常微分方程課件--奇解和包絡(luò)

1、2.4 奇奇 解解 和 包 絡(luò) 一、包絡(luò)和一、包絡(luò)和奇解奇解1 包絡(luò)的定義包絡(luò)的定義定義定義1：對(duì)于給定的一個(gè)單參數(shù)曲線族：對(duì)于給定的一個(gè)單參數(shù)曲線族： ) 1 (, 0),(cyx,),(,的連續(xù)可微函數(shù)是是參數(shù)其中cyxcyxc曲線族(1)的包絡(luò)包絡(luò)是指這樣的曲線,它本身不包含在曲線(1)中,但過(guò)這曲線的每一點(diǎn)有(1)中的一條曲線和它在這點(diǎn)相切.對(duì)于給定的一個(gè)單參數(shù)曲線族：對(duì)于給定的一個(gè)單參數(shù)曲線族： 0),(:cyxlc其中RIc為參數(shù). 若存在一條曲線, l滿足下列條件:(1) ;Iccll(2) 對(duì)任意的 ,00lyx存在唯一的,0Ic 使得000,clyx且l與0cl在有相同的切線

2、.則稱l為曲線族0),(:cyxlc的一條包絡(luò)線,簡(jiǎn)稱為包絡(luò).00,xy或定義：或定義：例如單參數(shù)曲線族：222)(Rycx（其中R是常數(shù)，c是參數(shù)）表示圓心為（c,0）而半徑等于R的一族圓. 如圖R從圖形可見,此曲線族的包絡(luò)顯然為:.RyRy和注:并不是每個(gè)曲線族都有包絡(luò).例如: 單參數(shù)曲線族:222cyx(其中c為參數(shù))表示一族同心圓. 如圖從圖形可見, 此曲線族沒(méi)有包絡(luò).問(wèn)題問(wèn)題:對(duì)于給定的單參數(shù)曲線族對(duì)于給定的單參數(shù)曲線族: 0),(cyx.是參數(shù)其Ic如何判斷它是否有包絡(luò)如何判斷它是否有包絡(luò)? 如果有包絡(luò)如果有包絡(luò), 如何求如何求?根據(jù)定義, 假設(shè)該單參數(shù)曲線族有包絡(luò), l則對(duì)任意的

3、,lyx存在唯一的, Ic使得.,clyx于是得到對(duì)應(yīng)關(guān)系:,:Ilc).,(),(yxcyx從而得到二元函數(shù)lyxyxcc),(),(使得.),(, 0),(,(lyxyxcyx若l可用參數(shù)形式表示為:),(),(),(ttytx記),()(),(tcttcc則),(, 0)(),(),(ttctt于是,. 0dtdcdtddtdcyxl上任取一個(gè)固定點(diǎn)M, 則M在某一條曲線cl上. 由于l與cl在M點(diǎn)有相同的切線, 而l與cl在M點(diǎn)的切線的斜率分別為dxdy與,yx所以, 有從而. 0dtdcc, 0dtddtdyx由于在l上不同的點(diǎn)也在不同的cl上,即, 0dtdc因此. 0c現(xiàn)在因此,

4、 包絡(luò)線l任意一點(diǎn)M不僅要滿足, 0),(cyx而且還要滿足. 0),(cyxc把聯(lián)立方程組:0),(0),(cyxcyxc中消去參數(shù)c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲線*l稱為曲線族 Iccl的c-判別曲線0),(0),(cyxcyxc的稱為曲線) 1 (0),(yxF2 包絡(luò)的求法包絡(luò)的求法曲線族(1)的包絡(luò)包含在下列兩方程,0),(之中而得到的曲線消去參數(shù)yxFc.判別曲線c.還有其它曲線判別曲線有時(shí)除包絡(luò)外c注注:) 1 (, 0),(cyx解解: 記, 0)(32)(),(32cxcycyx則)31. 3(0)()()30. 3(0)(32)(232cxcycxcy得代入把為了消

5、去)30. 3()31. 3(, c0)(32)(34cxcx即例例1:的包絡(luò).求曲線族0)(32)(32cxcy032)()(3cxcx,不是包絡(luò)容易驗(yàn)證xy 因此c-判別曲線包括兩條曲線(2)和(3),)2(xy 得從0cx得從032cx)3(92 xy032)()(3cxcx.92是包絡(luò)而直線 xyxyO例例2:求直線族:0sincospyx的包絡(luò).這里是參數(shù),p是常數(shù).解解:記, 0sincos),(pyxyx則. 0cossin, 0sincosyxpyx消去參數(shù),得.222pyx0sincospyx的c-判別曲線:經(jīng)驗(yàn)證222pyx是曲線族0sincospyx的包絡(luò). 如圖:Opx

6、y3 奇解奇解定義定義2: 微分方程的某一解稱為奇解,如果在這個(gè)解的每一點(diǎn)還有方程的另外一個(gè)解存在.注:一階微分方程的通解的包絡(luò)一定是奇解;反之微分方程的奇解(若存在)也是微分方程的包絡(luò).例如: 的解為方程2)(22xdxdyxdxdyy22,2xycxcc為參數(shù).42也是方程的解此外xy .,2422因此它為奇解的包絡(luò)是通解ccxxyxy4 奇解的求法奇解的求法)4(, 0),(dxdyyxF方程的奇解包含在由方程組( , , )0(3.34)( , , )0pF x y pFx y p,0),(之中而得到的曲線消去參數(shù)yxp的此曲線稱為)34. 3(.判別曲線p.,尚需進(jìn)一步討論奇解判別曲

7、線是否為方程的p注注:.,),(的連續(xù)可微函數(shù)是這里pyxpyxF例例3: 求微分方程0122ydxdy的奇解.解解:從. 02, 0122pyp消去p(實(shí)際上p=0), 得到p-判別曲線, 12y即. 1y為任常數(shù)ccxy),sin( .,1且正好是通解的包絡(luò)也是微分方程的解而y由于方程的通解為:.11是方程的奇解和兩曲線yy三、克萊羅（三、克萊羅（Clairaut）方程）方程1 定義3: 形如dxdyfdxdyxy的方程，稱為克萊羅(Clairaut)方程.)(的連續(xù)可微函數(shù)是這里ppf為求它的解,令,dxdyp 得).(pfxpy即得代入并以求導(dǎo)兩邊對(duì),pdxdyx,)( dxdppfp

8、dxdpxp經(jīng)化簡(jiǎn),得. 0)( pfxdxdp2 克萊羅(Clairaut)方程的求解dxdyfdxdyxy這是y已解出的一階微分方程.如果, 0dxdp則得到. cp . 0)( pfxdxdp于是, Clairaut方程的通解為:).(cfcxy如果, 0)( pfx它與等式)(pfxpy聯(lián)立,則得到Clairaut方程的以p為參數(shù)的解:)(0)( pfxpypfx或)(0)( cfxcycfx其中c為參數(shù).消去參數(shù)p便得方程的一個(gè)解.結(jié)果結(jié)果:Clairaut方程dxdyfdxdyxy的通解)(cfcxy是一直線族,此直線族的包絡(luò))(0)( pfxpypfx或)(0)( cfxcycfx是Clairaut方程的奇積分曲線, 所對(duì)應(yīng)的解是奇解.如果令, 0)(),(ycfxccyx則, 0)( ),(cfxcyxc因此, 求得此解的過(guò)程正好與從通解中求包絡(luò)的手續(xù)一樣.易驗(yàn)證, 此參數(shù)曲線恰為通解的包絡(luò)例例4:求解方程.1yxyy解解: 這是Cl