2018版高中數(shù)學(xué)蘇教版選修1-2教學(xué)設(shè)計(jì)：3.2.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算

1、復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母C 表示*322 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運(yùn)算教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：理解并掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法與除法運(yùn)算法則，深刻理解它是乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算”過(guò)程與方法：理解并掌握復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化類問(wèn)題情感、態(tài)度與價(jià)值觀：復(fù)數(shù)的幾何意義單純地講解或介紹會(huì)顯得較為枯燥無(wú)味，學(xué)生不易接受，教學(xué)時(shí)，我們采用講解或體驗(yàn)已學(xué)過(guò)的數(shù)集的擴(kuò)充的，讓學(xué)生體會(huì)到這是生產(chǎn)實(shí)踐的需要從而讓學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)體系。教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算。教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)復(fù)數(shù)除法法則的運(yùn)用。教具準(zhǔn)備：多媒體、實(shí)物投影儀。教學(xué)設(shè)想：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等 +即：

2、如果 a,b, c, d R，那么 a+bi=c+di：= a=c, b=d+，只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)才不能比較大小教學(xué)過(guò)程：學(xué)生探究過(guò)程：21虛數(shù)單位i：(i)它的平方等于-1，即i =-1;實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則 運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立2.i與一 1 的關(guān)系：i就是一 1 的一個(gè)平方根，即方程 x2= 1 的一個(gè)根，方程 x2= 1 的另一 個(gè)根是i.4n+1 . 4n+2 , 4n+3 . 4n ,3.i的周期性：i=i,i=-1,i=-i,i=1 -復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母C 表示*4.復(fù)數(shù)的定義：形如a bi(a, R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，a叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，b

3、叫復(fù)數(shù)的虛部全體3.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：復(fù)數(shù)通常用字母 z 表示，即z二a bi(a,b R)，把復(fù)數(shù)表示成a+bi的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.4.復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0 的關(guān)系：對(duì)于復(fù)數(shù)abi(a,bR)，當(dāng)且僅當(dāng) b=0 時(shí)，復(fù)數(shù) a+bi (a、b R)是實(shí)數(shù) a;當(dāng) b豐0 時(shí)，復(fù)數(shù) z=a+bi 叫做虛數(shù)；當(dāng) a=0 且 0 時(shí)，z=bi 叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng) a=b=0 時(shí)，z 就是實(shí)數(shù) 0.5復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：N-Z”Q：R-C.6.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，即：如果 a, b, c, d R，那么 a+bi =

4、 c+di：= a=c, b=d,一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說(shuō)相等或不相等，而不能比較大小如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，就可以比較大小.只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)才不能比較大小.7.復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：點(diǎn) Z 的橫坐標(biāo)是 a,縱坐標(biāo)是 b,復(fù)數(shù) z=a+bi(a、b R)可用點(diǎn) Z(a, b)表示，這個(gè)建立了直 角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，x 軸叫做實(shí)軸，y 軸叫做虛軸.實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)對(duì)于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外，因?yàn)樵c(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為(0, 0),它所確定的復(fù)數(shù)是z=0+0i=0 表示是實(shí)數(shù)故除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)8.復(fù)數(shù) zi與 Z2的和的定義：Zi+z2=(a+

5、bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.9.復(fù)數(shù) Z1與 Z2的差的定義：zz2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+( b-d)i.10.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律：Z1+ z2=Z2+Z1.11. 復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律 :(Z 什 Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)講解新課：1.乘法運(yùn)算規(guī)則：規(guī)定復(fù)數(shù)的乘法按照以下的法則進(jìn)行:設(shè) Zi= a+bi, z2=c+di(a、 b、 c、 d R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)， 那么它們的積 bd)+(bc+ad)i.其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把i2換成-1,并且把實(shí)部與虛部分別合并 .兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù).

6、2.乘法運(yùn)算律：(1) Z1(Z2Z3)=(Z1Z2)Z3證明：設(shè)Z1=a1+b1i, Z2=a2+b2i, Z3=a3+b3i(a1, a2, a3, b1, b2, b3 R).TZ!Z2=(ai+bii)(a2+b2i)=(aia2-bib2)+(bia2+aib2)i,Z2Z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又aia2-bib2=a2ai-b2bi,bia2+aib2=b2ai+a2bi.ZiZ2=Z2Zi(2) Zi(Z2+Z3)=ZiZ2+ZiZ3證明：設(shè)Zi=ai+bii,Z2=a2+b2i, Z3=a3+b3i(ai,a2,

7、 a3, bi,b2, b3 R)t(ZiZ2)Z3=(ai+bii)(a2+b2i)(a3+b3i)=(aia2-bib2)+(bib2+aib2)i(a3+b3i)=(aia2-bib2)a3-(bia2+aib2)b3+(bia2+aib2)a3+(aia2-bib2)b3i=(aia2a3-bib2a3-bia2b3-aib2b3)+(bia2a3+aib2b3+aia2b3-bib2b3)i,同理可證：Zi(Z2Z3)=(aia2a3-bib2a3-bia2b3-aib2b3)+(bia2a3+aib2a3+aia2b3-bib2b3)i,-(ZiZ2)Z3=Zi(Z2Z3).(3)

8、 Zi(Z2+Z3)=ZiZ2+ZiZ3證明：設(shè)Zi=ai+bii,Z2=a2+b2i, Z3=a3+b3i(ai,a2, a3, bi,b2, b3 R)(a+bi)(c+di)=(acZi(z2+z3)=(ai+bii) (a2+b2i)+(a3+b3i) =(ai+bii) (a2+a3)+(b2+b3)i =ai(a2+a3)-bi(b2+b3) + bi(a2+a3)+ai(b2+b3) i=(aia2+aia3-bib2-bib3)+( bia2+bia3+aib2+aib3)i.ziz2+ziz3=(ai+bii)(a2+ b2i)+(ai+bii)(a3+b3i)=(aia2-

9、bib2)+(bia2+aib2)i+(aia3-bib3)+(bia3+aib3)i=(aia2-bib2+aia3-bib3)+( bia2+aib2+bia3+aib3)i=(aia2+aia3-bib2-bib3)+( bia2+bia3+aib2+aib3)i二 Zi(z2+Z3)=Ziz2+ZlZ3.例 1 計(jì)算(1-2i)(3+4i)(-2+i)【解析】(1-2i)(3+4i)(-2+i) = (11-2i) (-2+i)= -20+15i.例 2 計(jì)算：(1) (3+4i) (3-4i);(2) (1+ i)2.【解析】(1) (3+4i) (3-4i) =32- (4i)2=

10、9-(-16)=25;2 2(2)(1+ i) =1+2 i+i =1+2 i-1=2 i.3.共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為 共軛復(fù)數(shù)-虛部不等于 0 的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做 共軛虛數(shù)+通常記復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z。4. 復(fù)數(shù)除法定義：滿足 的復(fù)數(shù)叫復(fù)數(shù)除以復(fù)數(shù)，宀的商，記為:z m 或者c +di5. 除法運(yùn)算規(guī)則： 設(shè)復(fù)數(shù) a+bi(a, b R)，除以 c+di(c, d R)，其商為 x+yi (x, y R),即(a+bi)+ (c+di)=x+yi / (x+yi)(c+di)=(cx dy)+(dx+cy)i. (ex dy)+(dx+cy)i

11、=a+bi.由復(fù)數(shù)相等定義可知/X WY，少 +cy = b.ac bd22c dbe - ad.c dac bdbe - ad于是有：(a+bi)+ (c+di)=-22i.c2+ d2c2+d2a bi利用(c+di)(c di)=c2+d2.于是將的分母有理化得：c + di舌士a+bi (a+bi)(c_di) ac+bi (_di)+(bc_ad)i原式=22c+di (c+di)(cdi)c +dae + bd丄be ad .(a+bi)rc訃口 r-點(diǎn)評(píng)：是常規(guī)方法，是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡(jiǎn)無(wú)理分式時(shí)，都是采用的分母有理化思 想方法，而復(fù)數(shù) c+di 與復(fù)數(shù) c di，相當(dāng)于我們

12、初中學(xué)習(xí)的 .3 2 的對(duì)偶式3 -、2, 它們之積為 1 是有理數(shù)，而(c+di) (c di)=c2+d2是正實(shí)數(shù).所以可以分母實(shí)數(shù)化.把這種方 法叫做分母實(shí)數(shù)化法.例 3 計(jì)算(1 2ir:(4i)+1 +2i【解析】(1 2i)“(34i)(ac bd) (be - ad )ic2+d2ac bd be - ad . i2 .2 2 .21c d c d3 4i解這個(gè)方程組，得(1 2i)(3 4i)3-8 6i 4i(34i)(3 4i)3242-5 10i12.i +525例 4 計(jì)算(1*)(1D2 4i3 4i【解析】(14i)(1D2 4i14 3i 2 4i3 4i3 4i

13、3 4i324221 4 3i -28i25 -25i1 -i.2525例 5 已知 z 是虛數(shù)，且z+1是實(shí)數(shù)，求證:z【證明】 設(shè) z=a+bi (a、b R 且 0），于是1z+ =a+bi+z=a+bi +a-bi二&a bia(b)i.b=0.b2 0,2 2二 a +b =1.z -1(a -1) bi(a-1) bi(a 1)-bi(a 1) bi(a 1)2b2=a2-1 b2(a 1)b - (a -1)bi0 2bia2b22a 1Li.1 2a 1 a 1b/ b 0, a、bR, - i是純虛數(shù).鞏固練習(xí)：11.設(shè) z=3+i,則等于z3 .131A.3+ iB.3 iC.iD.+ 10 101010小a bia - bi2.的值是b -ai b aiA.0B.iC. iD.1iz23已知 zi=2 i,Z2=1+3i,則復(fù)數(shù)2的虛部為Zi5A.1B. 1C.iD. ir x 3 y4設(shè)-=- +- (x R ,y R),貝 U x=,y=.1 - i 2 -i 1 -i3