間上遞增；當時，圖像開口向上，對稱軸，方程的兩根為：，而

20、當時，故此時在區(qū)間 上遞減；同理得：在區(qū)間上遞增。綜上所述，當時，在區(qū)間上遞增； 當時，在上遞減；在上遞增。(2)（方法一）由題意，得：又對任意的都有>0，所以對任意的都有，在上遞增。又。當時，且， 綜合以上討論，得：所求的取值范圍是（0，1）。（方法二）由題設知，的導函數(shù)，其中函數(shù)對于任意的都成立。所以，當時，從而在區(qū)間上單調遞增。當時，有，得，同理可得，所以由的單調性知、，從而有|<|，符合題設。當時，于是由及的單調性知，所以|，與題設不符。當時，同理可得，進而得|，與題設不符。因此綜合、得所求的的取值范圍是（0，1）。待研究的以下問題在求函數(shù)的單調區(qū)間時涉及的分類討論問題；在

21、求函數(shù)的極值與最值問題引出分類討論問題；在涉及函數(shù)的零點時引起的分類討論問題；參考資料：導數(shù)的應用與分類討論【例】 設函數(shù)f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax+8，其中aR. （）若f（x）在x=3處取得極值，求常數(shù)a的值； （）若f（x）在（-，）上為增函數(shù)，求a的取值范圍. 解： （）f （x）=6x2-6（a+1）x+6a=6（x-a）（x-1）. f（x）在x=3處取得極值， f （）（-a）=0，a=3，檢驗知成立. （）由f （x）=6（x-a）（x-1）=0得x1=a或x2=1. 若a<1，則當x（，a）（，）時，f （x）>0，所以f （x）在（，a）和（，）

22、上為增函數(shù)，而f（x）在（，）上為增函數(shù)，所以a<1； 若a1，則當x（，1）（a，）時，f （x）>0，所以f （x）在（，1）和（a，）上為增函數(shù)，f（x）在（，）上也為增函數(shù). 綜上，所求a的取值范圍為，）. 【點評】 （）中對a的值進行分類討論，當a<1時很容易忽視a0這個條件，注意這時f（x）在（，）上為增函數(shù)，必須有a0. 【例】 設函數(shù)y=ax5-bx3+c（c0）在x=±1時有極值，且極大值為，極小值為.求a、b、c的值. 解： 令y=5ax4-3bx2=0，x2（5ax2-3b）=0.所以極值點可能是和±1. 因為函數(shù)x=±1時有極值，所以5a=3b，y=5ax（x-1）=5ax（x+1）（x-1）.若a>0，當x變化時，函數(shù)遞增與遞減及極值情況如下表：若a<0，用同樣的方法得a=-3，b=-5，c=2. 【點評】 這里實施的是一個二級分類討論，使用表格簡明清晰；在“”處，為什么沒有極值，要深入理解. 【例】 函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（，）內可導，導函數(shù) f（x）是減函數(shù)，且f （x）.設x