河北省張家口一中高中數(shù)學隨機變量及其分布教案選修2-3

1、河北省張家口一中高二數(shù)學選修2-3隨機變量及其分布教案【考綱知識梳理】一、隨機變量及其分布列1離散型隨機變量所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量。2離散型隨機變量的分布列及性質（ 1）一般地，若離散型隨機變量X 可能取的不同值為x1 , x2 , , xi , xn , X 取每一個值xi (i 1,2, ,n) 的概率 P( Xxi )pi ，則表Xx1x2xixnPp1p2pipn稱為 X 的分布列，P( Xxi )pi , i1,2, n 為 X 的分布列。（ 2）離散型隨機變量的分布列的性質n pi 0（ i1,2, n ）；pi1 。i13常見離散型隨機變量的分布列（

2、1）兩點分布若隨機變量 X 服從兩點分布，即其分布列為（ 2）超幾何分布其中 m=minM,n, 且 n N,M N,n,M,N N *, 稱分布列X01mPCM0 CNn 0MCM1 CNn 1MCMm CNn mMCNnCNnCNn為超幾何分布列。二、二項分布及其應用用心愛心專心11條件概率及其性質（1）條件概率的定義A、 B 為兩個事件，且P（ A） 0， P（B|A ） =P（ AB） /P （ A）若 A， B 相互獨立，則 P（ B|A） =P（ B）。（ 2）條件概率的性質 0 P（ B|A） 1；如果 B、C 是兩個互斥事件，則 P（B C|A）=P（ B|A） +P（ C|A

3、）。2事件的相互獨立性如果 P（ AB） =P（ A） P（ B），則稱事件A 與事件 B 相互獨立。3獨立重復試驗與二項分布那 么 在n 次 獨 立 重 復 試 驗 中 ， 事 件A 恰好發(fā)生k 次 的 概 率 為P （ X=k ）kk(1)n k(0,1,2, , ) ，此時稱隨機變量服從二項分布，記作 （）=ppknXXBn,pC n三、離散型隨機變量的均值與方差1離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量X 的分布列為EX= xp+ x p2+ + xp + + xpn為隨機變量 X 的均值或數(shù)學期望112iinnEX )2DX 為隨機變量 X 的標準差， 記DX=(xipi為隨機變量

4、 X 的方差， 其算術平方根i 1作 X 。2均值與方差的性質（ 1） E(aX+b)=aEX+b(2)D(aX+b)=a 2DX.(a,b 為常數(shù) )3兩點分布與二項分布的均值、方差（ 1）若 X服從兩點分布，則 EX=p， DX=p(1-p).（ 2）若 X B（ n,p ），則 EX=np.DX=np(1-p).四、正態(tài)分布1. 正態(tài)曲線及性質（ 1）正態(tài)曲線的定義( x)212, (x)e 2, x ( , ),2（ 2）正態(tài)曲線的性質：用心愛心專心2曲線位于x 軸上方，與x 軸不相交；曲線是單峰的，它關于直線x=對稱；曲線在 x= 處達到峰值12曲線與 x 軸之間的面積為1；當一定時

5、，曲線隨著的變化而沿 x 軸平移當一定時，曲線的形狀由確定。越小，曲線越“瘦高” ，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖” ，表示總體的分布越分散2正態(tài)分布（ 1）正態(tài)分布的定義及表示b, (x)dx , 則稱 X 為正態(tài)分布，記作 N ( , 2 ) 。P（ a<X b） =a（ 2）正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間取值的概率值 P（- X+） =0.6826; P(-2 X+2)=0.9544; P(-3 X+3)=0.9974.（3）3原則五、回歸分析以及獨立性檢驗的基本思想（見教材）【熱點難點精析】一、離散型隨機變量及其分布列例 一袋裝有6 個同樣大小的黑球，編號為1，2， 3， 4，

6、5，6，現(xiàn)從中隨機取出3 個球，以 X 表示取出球的最大號碼，求 X 的分布列。隨機變量 X 的分布列為：X3456二）離散型隨機變量分布列的性質例 設離散型隨機變量X 的分布列為X01234P020 10 10 3m用心愛心專心3求：（ 1） 2X+1 的分布列；（ 2）|X-1|的分布列。（ 1） 2X+1 的分布列：（三）利用隨機變量分布解決概率分布問題例 某車間甲組有10 名工人，其中有4 名女工人；乙組有5 名工人，其中有3 名女工人，現(xiàn)采用分層抽樣方法（層內采用不放回簡單隨機抽樣）從甲、 乙兩組中共抽取3 名工人進行技術考核。（ 1）求從甲、乙兩組各抽取的

7、人數(shù)；（ 2）求從甲組抽取的工人中恰有1 名女工人的概率；（ 3）記表示抽取的3 名工人中男工人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望。PC41C618C10215解（ 2）（ 3）0123p628311075757575期望略 .二、二項分布及其應用（一）條件概率例 1 號箱中有2 個白球和4 個紅球 ,2 號箱中有5 個白球和3 個紅球 , 現(xiàn)隨機地從1 號箱中取出一球放入2 號箱 , 然后從 2 號箱隨機取出一球, 問從 2 號箱取出紅球的概率是多少?解答 : 記事件 A: 最后從 2 號箱中取出的是紅球;事件 B: 從 1 號箱中取出的是紅球.用心愛心專心4P(B)=4/(2+4)=2/3,P( B

8、) 1 P(B)1 .P(A|B)=(3+1)/(8+1)=4/9.P(A|B )=3/(8+1)=1/3.3B )P( B )=4/9 ×2/3+ 1× 1=11.從而 P(A)=P(AB)+P(A B )= P(A|B) P(B)+ P(A|3327( 二 ) 事件的相互獨立性例 甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進行比賽，而前一局的失敗者輪空. 比賽按這種規(guī)則一直進行到其中一人連勝兩局或打滿6 局時停止 . 設在每局中參賽者勝負的概率均為1 ，且各局2勝負相互獨立. 求：（）打滿 3 局比賽還未停止

9、的概率；（）比賽停止時已打局數(shù)的分別列與期望E.解析： 令 Ak , Bk , Ck 分別表示甲、乙、丙在第k 局中獲勝 .（）由獨立事件同時發(fā)生與互斥事件至少有一個發(fā)生的概率公式知，打滿 3 局比賽還未停止的概率為111P( AC1 2 B3 ) P( B1C2 A3 )23.234（）的所有可能值為2， 3， 4， 5，6，故有分布列從而 E47（局） .2345616P111112481616( 三) 二項分布例某地區(qū)為下崗人員免費提供財會和計算機培訓, 以提高下崗人員的再就業(yè)能力. 每名下崗人員可以選擇參加一項培訓、參加兩項培訓或不參加培訓. 已知參加過財會培訓的有60%,參加過計算機

10、培訓的有75%,假設每個人對培訓項目的選擇是相互獨立的, 且各人的選擇相互之間沒有影響.(1)任選 1名下崗人員 , 求該人參加過培訓的概率 ;(2)任選 3名下崗人員 , 記 為 3 人中參加過培訓的人數(shù), 求的分布列 .解答 : (1) 任選 1 名下崗人員 , 記“該人參加過財會培訓”為事件A，“該人參加計算機培訓”為事件 B，由題意知， A 與 B 相互獨立，且P（A）=0.6,P(B)=0.75.所以 , 該下崗人員沒有參用心愛心專心5加過培訓的概率為P( A B )=P( A ) ·P( B該人參加過培訓的概率為1-0.1=0.9.(2) 的分布列為0123P0.0010

11、.0270.2430.729( 四 ) 獨立重復試驗例 甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分布是2 和 3。假設兩人射擊是否擊中目34標相互之間沒有影響，每人各次射擊是否擊中目標，相互之間也沒有影響。(1) 求甲射擊 4 次 , 至少有 1 次未擊中目標的概率 ;(2) 求兩人各射擊4 次 , 甲恰好擊中目標2 次且乙恰好擊中目標3 次的概率 ;(3) 假設某人連續(xù) 2 次未擊中目標 , 則終止其射擊 .問 : 乙恰好射擊5 次后 , 被終止射擊的概率是多少?解答 : (1) 記“甲連續(xù)射擊4 次至少有1 次未擊中目標”為事件A1 . 由題意 , 射擊 4 次相當于作 4 次獨立重復試驗 .

12、 故 P( A1 )=1-P(A1 )=1-(2)4=65,381所以甲連續(xù)射擊4 次至少有一次未擊中目標的概率為6581(2) 記“甲射擊4 次，恰有2 次擊目標”為事件A2， “乙射擊4 次，恰有3 次擊中目標”為事件 B2 ，P( A2 ) C42( 2)2(1 2)4 28 ,則3327P(B2 ) C43 ( 3)3 (1 3)4 327 ,4464由于甲、乙射擊相互獨立，8171故 P( A2B2 ) P( A2 )P( B2)64。278所以兩人各射擊4 次，甲恰有 2 次擊中目標且乙恰有3 次擊中目標的概率為1 。8（ 3 ）記“乙恰好射擊5次 后被終止射擊”為事件A3 ，“乙

13、第 i 次射擊未擊中”為事件用心愛心專心6Di (i1,2,3, 4,5), 則 A3D5D4 D3( D2 D1D2 D1 D2 D1), 且 P( Di )1 . 由于各事件相互4獨立，故P( A3) P(D5 )P( D4 )P( D3) P(D2 D1 D2D1D2 D1)113114544(14).441024所以乙恰好射擊5 次后被中止射擊的概率為45 。1024三、離散型隨機變量的均值與方差的計算例甲乙兩隊參加奧運知識競賽，每隊 3 人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分。 假設甲隊中每人答對的概率均為2 ，乙隊中 3 人答對的概率分別為2,2,1 且3332各人

14、正確與否相互之間沒有影響. 用表示甲隊的總得分.（）求隨機變量分布列和數(shù)學期望；( ) 用 A 表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，求P( AB).解答： 根據(jù)題設可知 B23,3因此的分布列為P(k )k2) k(12) 2 kk2k0,1,2,3.C3 (C 33 , k333（）用 Ak 表示“甲隊得 k 分”因為 B(3, 2),所以 E23233這一事件，用 Bk 表示“已隊得k 分”這一事件，k 0,1,2,3由于事件 A3 B0 , A2B1 為互斥事件，故事 P ABP A3B0P A2B134243（二）均值與方差的實際

15、應用例 現(xiàn)有甲、乙兩個項目，對甲項目每投資十萬元，一年后利潤是1.2 萬元、 1.18 萬元、1.17 萬元的概率分別為1 、 1 、 1 ；已知乙項目的利潤與產品價格的調整有關，在每次調623整中，價格下降的概率都是p(0<p<1) ，設乙項目產品價格在一年內進行兩次獨立的調整。記乙項目產品價格在一年內的下降次數(shù)為X，對乙項目每投資十萬元，X 取 0、 1、 2 時。隨用心愛心專心7機變量 X1 ， X 2 分別表示對甲、乙兩項目各投資十萬元一年后的利潤。（ 1）求 X1 ， X 2 的概率分布列和均值EX1 ， EX 2 ；（ 2）當 EX1 EX 2 時，求 p 的取值范圍。

16、解答：（ 1）： X1 的概率分布列為X11 21 181 17P111623EX1 =1 2× 1 +1 18× 1 +1 17× 1 =1 18。623由題設得 X B（ 2，p），即 X 的概率分布列為X012p(1-p)22p(1-p)P2故 X 2 的概率分布列為X 21 31 250 2P(1-p)22p(1-p)P2所以 X 2 的均值列為EX2 =1 3× (1-p)2+1 25× 2p(1-p)+ 0 2× P2=- P 2-0.1p+1.3(2)由 EX1 EX22 0, 解得 -0.4 p, 得 - P -0.1

17、p+1.3 1.18, 整理得 (p+0.4)(p-0.3)0.3.因為 0 p 1, 當 EX1 EX 2 時 ,p的取值范圍是0p 0.3.( 三 ) 均值與方差性質的應用例 設隨機變量具有分布 P(=k)= 1 ,k=1,2,3,4,5,求 E(+2)2-1).,D(2 -1),(5用心愛心專心8E1121314151153,555555E21122132142152111,55555D(13)21(23)21(33)21(43)215555(53)211(41014)2,四、正態(tài)分布55E(2)2E( 244)E 24E41112427.D (21)4D8(1)D(1)D2.（一）正態(tài)

18、分布下的概率計算例 設 X N（ 5，1），求 P（6 X 7）。解答： 由已知5,1.由正態(tài)曲線的對稱性可得P（3 X4）= P （6 X7） P（ 6 X 7） = 0.27180.1359.2（二）正態(tài)曲線的性質例 如圖是一個正態(tài)曲線。用心愛心專心9試根據(jù)該圖象寫出其正態(tài)曲線函數(shù)解析式，求出總體隨機變量的期望和方差。解答：從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關于直線x=20 對稱，最大值是1，所以220112 。于是正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式是：。，解得221( x 20)2f ( x)4, x( , ). 總 體 隨 機 變 量 的 期 望 是20，方差是e22 ( 2)2 2。（三）正態(tài)分布的應用例 設在一次數(shù)學考試中，某班學生的分數(shù)服從XN (110, 202 ) ，且知滿分150 分，這個班的學生共54 人。求這個班在這次數(shù)學考試中及格（不小于 90分）的人數(shù)和130 分以上的人數(shù)。解答：因為 XN (110,20 2) ，所以110,20.P(110 20X 110 20)0.6826.