河北省近五年中考數(shù)學(xué)壓軸題綜述

1、河北省近五年中考數(shù)學(xué)壓軸題綜述河北省中考數(shù)學(xué)最后一道壓軸題的命制，從 1996 年至 2001 年的近五年來呈現(xiàn)出一個規(guī)律：都是幾何圖形運(yùn)動型的綜合題，并且由運(yùn)動的幾何圖形來看，類型各異，頗具特色。一、單點(diǎn)運(yùn)動型例 1 (1999 年河北省中考壓軸題 ) 如圖 1-1 ，正方形 OABC的頂點(diǎn) O在坐標(biāo)原點(diǎn)，且OA邊與 AB邊所在直線的解析式分別為：y=x 和 y=-x+。D、E 分別為邊 OC和 AB的中點(diǎn)， P為 OA邊上一動點(diǎn) ( 點(diǎn) P 與點(diǎn) O不重合 ) ，連結(jié) DE和 CP，其交點(diǎn)為 Q。(1) 求證：點(diǎn) Q為 COP的外心；(2) 求正方形 OABC的邊長；(3) 當(dāng)Q與 AB相

2、外切時，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)。解： (1) D、 E 分別為正方形 OABC中 OC、 AB的中點(diǎn)，DEOA。Q也是 CP的中點(diǎn)。又 CP是 RtCOP的斜邊，點(diǎn) Q為 COP的外心。(2) 由方程組解得點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (4 ，3) 。過點(diǎn) A 作 AFox 軸，垂足為點(diǎn) F。OF=4， AF=3。由勾股定理，得OA=5。(3) 如圖 1-2 ，當(dāng) COP的外接圓Q 與 AB相切時，圓心 Q在直線 DE上，且 DEAB，E為Q與 AB相切的切點(diǎn)。又 AE 和 APO分別是Q 的切線與割線 AE2=AP·AOOA=5， AE=( ) 2=AP·5，AP=當(dāng)Q與 AB相切時， OP

3、=5-作 PHox，垂足為 H。PHAF，OH=，PH=點(diǎn) P的坐標(biāo)為 (3 ，)二、雙點(diǎn)互動型例 2 (1997 年河北省中考壓軸題 ) 已知：如圖 2-1 ，在直角梯形 ABCD中，ADBC，B=90°，AB=8厘米， AD=24厘米， BC=26厘米， AB為O的直徑。動點(diǎn) P 從點(diǎn) A 開始沿 AD邊向點(diǎn) D以 1 厘米 / 秒的速度運(yùn)動，動點(diǎn) Q從點(diǎn) C開始沿 CB邊向點(diǎn) B 以 3 厘米 / 秒的速度運(yùn)動。 P、Q分別從點(diǎn) A、 C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動。設(shè)運(yùn)動時間為t 秒。求： (1)t分別為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形、等腰梯形？(

4、2)t分別為何值時，直線PQ與O相切、相交、相離？解： (1) ADBC，只要 QC=PD，四邊形 PQCD為平行四邊形。此時，有 3t=24-t ，解，得 t=6 。即當(dāng) t=6 秒時，四邊形PQCD為平行四邊形。同理，只要 PQ=CD，PDQC，四邊形 PQCD為等腰梯形。過 P、D分別作 BC的垂線交 BC于 E、 F 兩點(diǎn) ( 如圖 2-2) ，則由等腰梯形的性質(zhì)可知：EF=PD，QE=FC=2。2=3t(24-t)解得 t=7t=7 秒時，四邊形 PQCD為等腰梯形。(2) 設(shè)運(yùn)動 t 秒時，直線 PQ與O相切于點(diǎn) G(如圖 2-3) ，過 P 作 PHBC，垂足為 H。則 PH=A

5、B，BH=AP，即 PH=8，HQ=26-3t-t=26-4t 。由切線長定理，得PQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t。由勾股定理，得222PQ=PH+HQ，即 (26-2t) 2=82+(26-4t) 2化簡整理，得 3t 2-26t+16=0解，得 t 1=， t 2 =8即 t=秒或 t=8 秒時，直線 PQ與O相切。t=0( 秒 ) 時， PQ與O相交；當(dāng) t=8( 秒) 時， Q點(diǎn)運(yùn)動到B 點(diǎn)， P 點(diǎn)尚未運(yùn)動到D點(diǎn)，但也停止運(yùn)動，此時PQ也與O相交。當(dāng)t=或 t=8時，直線PQ與O相切；當(dāng) 0t 或 8t 8 時，直線 PQ與O相交；當(dāng) t 8 時，直線 PQ與O相離。三、

6、直線平移型例 3 (2000 年河北省中考壓軸題 ) 在如圖 3-1 所示的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) C在 y 軸的正半軸上，四邊形 OABC為平行四邊形， OA=2， AOC=60°，以 OA為直徑P 經(jīng)過點(diǎn) C，點(diǎn) D在 y 軸上， DM為始終與 y 軸垂直且與 AB邊相交的動直線，設(shè) DM與 AB邊的交點(diǎn)為 M(點(diǎn) M在線段 AB 上，但與 A、B 兩點(diǎn)不重合 ) ，點(diǎn) N 是 DM與 BC的交點(diǎn)設(shè) OD=t。(1) 求點(diǎn) A和 B的坐標(biāo)；(2) 設(shè) BMN的外接圓G 的半徑為 R，請你用 t 表示 R及點(diǎn) G的坐標(biāo)；(3) 當(dāng)G與P相切時，求直角梯形 OAMD的面積。解： (1) 連

7、結(jié) AC。OA為P的直徑， ACO=90°又 OA=2， AOC=60°， OC=1， AC=點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 (,1)又 OABC為平行四邊形， AB OC，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 (,2)(2) DMy軸，且 ABOC， DMAB。 NMB=90°G的圓心 G為 BN的中點(diǎn)。又 B=AOC=60°， BM= BN=R。而點(diǎn) B 的縱坐標(biāo)為 2，點(diǎn) M的縱坐標(biāo) =點(diǎn) D的縱坐標(biāo) =t ，BM=2-t ， R=2-t過點(diǎn) G作 GHy軸，交 x 軸于點(diǎn) H，交 DM于點(diǎn) F；過點(diǎn) G作 GKx軸，交 AB于點(diǎn) K(如圖 3-2) 。根據(jù)垂徑定理，得到：FM=

8、MN，KM= BM。設(shè)點(diǎn) G的坐標(biāo)為 (x, y)NM=(2-t)x=DM-MN=-(2-t)=t ，y=OD+ BM=t+(2-t)=1+t 。點(diǎn) G的坐標(biāo)為 (t ，1+t) 。(3) 連結(jié) GP，過點(diǎn) P 作 PEx軸，交 GH于點(diǎn) E。由 PEGE，根據(jù)勾股定理得：GP=當(dāng)G與P外切時， PG=R+1，=3-t 。解得 t=，經(jīng)檢驗 t=是原方程的根。此時， OD=t= ，AM=1-MB= ，DM=AC=此時， OD=t= ，AM=1-MB= ， DM=AC= ，直角梯形 OAMD的面積為：S=，DM=。四、點(diǎn)線共動型例 4 (2001 年河北省中考壓軸題 ) 如圖 4-1 ，在菱形

9、ABCD中， AB=10， BAD=60°。點(diǎn) M從點(diǎn) A以每秒 1 個單位長的速度沿著 AD邊向點(diǎn) D移動；設(shè)點(diǎn) M移動的時間為 t 秒(0 t 10) 。(1) 點(diǎn) N為 BC邊上任意一點(diǎn)。 在點(diǎn) M移動過程中， 線段 MN是否一定可以將菱形分割成面積相等的兩部分？并說明理由；(2) 點(diǎn) N從點(diǎn) B(與點(diǎn) M出發(fā)的時刻相同 ) 以每秒 2 個單位長的速度沿著 BC邊向點(diǎn) C移動，在什么時刻，梯形ABNM的面積最大？并求出面積的最大值；(3) 點(diǎn) N從點(diǎn) B(與點(diǎn) M出發(fā)的時刻相同 ) 以每秒 a(a 2) 個單位長的速度沿著射線BC方向( 可以超越 C點(diǎn)) 移動，過點(diǎn) M作 MP

10、AB，交 BC于點(diǎn) P。當(dāng) MPN ABC時，設(shè) MPN與菱形ABCD重疊部分的面積為 S，求出用 t 表示 S 的關(guān)系式，并求出 S=0 時 a 的值。解： (1)MN 一定能在某一時刻將菱形ABCD分割成面積相等的兩部分。對于中心對稱圖形，過中心的任一直線均能將圖形分割成面積相等的兩部分。而且菱形是中心對稱圖形 ( 如圖 4-2 所示 ) 。在點(diǎn) M由 A 到 D的移動過程中，一定存在一個時刻，使得線段(2) 過 B 作 BEAD，垂足為 E(如圖 4-3) 。MN過菱形的中心。在 RtABE中， BE=10sin60°=5AM=t， BN=2t，S梯形 ABNM=(t+2t)&

11、#215;5=t 。 2t 10， t 5當(dāng) t=5 時， S 梯形 ABNM最大。最大面積為：×5=。(3) ABC是腰長為 10 的等腰三角形。當(dāng) ABC ABC時( 如圖 4-4)MP=10，PN=BC=10，且 MP=PN。NC=PN-PC=BC-PC=PBBP=AM=t，PC=10-t ，NC=t過 P 作 PGDC，垂足為 G。在 RtPGC中， PG=PCsin60°= (10-t) 。設(shè) MN交 DC于 F，DCMP，且 MP=PN， NFC=NMP=MNP，F(xiàn)C=NC=t。重疊部分 MPCF是梯形，S= (t+10)×(10-t)=-t 2+25

12、當(dāng) S=0，即 -t 2+25=0 時，解得 t 1=10，t 2=-10( 舍去 )BN=at，且 BN=PN+PB=10+t， at=10+t 。將 t=10 代入 at=10+t ，解得 a=2。五、點(diǎn)圓齊動型例 5 (1998 年河北省中考壓軸題 ) 如圖 5-1 所示，一艘輪船以20 浬 / 時的速度由西向東航行，途中接到臺風(fēng)警報，臺風(fēng)中心正以40 浬/ 時的速度由南向北移動，距臺風(fēng)中心20浬的圓形區(qū)域 ( 包括邊界 ) 都屬臺風(fēng)區(qū)。當(dāng)輪船到B 處，且 AB=100浬。A 處時，測得臺風(fēng)中心移到位于點(diǎn)A 正南方向(1) 若這艘輪船自 A 處按原速度繼續(xù)航行， 在途中會不會遇到臺風(fēng)？若

13、會， 試求輪船最初遇到臺風(fēng)的時間；若不會，請說明理由；(2) 現(xiàn)輪船自 A 處立即提高航速，向位于東偏北30°方向，相距 60 浬的 D港駛?cè)?。為使臺風(fēng)到來之前，到達(dá)D港，問船速至少應(yīng)提高多少( 提高的船速取整數(shù)，3.6)解： (1) 設(shè)途中會遇到臺風(fēng)，且最初遇到臺風(fēng)的時間為t 小時，此時，輪船位于風(fēng)中心移到 E處，連結(jié) CE(如圖 5-2) 。？C 處，臺則有 AC=20t，AE=AB-BE=100-40t，EC=20。222在 RtAEC中， AC+AE=EC，(20t) 2+(100-40t)2=(20) 2。2整理，得 t -4t+3=02 =( -4) - 4×1

14、×3=4 0，途中會遇到臺風(fēng)。解，得 t 1=1，t 2=3。最初遇到臺風(fēng)的時間為1 小時。(2) 設(shè)臺風(fēng)抵達(dá) D港時間為 t 小時，此時臺風(fēng)中心至 M點(diǎn)。過 D 作 DFAB，垂足為 F，連結(jié) DM。在 RtADF中， AD=60， FAD=60°， DF=30 ， FA=30。又 (30) 2+(130-40t) 2=(20) 2 ，整理，得 4t 2-26t+39=0解之，得t 1=，t 2=。臺風(fēng)抵達(dá)D港的時間為小時。輪船從 A 處用小時到 D 港的速度為 60÷ 25.5 。 DD 6/連續(xù)五年的中考壓軸題都以幾何圖形的運(yùn)動為命題背景，并非純屬巧合。大概

15、主要原因是命題者看中了這種題目的綜合性強(qiáng)、對思維能力的要求高這一頗具選拔性的功能；而在動中求靜的辨證統(tǒng)一思想，又成為體現(xiàn)數(shù)學(xué)中辯證法的很好素材。由此可見，無論從此類題目的命題形式、還是考查意圖上，把它放在最后一道壓軸題的位置，都是恰如其分的。(05 河北 ).如圖 12，在直角梯形 ABCD中， AD BC， C90°， BC 16，DC12， AD 21。動點(diǎn) P 從點(diǎn) D 出發(fā)，沿射線 DA 的方向以每秒2 兩個單位長的速度運(yùn)動，動點(diǎn) Q 從點(diǎn) C 出發(fā)，在線段 CB 上以每秒1 個單位長的速度向點(diǎn) B 運(yùn)動，點(diǎn) P，Q 分別從點(diǎn) D，C 同時出APD發(fā)，當(dāng)點(diǎn) Q 運(yùn)動到點(diǎn) B

16、時，點(diǎn) P 隨之停止運(yùn)動。設(shè)運(yùn)動的時間為 t（秒）。（ 1）設(shè) BPQ 的面積為 S，求 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式；（ 2）當(dāng) t 為何值時，以 B，P，Q 三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三BQC角形？圖 12（ 3）當(dāng)線段 PQ 與線段 AB 相交于點(diǎn)O，且 2AO OB 時，求 BQP 的正切值；（ 4）是否存在時刻t，使得 PQ BD ？若存在，求出t 的值；若不存在，請說明理由。(06 河北 ).如圖 13，在 Rt ABC 中， C 90°， AC 12，BC 16，動點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AC 邊向點(diǎn) C 以每秒 3 個單位長的速度運(yùn)動，動點(diǎn) Q 從點(diǎn) C 出發(fā)沿 CB

17、 邊向點(diǎn) B 以每秒 4 個單位長的速度運(yùn)動 P， Q 分別從點(diǎn) A， C 同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動在運(yùn)動過程中， PCQ 關(guān)于直線 PQ 對稱的圖形是 PDQ 設(shè)運(yùn)動時間為 t（秒）（ 1）設(shè)四邊形 PCQD 的面積為 y，求 y 與 t 的函數(shù)關(guān)系式；（ 2） t 為何值時，四邊形 PQBA 是梯形？（ 3）是否存在時刻 t，使得 PD AB？若存在，求出t 的值；若不存在，請說明理由；（ 4）通過觀察、畫圖或折紙等方法，猜想是否存在時刻t ，使得 PD AB？若存在，請估計t 的值在括號中的哪個時間段內(nèi) （0 t 1；1 t2；2 t 3；3 t 4）；若不存

18、在，請簡要說明理由APDCQB圖 13(07 河北 ). 如圖 16，在等腰梯形 ABCD中， AD BC， AB=DC=50，AD=75，- -個單位長的速度向點(diǎn)C 勻速運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn) C出發(fā)BC=135點(diǎn) P 從點(diǎn) B 出發(fā)沿折線段 BA AD DC以每秒 5沿線段方向以每秒 3 個單位長的速度勻速運(yùn)動， 過點(diǎn)向上作射線，交折線段-于點(diǎn)點(diǎn)CBQQK BCCDDA ABEP、 Q同時開始運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P 與點(diǎn) C 重合時停止運(yùn)動，點(diǎn)Q也隨之停止設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時間是t 秒（ t 0）（ 1）當(dāng)點(diǎn) P 到達(dá)終點(diǎn) C時，求 t 的值，并指出此時 BQ的長；（ 2）當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動到 AD上時， t 為

19、何值能使 PQDC ？（ 3）設(shè)射線 QK掃過梯形 ABCD的面積為 S，分別求出點(diǎn) E 運(yùn)動到 CD、DA上時， S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫出 t 的取值范圍）（ 4）能否成為直角三角形？若能，寫出t的取值范圍；若不能，請說明理由PQEAKDPEBQC圖 16(08 河北 ). 如圖 15，在 Rt ABC 中， C90，AB 50 ，AC 30 ，D， E， F 分別是 AC， AB， BC的中點(diǎn) 點(diǎn) P 從點(diǎn) D 出發(fā)沿折線 DE EFFCCD 以每秒 7 個單位長的速度勻速運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn) B出發(fā)沿 BA 方向以每秒 4 個單位長的速度勻速運(yùn)動，過點(diǎn) Q 作射線 QKAB ，交折

20、線 BCCA于點(diǎn) G 點(diǎn)P， Q 同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn) P 繞行一周回到點(diǎn)D 時停止運(yùn)動，點(diǎn) Q 也隨之停止設(shè)點(diǎn) P，Q 運(yùn)動的時間是 t 秒（ t 0 ）（ 1） D， F 兩點(diǎn)間的距離是；（ 2）射線 QK 能否把四邊形CDEF 分成面積相等的兩部分？若能，求出t 的值若不能，說明理由；（ 3）當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動到折線 EFFC 上，且點(diǎn) P 又恰好落在射線 QK 上時，求 t 的值；（ 4）連結(jié) PG ，當(dāng) PG AB 時，請直接 寫出 t 的值CKDFPGABEQ圖 15(09 河北 )如圖 16，在 Rt ABC 中， C=90 °， AC = 3， AB = 5點(diǎn) P 從點(diǎn) C 出發(fā)沿 CA 以每秒 1 個單位長的速度向點(diǎn) A 勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A 后立刻以原來的速度沿AC 返回；點(diǎn) Q 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AB 以每秒 1 個單位長的速度向點(diǎn) B 勻速運(yùn)動伴隨著 P、Q 的運(yùn)動，DE 保持垂直平分PQ，且交 PQ 于點(diǎn) D ，交折線 QB-BC- CP于點(diǎn) E點(diǎn) P、Q 同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q 到達(dá)點(diǎn) B 時停止運(yùn)動，點(diǎn)P 也隨之停止設(shè)點(diǎn)P、 Q 運(yùn)動的時間是 t秒（ t 0