最新雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)-解析式求解-教師版

1、精品文檔精品文檔直利教育2015年寒假名師培優(yōu)一對(duì)一教案雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1、概念：如果把橢圓定義中的和改成差：|PF卜|PF2卜2a或|PF2|-|PF； |=2a,即:|PFHPFIF2a， 其中a 0動(dòng)點(diǎn)的軌跡會(huì)發(fā)生什么變化呢？ 若MF! MF? =2a =卩店2，則軌跡是線段Ff?的延長(zhǎng)線；若MF： - MF! =2a = FT?,則軌跡是線段F2R的延長(zhǎng)線； 若RF2I <2|MF MF2|，則無(wú)軌跡； 在0 ： 2a ：|F（F21條件下軌跡是存在的，我們把這時(shí)得到的軌跡叫做雙曲線說(shuō)明通過(guò)對(duì)橢圓定義的類(lèi)比， 啟發(fā)學(xué)生思考并發(fā)現(xiàn) 2a與F1F2的大小關(guān)系與動(dòng)點(diǎn)的軌跡的變化規(guī)

2、律.2、概念形成（1 ）當(dāng)2a ： 2c時(shí)，雙曲線（2）當(dāng)2a = 2c時(shí)，射線（3）當(dāng)2a 2c時(shí)，無(wú)軌跡雙曲線定義定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn) F1,F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于F1F2 ）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)F1, F2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離| F1F2 |叫做焦距雙曲線定義中的注意點(diǎn)在概念的理解中要注意：（1 ）是平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值是一個(gè)非零正常數(shù)，且這個(gè)常數(shù)小于F1F2 .（2 ）當(dāng)| Ph | -PF? |=2a時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是與F2對(duì)應(yīng)的雙曲線的一支，| PF? | - |PF11 = 2a時(shí)為雙曲線的另一支.1 /V一曠一fv團(tuán)1 8-123

3、、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 可以仿照求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的做法，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.如圖8-12建系，設(shè)FiF2 =2c，取過(guò)點(diǎn)F2的直線為x軸，線段Fi F2的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則Fj-c,。）、F2（c,0），設(shè)M是所求軌跡上的點(diǎn)依已知 條件有 MF!MF2|=±2a ,MF=J(x +c)2 + y2 ,；22i22122-MF2=p(xc) +y，二 J(x+c) + y £(xc) + y = ±2a ,移項(xiàng)得：、(x c)2 y2 =： 2a . (x -c)2 y2 ,平方得：一(a2 - ex) = a. (x - c)2y2(*) 再平方得

4、： (a2 -c2)x2 - a2 y2 二 a2(a2 _ c2),即(c2 _a2 )x2 _ a2y2 二 a2(c2 _ a2)，令 b2 二 c2 _ a2(c b 0)則 b2x2 a2y2 二 a2b2，即b2綜上：焦點(diǎn)在x軸上雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是2 2x7 =1 ，其中 c2 二 a2 b2 (c a - 0),a b焦點(diǎn) Fc,。)、F2(c,0).說(shuō)明對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)可以啟發(fā)學(xué)生仿照求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的做法來(lái)完成， 坐標(biāo)系之前，可以讓學(xué)生初步推斷雙曲線所具有的對(duì)稱性，使建系更合理同樣如果雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上（圖8- 13），那么，此時(shí)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程又是怎樣的呢？焦點(diǎn)是F1

5、（0，- c）、F2（0 , c）時(shí)，a、b的意義同上，那么只要將方程在建立直角a、的x、y互換，就可以得到焦點(diǎn)在 y軸上雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是2 2 2其中 c =a b (c a 0)，焦點(diǎn) F(0廠c)、F2(0,c).22y亠2,2ab說(shuō)明雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是指雙曲線在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的方程，這里的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)有兩層含義：（1）雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上，（2）這兩個(gè)焦點(diǎn)的中心必須與原點(diǎn)重合.從這一方面理解，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程就是在特殊的直角坐標(biāo)系下的方程名稱橢圓雙曲線定義及性質(zhì)對(duì)比圖象0/ ”x定義平面內(nèi)到兩定點(diǎn)Fi, F2的距離的和為常數(shù)2a (2a a FF2 )的動(dòng)點(diǎn) 的軌跡叫橢圓即MF1 +

6、MF2| = 2a 當(dāng)2a > 2c時(shí)，軌跡是橢圓，當(dāng)2a=2c時(shí)，軌跡是一條線段F F2|當(dāng)2 a < 2c時(shí)，軌跡不存在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)Fi, F2的距離的差的絕對(duì)值為常數(shù) 2a ( 0 c 2a c F1Fj ) 的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫雙曲線.即MF_, MF2| = 2a當(dāng)2a <2c時(shí)，軌跡是雙曲線當(dāng)2a =2c時(shí)，軌跡是兩條射線當(dāng)2a >2c時(shí)，軌跡不存在標(biāo)準(zhǔn) 方程2 2焦點(diǎn)在x軸上時(shí)：務(wù)+當(dāng)=1 ab(a > b a 0 )2 2焦點(diǎn)在y軸上時(shí)：y2 +x2 =i ab(a >b > 0 )注：是根據(jù)分母的大小來(lái)判斷焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上2 2焦點(diǎn)在x

7、軸上時(shí)：x2 y =1a2 b22 2焦點(diǎn)在y軸上時(shí)：y2 x1ab注：是根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)來(lái)判斷焦點(diǎn)所在的位置常數(shù)a,b,c的關(guān) 系22丄2a =c +b (符合勾股定理的結(jié)構(gòu))a > c >0,a 最大，可以 c=b，ccb，c>b22丄2c =a +b (符合勾股定理的結(jié)構(gòu))c a a :>0c最大，可以 a = b，a<b，a>b精題精講【例1】 判斷下列方程是否表示雙曲線，若是，求出三量a,b,c的值.精品文檔2=112 2丄"2 22 2 4y2 _9x2 =36 （爲(wèi)篤=1 ）.3222分析：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的格式：平方差，x2項(xiàng)的系數(shù)是正的

8、，那么焦點(diǎn)在x軸上，x2項(xiàng)的分母是a2 ; y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上，y2項(xiàng)的分母是a2.解：是雙曲線，a 二 2, b 二.2, c 二.6 ；是雙曲線,a 二.2,b 二 2,c 二 2 ；是雙曲線，a 二、2,b=2,c-6 ；是雙曲線，a=3, b=2, c- ,13-【例2】已知雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為片(-5,0), F2(5,0),雙曲線上一點(diǎn)P到斤(-5,0), F2(5,0)的距離之差的絕對(duì)值等于6,求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在 x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為2 2務(wù)嶺=1( a 0, b 0).a b2 2 22a 二 6,2c 二 10a 二 3,c 二

9、 5 b = 5 3 =16-2 2所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為 x y 1 +916【例3】 已知雙曲線的焦點(diǎn)在 y軸上，中心在原點(diǎn)，且點(diǎn)R(3,4J2) , F2(-,5)，在此雙4'曲線上，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 +分析：由于已知焦點(diǎn)在y軸上，中心在原點(diǎn)，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可用設(shè)出來(lái)，進(jìn)行求解本題是用待定系數(shù)法來(lái)解的，得到的關(guān)于待定系數(shù)a,b的一個(gè)分式方程組，并且分母的次數(shù)是2,解這種方程組時(shí)利用換元法可將它化為二元二次方程組；也可將a2,b2的倒精品文檔精品文檔精品文檔數(shù)作為未知數(shù)，直接看作二元一次方程組.解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在 y軸上，中心在原點(diǎn)，所以設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為則有x2=

10、1(a . 0,b0)L 22ab2=132 土9X2 ，即a25 12 -52(4)12L ab21L a2 a81169 4 =1b2丄一 1 b21 1解關(guān)于，當(dāng)?shù)亩淮畏匠探M，得 a b所以，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1 1a22 2 y _ x_ 16 一 9【例4】點(diǎn)A位于雙曲線b21(a 0,b 0)上，F(xiàn)F2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，求 AF1F2的重心G的軌跡方程.分析：要求重心的軌跡方程，必須知道三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，禾U用相關(guān)點(diǎn)法進(jìn)行 求解+注意限制條件-解：設(shè) AF1F2的重心G的坐標(biāo)為(x, y)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3x,3y).因?yàn)辄c(diǎn)A位于雙曲線x2(3)22 y_21( a

11、0,b0) 上， 從而2=1(y =0)所以，AF1F2的重心&22 2(3x)(3y)G的軌跡方程為b2x2(a)21(y = 0), 即【例5】 已知B C的底邊BC長(zhǎng)為12 ,且底邊固定，頂點(diǎn)A是動(dòng)點(diǎn)，使1sin B-si nC si nA，求點(diǎn) A 的軌跡2分析：首先建立坐標(biāo)系，由于點(diǎn) A的運(yùn)動(dòng)規(guī)律不易用坐標(biāo)表示，注意條件的運(yùn)用，可 利用正弦定理將其化為邊的關(guān)系，注意有關(guān)限制條件解：以底邊BC為x軸，底邊BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立 xoy坐標(biāo)系，這時(shí)1B( -6,0),C(6,0)，由 sin B-sinC sin A得b c=6,即 | AC | - | AB | = 6.所以，點(diǎn)

12、A的軌跡是以 B( _6,0),C(6,0)為焦點(diǎn)，2 a =6的雙曲線的左支”其方程為:點(diǎn)評(píng)：求軌跡方程的過(guò)程中，有一個(gè)重要的步驟就是找出(或聯(lián)想到)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件，列方程就是根據(jù)這些條件確定的，由于軌跡問(wèn)題比較普遍，題型多樣，有 些軌跡上的動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件可能比較隱蔽和復(fù)雜+解決它需要突出形數(shù)結(jié)合的思考方法，運(yùn)用邏輯推理，結(jié)合平面幾何的基本知識(shí)，分析、歸納，這里安排本例就是針對(duì)以上情 況來(lái)進(jìn)行訓(xùn)練的【例6】求下列動(dòng)圓圓心 M的軌跡方程：(1)與O C( x+2) +y =2 內(nèi)切，且過(guò)點(diǎn) A (2, 0)2222(2) 與O C: x+(y-1) =1 和O C2:x+(y

13、+1) =4 都外切.(3) 與O C：( x+3) vO M與O C、O C2都外切 |MC=r+1,| MG)= r+2,| MC-| MC=1 點(diǎn) M的軌跡是以+y2=9 外切，且與O C2：( x-3) 2+y2=1 內(nèi)切.分析：這是圓與圓相切的問(wèn)題，解題時(shí)要抓住關(guān)鍵點(diǎn)，即圓心與切點(diǎn)和關(guān)鍵線段，即半徑與圓心距離.如果相切的O C、OC的半徑為1、2且1>2,則當(dāng)它們外切時(shí)，|OQ|=r1+2； 當(dāng)它們內(nèi)切時(shí)，| QQ|= ms解題中要注意靈活運(yùn)用雙曲線的定義求出軌跡方程解：設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r(1) vO C與OM內(nèi)切，點(diǎn) A在O C外 | MC= r-''2Maf

14、,| M*| M(> J2點(diǎn)M的軌跡是以C、A為焦點(diǎn)的雙曲線的左支,且有：a=2 , c=2, b2=c2-a2= 雙曲2 2線方程為c22x2-=1( xw -2 )4y2-4x2=1(y> 卻 vO M與O C 外切，且與O C2 內(nèi)切 |MQ=r+3,| MC=r-1,| M-| MC=4點(diǎn)M的軌跡是以C、C2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且有：a=2, c=3, b2=c2-a2=52 2所求雙曲線方程為： =1 (x > 2)452 2【例7】已知雙曲線 1的右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線上的左支上且916|PF| PFa|=32，求/ RPR的大小.分析：一般地，求

15、一個(gè)角的大小，通常要解這個(gè)角所在的三角形解：點(diǎn)P在雙曲線的左支上|PF|-| PF2|=622 |PF| +| PF2| -2| PF| PF2|=3622 | PF| +| PF| =100 I F1F212=4c2=4(a2+b2)=100/ FiPF=90°評(píng)述：(1)巧妙地將雙曲線的定義應(yīng)用于解題當(dāng)中，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)單化(2)題目的“點(diǎn) P在雙曲線的左支上”這個(gè)條件非常關(guān)鍵，應(yīng)引起我們的重視，若將 這一條件改為“點(diǎn) P在雙曲線上”結(jié)論如何改變呢？請(qǐng)讀者試探索2【例8】已知Fi、F2是雙曲線 -y2 =1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn) P在雙曲線上且滿足/ FiPF4=90°,求厶F1

16、PF2的面積.分析：利用雙曲線的定義及 F1PF2中的勾股定理可求 RPR的面積.2解：t P為雙曲線-y2 =1上的一個(gè)點(diǎn)且R、F2為焦點(diǎn).4 | PF|-| P別=2 a=4 | F1F2|=2c=2V5 v/ 只卩冃=90° 在 Rt PFF2中 | PF1| 2+| PE| 2=| F1F212=202 2 2v( | PF|-| PE| ) =|PF| +|PF2| -2| PF| PB|=16 20-2| PF| PB|=161-S.F1PF2 = ?IPFI I PI=1由此題可歸納出 | PF1I | PH|=2S“1PF2=b2cot / F1 PF2評(píng)述：雙曲線定

17、義的應(yīng)2用在解題中起了關(guān)鍵性的作用綜合發(fā)展:1已知點(diǎn)F1 (0,-13)、F2 ( 0, 13),動(dòng)點(diǎn)P到F1與F2的距離之差的絕對(duì)值為26,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為()A.y=0B.y=0(x < -13 或 x > 13)C.x=0(|y| > 13)D.以上都不對(duì)【解析】v |PF1|-|PF2|=|F1F2|,. P點(diǎn)的軌跡為分別以F1、F?為端點(diǎn)的兩條射線 【答案】C2.在方程mx2 my2=n中，若mnv 0,則方程的曲線是()A.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓B.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C.焦點(diǎn)在y軸上的橢圓D.焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線精品文檔2 2【解析】 把方程mx2 my2 =n

18、寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)方程-=1n nm mcn小n小/ mnv 0, v 0,>0.mm方程表示焦點(diǎn)在 y軸上的雙曲線【答案】D3.已知點(diǎn)P (x, y)的坐標(biāo)滿足；(X_1)2(y_1)2l22(x 3) (y 3) _± 4,則動(dòng)點(diǎn) P的軌跡是（）A.橢圓B.雙曲線C.兩條射線D.以上都不對(duì)1 ）與（-3,-3 ）的距離為4. 2 >4 , P的軌跡是雙曲線.【解析】點(diǎn)（1,【答案】2 2篤 當(dāng)_1,點(diǎn)A、B在雙曲線的右支上，線段 a b點(diǎn)F2, |AB|_m,F1為另一焦點(diǎn)，則 ABF1的周長(zhǎng)為()A.2a+2mB.4a+2mC.a+m【解析】/ A、B在雙曲線的右支上， IB

19、F11 |BF2|_2a,|AF1| |AF2|_2a, IBF1 |+AF1| (|BF2|+|AF2|)_4a IBF1 |+|AF1|_4a+m ABF1 的周長(zhǎng)為 4a+m+m_4a+2m.【答案】B4已知雙曲線的方程為AB經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦D.2a+4m5已知雙曲線的焦距為a-_25,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（c 13A.x-y _1B.lx12516925169222222xyxyyxC.1D._1或1251442514425144)26,132 22 22【解析】/ 2c_26, _ c2513精品文檔 c= 13, a2= 25. b2_13225_144.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2514

20、4 _1 或2 2 X25144 _j【答案】D6.F1、F2為雙曲線2X -y _41的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且/ F1PF2=90 ° ,則厶F1PF2的面積是（A.2【解析】雙曲線B.42 -y2_ 1的兩個(gè)焦點(diǎn)是4C.8D.16F1(0, 5 )、F2(0,5),即丨 PFi | 2+ | PF2 I 2=20| PFi |-| PF2 I = ±2,I PFi | | PF2 I =4.I PFi | 2-2 | PF2I PFi | + | PF2 I 2=4一得 2 | PFi | | PF2 I =16,【答案】B7雙曲線的焦點(diǎn)在 y軸上，且它的一個(gè)焦點(diǎn)

21、在直線5x 2y+20=0上，兩焦點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,C =5，則此雙曲線的方程是（）a 32xA.3622x yB.=i64362xC.362642xD.64236【解析】 在方程5x 2y+20=0中，令x=0得：y=iO,雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線5x 2y+20=0上又在y軸上，且兩焦點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, c=i0,c 5222, a=6, b =c a =i00 36=64.a 32222雙曲線的方程為=1，即=1.36 6464 36【答案】D18.已知 ABC中，B、C是兩個(gè)定點(diǎn)，并且si nB-si nC= si nA ,則頂點(diǎn)A的軌跡方程是（）2A.雙曲線B.橢圓C.雙曲線的一部分D.橢

22、圓的一部分1【解析】由正弦定理得|AC|-|AB|=|BC|. v B、C為定點(diǎn)， |BC|為常數(shù).2點(diǎn)A的軌跡是雙曲線的一部分.【答案】C9. 雙曲線2x2 y2=k的焦距是6,求k的值.2 2【解】把雙曲線的方程寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式，=i.k k2當(dāng) k > 0 時(shí)，a2=k,b2=k,由題知+k=9 即 k=6.2 2kk當(dāng) kv 0 時(shí)，a = k,b = , k=9 即 k= 622綜上所述k= ± 6為所求.2 210. 過(guò)雙曲線-=i的一個(gè)焦點(diǎn)作x軸的垂線，求垂線與雙曲線的交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離i44252 2【解】雙曲線方程為- J=ii4425 c= Ji44 +25=i

23、3,于是焦點(diǎn)Fi ( i3, 0)、F2 (i3, 0),設(shè)過(guò)點(diǎn)Fi的垂直于x軸的直.y2132線I交雙曲線于 A( 13,y)(y>0).-1=竺，二尸竺，即AFiF2525144144121225313又T |AF2 |AFi|=2a=24,. |AF2|=24+|AFi|=24+12 =p故垂線與雙曲線的交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離為竺 或 竺12 1211. 一雙曲線中心為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過(guò)點(diǎn)A(-2和'7，-3)、(7，6丁2)，求雙曲線的方程【解】當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在 x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為 mx2-ny2=1(m>0,n>0)，則由題知和(一277)2 -

24、n(3)2 =1,m 72 - n(6T2)2 =1,"28m - 9 n = 1, j49m - 72n =1.解之得1m =,15n.752 2雙曲線的方程為 -=1.2575當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在 y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為py2-qx2=1(p>0,q>0)，則此方程組的解使p、q都為負(fù)值，故應(yīng)舍去p(-3)2 -q(-2、.7)2 =1, p(6、2)2 -q 72 =1,2 2綜上所述，所求雙曲線的方程為=1.257512.已知曲線C： x2 y2= 1及直線I: y=kx 1.(1)若I與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；若I與C交于A、B兩點(diǎn)，0是坐標(biāo)原點(diǎn)

25、，且 AOB的面積為、. 2，求實(shí)數(shù)k的值.【解】(1)由丿2 2 .x-y曰消畀=kx _1y,得(1 k2)x2+ 2kx 2= 0由)"A= 4k2 +8(1 _k2) >0得k的取值范圍為(一2 , 1 )U ( 1, 1 )U( 1,2 )(2)設(shè) A (xi, yi), B (X2, y2),由(1)得 Xi+ X2= 2k1 -k2XiX2= 21 -k2又I過(guò)點(diǎn)D(0, 1)I S OAB = S OAD +111S OBD = I X1 | + | X2 | = | X1 X2 |22(馮X2)2=( 22 ) 2即(忌)2+ 炸=8/ k= 0 或 k= ±13.已知雙曲線2 2Xy =1 , P為雙曲線上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，并且/2