挖掘教材潛力

1、.莇薁蝕羈蕿莄聿羀艿蠆羅罿莁蒂袁羈蒄蚈螇羇膃蒀蚃肇芅蚆羈肆莈葿袇肅蒀蚄螃肄芀蕆蝿肅莂螂蚅肂蒄薅羄肁膄螁袀肁芆薄螆膀荿蝿螞腿蒁薂羈膈膁蒞羆膇莃薀袂膆蒅蒃螈膅膅蚈蚄膅芇蒁羃膄荿蚇衿芃蒂蒀螅節(jié)膁蚅蟻芁芄蒈肀芀蒆蚃羆艿薈薆袂艿羋螂螈裊莀薄蚄襖蒃螀羂袃膂薃袈羃芅螈螄羂莇薁蝕羈蕿莄聿羀艿蠆羅罿莁蒂袁羈蒄蚈螇羇膃蒀蚃肇芅蚆羈肆莈葿袇肅蒀蚄螃肄芀蕆蝿肅莂螂蚅肂蒄薅羄肁膄螁袀肁芆薄螆膀荿蝿螞腿蒁薂羈膈膁蒞羆膇莃薀袂膆蒅蒃螈膅膅蚈蚄膅芇蒁羃膄荿蚇衿芃蒂蒀螅節(jié)膁蚅蟻芁芄蒈肀芀蒆蚃羆艿薈薆袂艿羋螂螈裊莀薄蚄襖蒃螀羂袃膂薃袈羃芅螈螄羂莇薁蝕羈蕿莄聿羀艿蠆羅罿莁蒂袁羈蒄蚈螇羇膃蒀蚃肇芅蚆羈肆莈葿袇肅蒀蚄螃肄芀蕆蝿肅莂螂蚅

2、肂蒄薅羄肁膄螁袀肁芆薄螆膀荿蝿螞腿蒁薂羈膈膁蒞羆膇莃薀袂膆蒅蒃螈膅膅蚈蚄膅芇蒁羃膄荿蚇衿芃蒂蒀螅節(jié)膁蚅蟻芁芄蒈肀芀蒆蚃羆艿薈薆袂艿羋螂螈裊莀薄蚄襖蒃螀羂袃膂薃袈羃芅螈螄羂莇薁蝕羈蕿莄聿羀艿蠆羅罿莁蒂袁羈蒄蚈螇羇膃蒀蚃肇芅蚆羈肆莈葿袇肅蒀蚄螃 挖掘教材潛力，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)美 常熟市濱江職業(yè)技術(shù)學(xué)校 陳梅紅長(zhǎng)期以來(lái)，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，人們往往只重視基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的傳授與訓(xùn)練，而忽視了美育的滲透。不善于發(fā)掘數(shù)學(xué)本身所特有的美，不注意用數(shù)學(xué)美來(lái)感染誘發(fā)學(xué)生的求知欲望，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣；不重視引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美，鑒賞數(shù)學(xué)美，更談不上引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造數(shù)學(xué)美，以致使一些學(xué)生感到數(shù)學(xué)抽象枯燥乏味，失去學(xué)好

3、數(shù)學(xué)的信心。中學(xué)數(shù)學(xué)中處處蘊(yùn)涵著美數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)與和諧，簡(jiǎn)單與明快，奇異與突變，嚴(yán)謹(jǐn)與統(tǒng)一，無(wú)不給人以美的享受、美的感染。美感是一種力量，它給人以啟迪，它推動(dòng)人去創(chuàng)新，它給人以戰(zhàn)勝困難的勇氣和毅力。美國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因曾對(duì)數(shù)學(xué)美作過(guò)這樣的描述：“音樂(lè)能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫(huà)使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科技可以改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)卻能提供以上一切?！睙o(wú)數(shù)實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)美對(duì)于人們進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造具有重要意義。首先，對(duì)數(shù)學(xué)美感的追求是人們進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造的動(dòng)力來(lái)源之一。其次，數(shù)學(xué)美感是數(shù)學(xué)創(chuàng)造能力的一個(gè)有機(jī)組成部分。第三，數(shù)學(xué)美的方法也是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的一種有效方法。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合教材，

4、挖掘教材潛力，充分展示教材的數(shù)學(xué)美，使學(xué)生受到美的熏陶，同時(shí)激發(fā)他們的創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力，也有助于學(xué)生樹(shù)立學(xué)習(xí)的信心，提高學(xué)習(xí)的興趣，激發(fā)學(xué)習(xí)潛能，在學(xué)習(xí)中獲得愉悅感。本文從以下幾個(gè)方面來(lái)挖掘、欣賞數(shù)學(xué)美。一、 數(shù)學(xué)史的發(fā)展美隨著數(shù)學(xué)教學(xué)改革的逐步深入，數(shù)學(xué)史越來(lái)越受到數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作者的重視。一些歷史的例子可以古為今用，可以被開(kāi)發(fā)出來(lái)作為闡釋某些深?yuàn)W數(shù)學(xué)概念和思想的教學(xué)載體。數(shù)學(xué)史的發(fā)展美包括兩個(gè)方面：（一）數(shù)學(xué)知識(shí)體系的發(fā)展美。如數(shù)系的發(fā)展、坐標(biāo)系的引入、微積分的發(fā)展等。既可以增加學(xué)生的知識(shí)面,擴(kuò)大學(xué)生的視野,還可以從這些史實(shí)中,了解相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法產(chǎn)生的歷史背景,體會(huì)其中的

5、思想、方法和創(chuàng)立一門(mén)新學(xué)科的艱辛。（二）眾多天才數(shù)學(xué)家留下的許多有趣的故事，體現(xiàn)了人類(lèi)的智慧。數(shù)學(xué)先驅(qū)們的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度值得我們學(xué)習(xí)，他們的獻(xiàn)身精神值得我們景仰，他們的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)值得我們借鑒，他們孜孜不倦、鍥而不舍地追求真理的精神值得我們感動(dòng)。二、簡(jiǎn)潔美數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，并不是指數(shù)學(xué)內(nèi)容本身簡(jiǎn)單，而是指數(shù)學(xué)的表達(dá)形式、數(shù)學(xué)的證明方法和數(shù)學(xué)的理論體系的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔。愛(ài)因期坦說(shuō)過(guò)：“美，本質(zhì)上終究是簡(jiǎn)單性?！彼€認(rèn)為，只有借助數(shù)學(xué)，才能達(dá)到簡(jiǎn)單性的美學(xué)準(zhǔn)則。物理學(xué)家愛(ài)因期坦的這種美學(xué)理論，在數(shù)學(xué)界，也被多數(shù)人所認(rèn)同。樸素，簡(jiǎn)單，是其外在形式。只有既樸實(shí)清秀，又底蘊(yùn)深厚，才稱(chēng)得上至美。歐拉給出的公式：V，堪稱(chēng)“簡(jiǎn)單

6、美”的典范。世間的多面體有多少？沒(méi)有人能說(shuō)清楚。但它們的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)，都必須服從歐拉給出的公式，一個(gè)如此簡(jiǎn)單的公式，概括了無(wú)數(shù)種多面體的共同特性，能不令人驚嘆不已？在數(shù)學(xué)中，像歐拉公式這樣形式簡(jiǎn)潔、內(nèi)容深刻、作用很大的定理還有許多。比如：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊平方。正弦定理：的外接圓半徑，則。數(shù)學(xué)中絕大部分公式都體現(xiàn)了“形式的簡(jiǎn)潔性，內(nèi)容的豐富性”。正如偉大的希而伯特曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)中每一步真正的進(jìn)展都與更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法的發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系著”。如笛卡爾坐標(biāo)系的引入。對(duì)數(shù)符號(hào)的使用，復(fù)數(shù)單位的引入。微積分的出現(xiàn)都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)外在形式更簡(jiǎn)潔，內(nèi)容更深厚。三、 和諧美

7、數(shù)學(xué)知識(shí)的和諧美是數(shù)學(xué)的普遍形式。教學(xué)時(shí)，教師不但要對(duì)這種美有較深刻的領(lǐng)悟，且要能藝術(shù)地表現(xiàn)出來(lái)。例如:在推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，由定義“到兩定點(diǎn)F1 (c,0)和F2(-c,0)距離之和為定長(zhǎng)2a的點(diǎn)的軌跡”可直接寫(xiě)出方程。這個(gè)方程能正確地表達(dá)橢圓的代數(shù)形式，但比較復(fù)雜，更不便于計(jì)算，故化簡(jiǎn)最終整理成(0)。方程中的b開(kāi)始似乎純粹是為了追求方程的和諧美而引進(jìn)的，但在研究橢圓性質(zhì)時(shí)，可進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)a、b恰好為橢圓的長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)，b竟有鮮明的幾何解釋。人們內(nèi)心世界所追求的美恰好在外部世界得到如此完美的表現(xiàn)，這實(shí)際上也體現(xiàn)了美與美之間和諧的統(tǒng)一。教師在推導(dǎo)過(guò)程中的示范，喚醒了學(xué)生的審美意識(shí)，學(xué)生也進(jìn)入

8、到美的境界，得到美的享受。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生根據(jù)定義畫(huà)出橢圓，且要求他們用生動(dòng)形象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)自己的思維活動(dòng)。這樣，再讓學(xué)生感受和體驗(yàn)美的同時(shí)，激勵(lì)他們創(chuàng)造美，使數(shù)學(xué)美在教學(xué)中的作用發(fā)揮得淋漓盡致。再如歐拉公式：，曾獲得“最美的數(shù)學(xué)定理”稱(chēng)號(hào)。歐拉建立了在他那個(gè)時(shí)代，數(shù)學(xué)中最重要的幾個(gè)常數(shù)之間的絕妙的有趣的聯(lián)系，包容得如此協(xié)調(diào)、有序。與歐拉公式有關(guān)的棣模弗歐拉公式是（）。這個(gè)公式把人們以為沒(méi)有什么共同性的兩大類(lèi)函數(shù)三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)緊密地結(jié)合起來(lái)了。對(duì)他們的結(jié)合，人們始則驚詫?zhuān)^而贊嘆的確是“天作之合”，因?yàn)?，由他們的結(jié)合能派生出許多的美，有用的結(jié)論來(lái)。比如，由公式（）得。由這兩個(gè)公式，可把

9、三角函數(shù)的定義域擴(kuò)展到復(fù)數(shù)域上去，即考慮“弧度”為復(fù)數(shù)的“角”。新定義的余弦函數(shù)與我們?cè)缫咽煜さ耐ǔ５挠嘞液瘮?shù)和諧一致。和諧的美，在數(shù)學(xué)中多得不可勝數(shù)。如著名的黃金分割比，即.61803398， 在正五邊形中，邊長(zhǎng)與對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的比是黃金分割比。又如在橢圓(0)中，記左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，短軸上方的端點(diǎn)為B，若該橢圓的離心率為，則ÐABF。這樣的橢圓不妨稱(chēng)之為“優(yōu)美橢圓”。黃金分割比在許多藝術(shù)作品中、在建筑設(shè)計(jì)中都有廣泛的應(yīng)用。達(dá)·芬奇稱(chēng)黃金分割比為“神圣比例”他認(rèn)為“美感完全建立在各部分之間神圣的比例關(guān)系上”。如名畫(huà)的主題，大多畫(huà)在畫(huà)面的.618處，弦樂(lè)器的聲碼放在琴弦的.

10、618處，會(huì)使聲音更甜美數(shù)學(xué)中的重要思想方法之一：數(shù)形結(jié)合法更體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的和諧美。四、對(duì)稱(chēng)美在古代“對(duì)稱(chēng)”一詞的含義是“和諧”、“美觀”。事實(shí)上，譯自希臘語(yǔ)的這個(gè)詞，原義是“在一些物品的布置時(shí)出現(xiàn)的般配與和諧”。 對(duì)稱(chēng)不僅美，而且有用。 數(shù)學(xué)中的對(duì)稱(chēng)美有：（一）數(shù)和式的對(duì)稱(chēng)美，如二項(xiàng)式定理、楊輝三角；（二）圖形的對(duì)稱(chēng)美。如畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為，一切空間圖形中，最美的是球形；一切平面圖形中，最美的是圓形。圓是中心對(duì)稱(chēng)圓形圓心是它的對(duì)稱(chēng)中心，圓也是軸對(duì)稱(chēng)圖形任何一條直徑都是它的對(duì)稱(chēng)軸。（三）數(shù)學(xué)思想和方法的對(duì)稱(chēng)美。如分析法與綜合法，直接法與反證法，邏輯思維與逆向思維等。五、統(tǒng)一美數(shù)的概念從

11、自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、無(wú)理數(shù)，擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，經(jīng)歷了無(wú)數(shù)次坎坷，范圍不斷擴(kuò)大，對(duì)數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的作用也不斷地增大。那么，人們自然想到能否再把復(fù)數(shù)的概念繼續(xù)推廣。英國(guó)數(shù)學(xué)家哈密頓苦苦思索了15年，沒(méi)能獲得成功。后來(lái)，他“被迫作出妥協(xié)”，犧牲了復(fù)數(shù)集中的一條性質(zhì)，終于發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)，即形為a1+a2i+a3j+a4k （a1 ，a2i ，a3j ，a4k 為實(shí)數(shù)）的數(shù)，其中、如同復(fù)數(shù)中的虛數(shù)單位。若a3 a4 ，則四元數(shù)a1+a2i+a3j+a4k 是一般的復(fù)數(shù)。四元數(shù)的研究推動(dòng)了線(xiàn)性代數(shù)的研究，并在此基礎(chǔ)上形成了線(xiàn)性結(jié)合代數(shù)理論。物理學(xué)家麥克斯韋利用四元數(shù)理論建立了電磁理論。數(shù)學(xué)的發(fā)展是逐步統(tǒng)一的過(guò)程。

12、統(tǒng)一的目的也正如希而伯特所說(shuō)的：“追求更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法”。六、奇異美奇異性是數(shù)學(xué)內(nèi)涵美的又一基本內(nèi)容。它是指所得的結(jié)果新穎奇特，出人意料。七巧板拼圖是小學(xué)數(shù)學(xué)課常采用的內(nèi)容。用七塊板可以拼成一個(gè)最簡(jiǎn)單的正方形，也可以拼出千變?nèi)f化的復(fù)雜圖案：如人形、鳥(niǎo)獸、花草、房屋等。通過(guò)七巧板拼圖練習(xí)，學(xué)生感到圖案之多，出人意料；圖形之美，妙趣橫生。有趣的數(shù)學(xué)知識(shí)，不僅能讓學(xué)生感受到不同的美，而且利用數(shù)學(xué)的奇妙還能裝扮人們的生活。比如：搞服裝設(shè)計(jì)，如果擁有黃金分割的知識(shí)，就會(huì)感覺(jué)自己的設(shè)計(jì)很舒服。巴赫的音樂(lè)中充斥著數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美，埃及的金字塔在建筑線(xiàn)條上凝聚了多少形象的數(shù)學(xué)真可謂哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美

13、。全世界有很大影響的兩份雜志曾聯(lián)合邀請(qǐng)全世界的數(shù)學(xué)家們?cè)u(píng)選“近50年的最佳數(shù)學(xué)問(wèn)題”，其中有一道相當(dāng)簡(jiǎn)單的問(wèn)題：有哪些分?jǐn)?shù)，不合理地把b約去得到，結(jié)果卻是對(duì)的？經(jīng)過(guò)一種簡(jiǎn)單計(jì)算，可以找到四個(gè)分?jǐn)?shù)：。這個(gè)問(wèn)題涉及到“運(yùn)算謬誤，結(jié)果正確”的歪打正著，在給人驚喜之余，不也展現(xiàn)一種奇異美嗎。人造衛(wèi)星、行星、彗星等由于運(yùn)動(dòng)的速度的不同，它們的軌道可能是橢圓、雙曲線(xiàn)或拋物線(xiàn)，這幾種曲線(xiàn)的定義如下：到定點(diǎn)距離與它到定直線(xiàn)的距離之比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)時(shí)，形成的是橢圓當(dāng)時(shí)，形成的是雙曲線(xiàn)當(dāng)時(shí)，形成的是拋物線(xiàn)常數(shù)由0.999變?yōu)?、變?yōu)?.001，相差很小，形成的卻是形狀、性質(zhì)完全不同的曲線(xiàn)。而這幾種曲線(xiàn)又完全

14、可看作不同的平面截圓錐面所得到的截線(xiàn)。這也體現(xiàn)了哲學(xué)中的量變到質(zhì)變。數(shù)學(xué)中也蘊(yùn)含哲學(xué)這不是很美嗎。再看下面幾個(gè)不同的問(wèn)題，在結(jié)論的形式上卻完全相同。也很神奇。例1：在DABC中，ÐBAC120°，AD是ÐBAC的平分線(xiàn)，若ABx1，ACx2，ADx3，則。（如圖1）例2、若直線(xiàn)L分別與兩坐標(biāo)軸的正半軸交于點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)L交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則。（見(jiàn)圖2）例3、設(shè)拋物線(xiàn)(0)與直線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為，該直線(xiàn)與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則。（如圖3）例4、圓內(nèi)接正七邊形的邊長(zhǎng)為，長(zhǎng)、短對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別為，則。（如圖4）（以上四例摘自2004年中學(xué)數(shù)學(xué)第2期江高文“例談數(shù)學(xué)

15、的統(tǒng)一美”，證略）yyxllxxAxxxxxoxxxDCBO圖1(圖2)(圖3)（圖4）這樣神奇的結(jié)論在數(shù)學(xué)中也很多，教師平時(shí)多注意總結(jié)、積累提高自己的欣賞水平。同時(shí)也引導(dǎo)學(xué)生多去發(fā)現(xiàn)。七、應(yīng)用之美數(shù)學(xué)理論不管離現(xiàn)實(shí)多遠(yuǎn)，最后總能找到它的實(shí)際用途，體現(xiàn)其為人類(lèi)服務(wù)的價(jià)值取向。數(shù)學(xué)不但是其它自然科學(xué)的一門(mén)工具性學(xué)科，同時(shí)它還廣泛應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活。數(shù)學(xué)之美，還可以從更多的角度去審視，數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式是多種多樣的，從數(shù)學(xué)內(nèi)容看，有概念之美、公式之美、體系之美等；從數(shù)學(xué)的方法及思維看，有簡(jiǎn)約之美、類(lèi)比之美、抽象之美、無(wú)限之美等；從狹義美學(xué)意義上看，有對(duì)稱(chēng)之美、和諧之美、奇異之美等。上面只是就某些側(cè)面談一

16、些看法。而每一側(cè)面的美都不是孤立的，她們是相輔相成、密不可分的。如和諧美中包含統(tǒng)一美，統(tǒng)一美中也包含和諧美?？傊糯軐W(xué)家、數(shù)學(xué)家普洛克拉斯說(shuō)得好：“哪里有數(shù)，哪里就有美?！睌?shù)學(xué)的美，她需要人們用心、用智慧深層次地去挖掘，更好地體會(huì)她的美學(xué)價(jià)值和她豐富、深隧的內(nèi)涵和思想，及其對(duì)人類(lèi)思維的深刻影響。如果在學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們能與數(shù)學(xué)家們一起探索、發(fā)現(xiàn)，從中獲得成功的喜悅和美的享受，那么我們就會(huì)不斷深入其中，欣賞和創(chuàng)造美。獲蘇州市教育學(xué)會(huì)2007年優(yōu)秀教育論文評(píng)比“三等獎(jiǎng)” 衿肅莂薅袈膇薈蒁袈芀莁蝿袇罿薆蚅羆肂荿薁羅膄薄蕆羄芆莇袆羃肆膀螂羂膈蒅蚈羂芁羋薄羈羀蒄蒀羀肂芇螈聿膅蒂蚄肈芇芅薀肇羇蒀蒆肆腿芃裊肆芁蕿螁肅莄莁蚇肄肅薇薃蝕膆莀葿蝕羋薅螈蝿羈莈蚄螈肀薃蕿螇節(jié)莆薅螆蒞艿襖螅肄蒅螀螄膇芇蚆螄艿蒃薂袃羈芆蒈袂肁蒁螇袁膃芄螃袀蒞葿蠆衿肅莂薅袈膇薈蒁袈芀莁蝿袇罿薆蚅羆肂荿薁羅膄薄蕆羄芆莇袆羃肆膀螂羂膈蒅