格林公式及應(yīng)用2ppt課件

1、Gyxo 1LQdyPdx一、曲線積分與路徑無關(guān)的定義一、曲線積分與路徑無關(guān)的定義 2LQdyPdx1L2LBA如果在區(qū)域如果在區(qū)域G G內(nèi)有內(nèi)有 否否則則與與路路徑徑有有關(guān)關(guān). .二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件定理定理2.2.設(shè)設(shè)G G是單連通域是單連通域 , ,),(),(yxQyxP在在G內(nèi)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1) 沿沿G 中任意光滑閉曲線中任意光滑閉曲線 L , 有有dd0.LP xQ y+=(2) 對對G 中任一分段光滑曲線中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分曲線積分(3)ddP xQ y+),(yxud ( , )d

2、du x yPxQy=+(4) 在在 G 內(nèi)每一點(diǎn)都有內(nèi)每一點(diǎn)都有.PQyx抖=抖ddLP xQ y+與路徑無關(guān)與路徑無關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān)只與起止點(diǎn)有關(guān). 函數(shù)函數(shù)則以下四個條件等價則以下四個條件等價:在在 G 內(nèi)是某一函數(shù)內(nèi)是某一函數(shù)的全微分的全微分,即即 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 說明說明: 積分與路徑無關(guān)時積分與路徑無關(guān)時, 曲線積分可記為曲線積分可記為 證明證明: (1) (2)設(shè)設(shè)21, LL12ddddLLP xQ yP xQ y+-+蝌1ddLP xQ y=+2ddLP xQy-+12ddLLP xQ y-+=+0=AB1L2L2ddLP xQ

3、 y=+1ddLP xQ y+為為G內(nèi)任意兩條由內(nèi)任意兩條由A 到到B 的有向分段光滑曲的有向分段光滑曲線線,那那么么(根據(jù)條件根據(jù)條件(1)ddBAP xQ y=+ddABPxQy+定理定理2 2 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 證明證明: (2) (3)在在G內(nèi)取定點(diǎn)內(nèi)取定點(diǎn)),(00yxA因曲線積分因曲線積分00( ,)(,)( , )ddx yxyu x yP xQ y=+(, )( , )xuu xx yu x yD=+ D-那那么么( ,)P xy=0limxxuuxxDD=D0lim(, )xP xx yqD=+D(,)( , )ddxx yx yP xQ y+

4、 D=+(, )( , )dxx yx yP x+ D=(, )P xx yxq=+ DD同理可證同理可證uy( , ),Q x y=因此有因此有ddduPxQy=+和任一點(diǎn)和任一點(diǎn)B( x, y ),與路徑無關(guān)與路徑無關(guān),(, )Cxx y+D),(yxB),(00yxA有函數(shù)有函數(shù) 定理定理2 2 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 證明證明: (3) (4)設(shè)存在函數(shù)設(shè)存在函數(shù) u ( x , y ) 使得使得ddduP xQ y=+那那么么( , ),( ,)uuP x yQ x yxy抖=抖P, Q 在在 G 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),22uux yy x抖

5、=抖抖所以從而在從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有內(nèi)每一點(diǎn)都有PQyx抖=抖22,PuQuyx yxy x抖抖=抖抖抖定理定理2 2 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 證明證明: (4) (1)設(shè)設(shè)L為為G中任一分段光滑閉曲線中任一分段光滑閉曲線,DD(如圖如圖) ,D 因 此 在上PQyx抖抖利用格林公式利用格林公式 , 得得dd()d dLDQQP xQ yx yxx抖+=-抖蝌DDL0=所圍區(qū)域?yàn)樗鶉鷧^(qū)域?yàn)樽C畢證畢定理定理2 2 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 yx說明說明: 根據(jù)定理根據(jù)定理2 , 若在某區(qū)域內(nèi)若在某區(qū)域內(nèi),PQyx抖=抖那那么么2) 求曲線積分時求

6、曲線積分時, 可利用格林公式簡化計算可利用格林公式簡化計算,3) 可用積分法求可用積分法求d u = P dx + Q dy在域在域 D 內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù):00(,)xyD及動點(diǎn)及動點(diǎn)( ,),x yD00( ,)(,)( , )( , )d( , )dx yxyu x yP x yxQ x yy=+00( ,)dxxP x yx=或或00( , )(, )dyyu x yQ x yy=0y0 x則原函數(shù)為則原函數(shù)為0( , )dyyQ x yy+0( ,)dxxP x yx+若積分路徑不是閉曲線若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助線可添加輔助線;取定點(diǎn)取定點(diǎn)1) 計算曲線積分時計算曲線積分

7、時, 可選擇方便的積分路徑可選擇方便的積分路徑;定理定理2 2 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 xxyxyyP2)2(2 xyxxxQ2)(42 解解 xQyP ，原原積積分分與與路路徑徑無無關(guān)關(guān).1523 積分與路徑無關(guān)積分與路徑無關(guān)xQyP ，解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP ),(),(xyyxQ 由由0)0( ，知知0 c 2)(xx .由由xyxy2)( cxx 2)(11000dxydy=+蝌.21 例例3. 驗(yàn)證驗(yàn)證22ddxyxx y y+是某個函數(shù)的全微分是某個函數(shù)的全微分, ,并求并求出這個函數(shù)出這個函數(shù). .

8、證證: 設(shè)設(shè)22,PxyQx y=那那么么2PQx yyx抖=抖由定理由定理2 可知可知, 存在函數(shù)存在函數(shù) u (x , y) 使使22ddduxyxx y y=+( , )22(0,0)( , )ddx yu x yxyxx y y=+。)0 , 0(。),(yx)0 ,(x00dxxx=20dyx y y=20dyx yy+2212x y=機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 例例4. 驗(yàn)證驗(yàn)證22ddxyyxxy-+在右半平面在右半平面 ( x 0 ) ( x 0 ) 內(nèi)存在內(nèi)存在原函原函數(shù)數(shù), ,并求出它并求出它. . 證證: 令令2222,yxPQxyxy-=

9、+那那么么22222(0)()PyxQxxxyy-=+由定理由定理 2 可知存在原函數(shù)可知存在原函數(shù)( , )22(1,0)dd( , )x yx yy xu x yxy-=+10 dxx= -arctan(0)yxx=oxy220dyyxxy+)0 ,(x)0 , 1(),(yx三、小結(jié)三、小結(jié)與路徑無關(guān)的四個等價命題與路徑無關(guān)的四個等價命題條條件件 LQdyPdxD與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)內(nèi)內(nèi)在在)1( CDCQdyPdx閉閉曲曲線線, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使內(nèi)內(nèi)存存在在在在),()3(xQyPD ,)4(內(nèi)內(nèi)在在等等價價命命題題一、一、 填空題填空題: :1 1、 設(shè)閉區(qū)域設(shè)

10、閉區(qū)域D由分段光滑的曲線由分段光滑的曲線L圍成圍成, , 函數(shù)函數(shù)),(,),(yxQyxP及在及在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,則則有有 DdxdyyPxQ)(_；2 2、 設(shè)設(shè)D為 平 面 上 的 一 個 單 連 通 域?yàn)?平 面 上 的 一 個 單 連 通 域 , , 函 數(shù)函 數(shù)),(,),(yxQyxP在在D內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,則則 LQdyPdx在在D內(nèi)與路徑無關(guān)的充要條件是內(nèi)與路徑無關(guān)的充要條件是_在在D內(nèi)處處成立；內(nèi)處處成立；3 3、 設(shè)設(shè)D為由分段光滑的曲線為由分段光滑的曲線L所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域, ,其面其面積為積為 5,5,

11、又又),(yxP及及),(yxQ在在D上有一階連續(xù)偏上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù), ,且且1 xQ, ,1 yP, ,則則 LQdyPdx_. .練練 習(xí)習(xí) 題題二、二、 計算計算 Ldyyxdxxxy)()2(22其中其中L是由拋物線是由拋物線2xy 和和xy 2所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線, ,并并驗(yàn)證格林公式的正確性驗(yàn)證格林公式的正確性 . .三、三、 利用曲線積分利用曲線積分, ,求星形線求星形線taytax33sin,cos 所所圍成的圖形的面積圍成的圖形的面積 . .四、證明曲線積分四、證明曲線積分 )4,3()2, 1(2232)36()6(dyxyyxdxyx

12、y在整個在整個xoy面面內(nèi)與路徑無關(guān)內(nèi)與路徑無關(guān), ,并計算積分值并計算積分值 . .五、利用格林公式五、利用格林公式, ,計算下列曲線積分計算下列曲線積分: :1 1、 Ldyyxdxyx)sin()(22其中其中L是在圓周是在圓周 22xxy 上由點(diǎn)上由點(diǎn)(0,0)(0,0)到點(diǎn)到點(diǎn)(1,1)(1,1)的一段?。坏囊欢位。? 2、求曲線積分、求曲線積分 AMBdyyxdxyxI221)()(和和 ANBdyyxdxyxI222)()(的差的差. .其中其中AMB是過原點(diǎn)和是過原點(diǎn)和)1,1(A, ,)6,2(B且其對稱軸垂直于且其對稱軸垂直于x軸的拋物線上的弧段軸的拋物線上的弧段, , A

13、MB是連接是連接BA ,的線段的線段 . .六、計算六、計算 Lyxydxxdy22, ,其中其中L為不經(jīng)過原點(diǎn)的光滑閉曲為不經(jīng)過原點(diǎn)的光滑閉曲 線線 .( .(取逆時針方向取逆時針方向) )七、驗(yàn)證七、驗(yàn)證yxxdxxyyx23228()83( dyyey)12 在整在整個個xoy平面內(nèi)是某一函數(shù)平面內(nèi)是某一函數(shù)),(yxu的全微分的全微分, ,并求這并求這樣一個樣一個),(yxu. .八八、試試確確定定 , ,使使得得dyryxdxryx 22 是是某某個個函函數(shù)數(shù)),(yxu的的全全微微分分, ,其其中中22yxr , ,并并求求),(yxu. .九九、設(shè)設(shè)在在半半平平面面0 x內(nèi)內(nèi)有有力力)(3jyixrkF 構(gòu)構(gòu)成成力力場場, ,其其中中k為為常常數(shù)數(shù), , 22yxr . .證證明明在在此此力力場場中中場場力力所所作作的的功功與與所所取取的的路路徑徑無無關(guān)關(guān) . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、 LdyQPdx； 2 2、xQyp ； 3 3、10.10.三、三、301. . 四、四、283a . . 五、五、236.236.六、六、1 1、2sin4167 ；