格林公式及應(yīng)用2ppt課件

1、Gyxo 1LQdyPdx一、曲線積分與路徑無關(guān)的定義一、曲線積分與路徑無關(guān)的定義 2LQdyPdx1L2LBA如果在區(qū)域如果在區(qū)域G G內(nèi)有內(nèi)有 否否則則與與路路徑徑有有關(guān)關(guān). .二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件定理定理2.2.設(shè)設(shè)G G是單連通域是單連通域 , ,),(),(yxQyxP在在G內(nèi)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1) 沿沿G 中任意光滑閉曲線中任意光滑閉曲線 L , 有有dd0.LP xQ y+=(2) 對(duì)對(duì)G 中任一分段光滑曲線中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分曲線積分(3)ddP xQ y+),(yxud ( , )d

2、du x yPxQy=+(4) 在在 G 內(nèi)每一點(diǎn)都有內(nèi)每一點(diǎn)都有.PQyx抖=抖ddLP xQ y+與路徑無關(guān)與路徑無關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān)只與起止點(diǎn)有關(guān). 函數(shù)函數(shù)則以下四個(gè)條件等價(jià)則以下四個(gè)條件等價(jià):在在 G 內(nèi)是某一函數(shù)內(nèi)是某一函數(shù)的全微分的全微分,即即 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 完畢完畢 說明說明: 積分與路徑無關(guān)時(shí)積分與路徑無關(guān)時(shí), 曲線積分可記為曲線積分可記為 證明證明: (1) (2)設(shè)設(shè)21, LL12ddddLLP xQ yP xQ y+-+蝌1ddLP xQ y=+2ddLP xQy-+12ddLLP xQ y-+=+0=AB1L2L2ddLP xQ

3、 y=+1ddLP xQ y+為為G內(nèi)任意兩條由內(nèi)任意兩條由A 到到B 的有向分段光滑曲的有向分段光滑曲線線,那那么么(根據(jù)條件根據(jù)條件(1)ddBAP xQ y=+ddABPxQy+定理定理2 2 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 完畢完畢 證明證明: (2) (3)在在G內(nèi)取定點(diǎn)內(nèi)取定點(diǎn)),(00yxA因曲線積分因曲線積分00( ,)(,)( , )ddx yxyu x yP xQ y=+(, )( , )xuu xx yu x yD=+ D-那那么么( ,)P xy=0limxxuuxxDD=D0lim(, )xP xx yqD=+D(,)( , )ddxx yx yP xQ y+

4、 D=+(, )( , )dxx yx yP x+ D=(, )P xx yxq=+ DD同理可證同理可證uy( , ),Q x y=因此有因此有ddduPxQy=+和任一點(diǎn)和任一點(diǎn)B( x, y ),與路徑無關(guān)與路徑無關(guān),(, )Cxx y+D),(yxB),(00yxA有函數(shù)有函數(shù) 定理定理2 2 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 完畢完畢 證明證明: (3) (4)設(shè)存在函數(shù)設(shè)存在函數(shù) u ( x , y ) 使得使得ddduP xQ y=+那那么么( , ),( ,)uuP x yQ x yxy抖=抖P, Q 在在 G 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),22uux yy x抖

5、=抖抖所以從而在從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有內(nèi)每一點(diǎn)都有PQyx抖=抖22,PuQuyx yxy x抖抖=抖抖抖定理定理2 2 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 完畢完畢 證明證明: (4) (1)設(shè)設(shè)L為為G中任一分段光滑閉曲線中任一分段光滑閉曲線,DD(如圖如圖) ,D 因 此 在上PQyx抖抖利用格林公式利用格林公式 , 得得dd()d dLDQQP xQ yx yxx抖+=-抖蝌DDL0=所圍區(qū)域?yàn)樗鶉鷧^(qū)域?yàn)樽C畢證畢定理定理2 2 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 完畢完畢 yx說明說明: 根據(jù)定理根據(jù)定理2 , 若在某區(qū)域內(nèi)若在某區(qū)域內(nèi),PQyx抖=抖那那么么2) 求曲線積分時(shí)求

6、曲線積分時(shí), 可利用格林公式簡(jiǎn)化計(jì)算可利用格林公式簡(jiǎn)化計(jì)算,3) 可用積分法求可用積分法求d u = P dx + Q dy在域在域 D 內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù):00(,)xyD及動(dòng)點(diǎn)及動(dòng)點(diǎn)( ,),x yD00( ,)(,)( , )( , )d( , )dx yxyu x yP x yxQ x yy=+00( ,)dxxP x yx=或或00( , )(, )dyyu x yQ x yy=0y0 x則原函數(shù)為則原函數(shù)為0( , )dyyQ x yy+0( ,)dxxP x yx+若積分路徑不是閉曲線若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助線可添加輔助線;取定點(diǎn)取定點(diǎn)1) 計(jì)算曲線積分時(shí)計(jì)算曲線積分

7、時(shí), 可選擇方便的積分路徑可選擇方便的積分路徑;定理定理2 2 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 完畢完畢 xxyxyyP2)2(2 xyxxxQ2)(42 解解 xQyP ，原原積積分分與與路路徑徑無無關(guān)關(guān).1523 積分與路徑無關(guān)積分與路徑無關(guān)xQyP ，解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP ),(),(xyyxQ 由由0)0( ，知知0 c 2)(xx .由由xyxy2)( cxx 2)(11000dxydy=+蝌.21 例例3. 驗(yàn)證驗(yàn)證22ddxyxx y y+是某個(gè)函數(shù)的全微分是某個(gè)函數(shù)的全微分, ,并求并求出這個(gè)函數(shù)出這個(gè)函數(shù). .

8、證證: 設(shè)設(shè)22,PxyQx y=那那么么2PQx yyx抖=抖由定理由定理2 可知可知, 存在函數(shù)存在函數(shù) u (x , y) 使使22ddduxyxx y y=+( , )22(0,0)( , )ddx yu x yxyxx y y=+。)0 , 0(。),(yx)0 ,(x00dxxx=20dyx y y=20dyx yy+2212x y=機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 完畢完畢 例例4. 驗(yàn)證驗(yàn)證22ddxyyxxy-+在右半平面在右半平面 ( x 0 ) ( x 0 ) 內(nèi)存在內(nèi)存在原函原函數(shù)數(shù), ,并求出它并求出它. . 證證: 令令2222,yxPQxyxy-=

9、+那那么么22222(0)()PyxQxxxyy-=+由定理由定理 2 可知存在原函數(shù)可知存在原函數(shù)( , )22(1,0)dd( , )x yx yy xu x yxy-=+10 dxx= -arctan(0)yxx=oxy220dyyxxy+)0 ,(x)0 , 1(),(yx三、小結(jié)三、小結(jié)與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條條件件 LQdyPdxD與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)內(nèi)內(nèi)在在)1( CDCQdyPdx閉閉曲曲線線, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使內(nèi)內(nèi)存存在在在在),()3(xQyPD ,)4(內(nèi)內(nèi)在在等等價(jià)價(jià)命命題題一、一、 填空題填空題: :1 1、 設(shè)閉區(qū)域設(shè)

10、閉區(qū)域D由分段光滑的曲線由分段光滑的曲線L圍成圍成, , 函數(shù)函數(shù)),(,),(yxQyxP及在及在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,則則有有 DdxdyyPxQ)(_；2 2、 設(shè)設(shè)D為 平 面 上 的 一 個(gè) 單 連 通 域?yàn)?平 面 上 的 一 個(gè) 單 連 通 域 , , 函 數(shù)函 數(shù)),(,),(yxQyxP在在D內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,則則 LQdyPdx在在D內(nèi)與路徑無關(guān)的充要條件是內(nèi)與路徑無關(guān)的充要條件是_在在D內(nèi)處處成立；內(nèi)處處成立；3 3、 設(shè)設(shè)D為由分段光滑的曲線為由分段光滑的曲線L所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域, ,其面其面積為積為 5,5,

11、又又),(yxP及及),(yxQ在在D上有一階連續(xù)偏上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù), ,且且1 xQ, ,1 yP, ,則則 LQdyPdx_. .練練 習(xí)習(xí) 題題二、二、 計(jì)算計(jì)算 Ldyyxdxxxy)()2(22其中其中L是由拋物線是由拋物線2xy 和和xy 2所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線, ,并并驗(yàn)證格林公式的正確性驗(yàn)證格林公式的正確性 . .三、三、 利用曲線積分利用曲線積分, ,求星形線求星形線taytax33sin,cos 所所圍成的圖形的面積圍成的圖形的面積 . .四、證明曲線積分四、證明曲線積分 )4,3()2, 1(2232)36()6(dyxyyxdxyx

12、y在整個(gè)在整個(gè)xoy面面內(nèi)與路徑無關(guān)內(nèi)與路徑無關(guān), ,并計(jì)算積分值并計(jì)算積分值 . .五、利用格林公式五、利用格林公式, ,計(jì)算下列曲線積分計(jì)算下列曲線積分: :1 1、 Ldyyxdxyx)sin()(22其中其中L是在圓周是在圓周 22xxy 上由點(diǎn)上由點(diǎn)(0,0)(0,0)到點(diǎn)到點(diǎn)(1,1)(1,1)的一段弧；的一段弧；2 2、求曲線積分、求曲線積分 AMBdyyxdxyxI221)()(和和 ANBdyyxdxyxI222)()(的差的差. .其中其中AMB是過原點(diǎn)和是過原點(diǎn)和)1,1(A, ,)6,2(B且其對(duì)稱軸垂直于且其對(duì)稱軸垂直于x軸的拋物線上的弧段軸的拋物線上的弧段, , A

13、MB是連接是連接BA ,的線段的線段 . .六、計(jì)算六、計(jì)算 Lyxydxxdy22, ,其中其中L為不經(jīng)過原點(diǎn)的光滑閉曲為不經(jīng)過原點(diǎn)的光滑閉曲 線線 .( .(取逆時(shí)針方向取逆時(shí)針方向) )七、驗(yàn)證七、驗(yàn)證yxxdxxyyx23228()83( dyyey)12 在整在整個(gè)個(gè)xoy平面內(nèi)是某一函數(shù)平面內(nèi)是某一函數(shù)),(yxu的全微分的全微分, ,并求這并求這樣一個(gè)樣一個(gè)),(yxu. .八八、試試確確定定 , ,使使得得dyryxdxryx 22 是是某某個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)),(yxu的的全全微微分分, ,其其中中22yxr , ,并并求求),(yxu. .九九、設(shè)設(shè)在在半半平平面面0 x內(nèi)內(nèi)有有力力)(3jyixrkF 構(gòu)構(gòu)成成力力場(chǎng)場(chǎng), ,其其中中k為為常常數(shù)數(shù), , 22yxr . .證證明明在在此此力力場(chǎng)場(chǎng)中中場(chǎng)場(chǎng)力力所所作作的的功功與與所所取取的的路路徑徑無無關(guān)關(guān) . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、 LdyQPdx； 2 2、xQyp ； 3 3、10.10.三、三、301. . 四、四、283a . . 五、五、236.236.六、六、1 1、2sin4167 ；