2018版高中數學蘇教版必修四學案：疑難規(guī)律方法2

1、平面向量的線性運算包括加法、減法以及數乘運算，在解題中具有廣泛的應用在對向量實施 線性運算時，要準確利用對應的運算法則、運算律，注意向量的大小和方向兩個方面.一、化簡例 i 化簡下列各式：(1) (2ABCD)-(AC2E3D)；1(2) 卻 3(2 a a + 8 b b) 6(4a a 2b b).解(1)(2AB-CD)(AC-2BD)=2ABCDAC+2E3D=2AB+DC+CA+2E3D=2(AB + BD) + (DC + CA) = 2AD + DA = AD.1(2)243(2 a a + 8 b b) 6(4a a 2b b)1133=24(6a a + 24b b 24a

2、a + 12b b)=杰(18a a+ 36 b b) = a a + ? b b.點評 向量的基本運算主要有兩個途徑：一是基于“形”，通過作出向量，運用平行四邊形法則或三角形法則進行化簡；二是基于“數”，滿足“首尾相接且相加”或“起點相同且相減”的兩個向量進行化簡，解題時要注意觀察是否有這兩種形式出現，同時注意向量加法法 則、減法法則的逆向應用數乘運算，可類比實數積的運算方法進行，將向量a a, b b, c c 等看成一般字母符號，其中向量數乘之間的和差運算，相當于合并同類項或提取公因式，這里的“同類項”與“公因式”指的是向量二、求參數2章平面向量重點深化4 4i向量線性運算的應用例 2

3、如圖，已知 ABC 和點 M 滿足 IMA+ IMB + MC = 0 0，若存在實數 m 使得 AB+ AC= mAM 成解析如圖, 因為 MA + MB + MC = 0 0,即MA= (MB+ MC),即 AM = MB + MC,延長 AM，交 BC 于 D 點, 所以 D 是 BC 邊的中點, 所以 AM = 2MD , 所以AD=|AM，所以 AB+AC=2AD=3AM,所以 m= 3.答案 3點評 求解含參數的向量線性運算問題，只需把參數當作已知條件，根據向量的加法、減法 及數乘運算將問題中所涉及的向量用兩個不共線的向量表示， 列出向量方程， 對比系數求參 數的值 三、 表示向量

4、 例3 如圖所示，在 ABC 中，AD=|AB,DE / BC 交 AC 于點 E, BC 邊上的中線 AM 交 DE3于點 N,設AB= a a,AC=b b,用向量 a a, b b 表示 Al、BC、DE、DN、AM.T2T2T T T所以 AE = 3AC = 3b b,BC= AC AB= b b a a,解 因為 DE / BC,AD=|AB,f2f2由ADEs ABC,得 DE = 3BC= -(b b-a a),33又 M 是厶 ABC 底邊 BC 的中點，DE / BC,f1f1所以 DN = 2DE = -(b b a a),f f f1f11AM = AB + BM =

5、a a + BC = a a + 2(b b a a)= a a+ b b).點評 用已知向量表示另外一些向量，應盡量將所求向量轉化到平行四邊形或三角形中，利用向量共線條件和平面幾何知識的一些定理、性質，如三角形中位線性質，相似三角形對應邊成比例等，再利用向量加法、減法法則，即可用已知向量表示所求向量2 走出平面向量的誤區(qū)平面向量的基本定理與坐標表示是向量問題的基礎，試題的特點是概念較多，應用也多，不 少同學由于概念、性質掌握不清，在解題時經常出現錯誤，本文將常見的錯誤進行簡單的總 結，希望幫助同學們走出平面向量的誤區(qū) .一、 理解失誤例 1 已知 6、e e2是平面a內的一組基底，那么下列命

6、題中正確的有 _(只填序號)1e e2兩個向量可以共線，也可以是零向量；2砂+叵可以表示平面a內的所有向量；3對于平面a內的任意向量 a a,使 a a =砂+e的實數 入有無數對錯解正解 由平面向量的基本定理知，只有不共線的兩個向量才能作為平面向量的一組基底，所以錯誤；任一平面向量都可以用一組基底線性表示，且基底確定，其表示是唯一的，所以正確，錯誤；故正確答案為 答案點評 對平面向量基本定理的學習要把握以下幾點：0、e e2是同一平面內的兩個不共線向量；該平面內的任意向量 a a 都可用&、e e2線性表示，且這種表示是唯一的；對基底的選取不唯一，只要是同一平面內的兩個不共線向量都可

7、以作為一組基底二、 考慮不全錯例例 2 與模長為 13 的向量 d d= (12 , 5)平行的單位向量為 _ .錯解 由題意得|d d|= 13,則與 d d= (12, 5)平行的單位向量為(13，13).正解 與d=(12,5)平行的單位向量為(1|, 13)或(-1|,-5).答案(%，13或(-H，13點評 與 d d 平行的單位向量有同向和反向兩種情況，錯解忽略了反向的情況三、概念混淆例 3 已知 A(-2, 4), B(3, - 1), C(- 3,- 4).設 CM =3CA, CN = 2CB，試求點 M , N 和向量 MN 的坐標.錯解 A( 2, 4), B(3, -

8、1), C( 3,- 4),所以 CA = ( 2 + 3, 4 + 4) = (1, 8),CB= (3 + 3,- 1 + 4) = (6, 3),CM = 3CA = (3 , 24) , CN= 2CB = (12 , 6),所以點 M(3 , 24),點 N(12, 6) , MN = (9 , 18).正解 已知 A( 2 , 4) , B(3 , 1) , C( 3, 4).所以 CA = ( 2 + 3 , 4 + 4) = (1, 8),CB= (3 + 3, 1 + 4) = (6 , 3),CM = 3CA = (3 , 24) , CN= 2CB = (12 , 6),

9、又C(3, 4),所以點 M(0 , 20),點 N 的坐標為(9 , 2);所以 MN = (9 0 , 2 20)= (9 , 18).點評向量的坐標與點的坐標是兩個不同的概念，向量的坐標等于終點坐標減去起點坐標,只有當向量的起點在坐標原點處時，向量的坐標才與終點坐標相等技巧點撥43 平面向量的基本定理應用三技巧技巧一 構造某一向量在同一基底下的兩種不同的表達形式，用“若同理，存在常數t，使 AP= tPN ,p 1 _ s1+t 31+s丄=,.1 + s 4 1 + ts=9s2解之得8r 8OA, 0B 作為基底，構造 OP 在此基底下的兩種不同的表達形式，再根據相同基底的系數對應相

10、等得到實數方程組，最后進行求解技巧二 構造兩個共線向量在同一基底下的表達形式，用若e e1, e e2為基底，a a= x1e e1+ y1e e2,b b= x2e e1+2，且 a a / b,b,貝Vx1y2 x2y1= 0” 來求解.例 2 如圖，在 OAB 中，0C= 10A, 0D = 2 解/AP = AQ + QP, BP = BQ+ QP, (AQ+ QP)+ 2(BQ + QP) + 3CP= 0 0, AQ + 3QP + 2BQ+3CP= 0 0,又 A, B, Q 三點共線，C, P, Q 三點共線, 可設 AQ = BQ, CP = QP,- ?BQ+ 3QP+ 2BQ + 3 QP = 0 0,( H 2