有關(guān)數(shù)列題的解題技巧

1、龍文教育一對一個(gè)性化教案學(xué)生姓名陳旺教師姓名劉小虎授課日期2012-3-18授課時(shí)段13： 00-15:00課題有關(guān)數(shù)列題的解題技巧考占 J八、分析1求數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列求和2等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用3等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式和求和性質(zhì)的應(yīng)用教 學(xué) 步 驟 及 教 學(xué) 內(nèi) 容一、授課方法：講練結(jié)合二、授課：歸納知識點(diǎn)知識點(diǎn)1：知識整合知識點(diǎn)2：方法技巧知識點(diǎn)3：注意事項(xiàng)知識點(diǎn)4：例題解析三、綜合訓(xùn)練（主要是針對本節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行綜合訓(xùn)練，考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力）四、課堂小結(jié)與反思（總結(jié)的時(shí)間安排是15分鐘）教導(dǎo)處簽字：日 期：年 月 日課后一、學(xué)生對于本次課的評價(jià)O特別滿意O滿意O

2、 一般O差評價(jià)二、教師評定1、學(xué)生上次作業(yè)評價(jià)：。好O較好。一般。差2、學(xué)生本次上課情況評價(jià)：。好O較好。一般。差作業(yè)布置教師留言教師簽字：家長意見家長簽字：日期：年 月曰有關(guān)數(shù)列題的解題技巧教學(xué)目標(biāo)：1. 復(fù)習(xí)回顧數(shù)列的有關(guān)內(nèi)容，進(jìn)一步加深對數(shù)列通項(xiàng)公式和求和的理解2. 通過講和練熟練解答數(shù)列題型的解題步驟和方法技巧教學(xué)重難點(diǎn)：1. 加深對數(shù)列通項(xiàng)公式和求和的理解2. 熟練解答數(shù)列題型的解題步驟和方法技巧數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。高考對本章的考查比較全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會遺漏。有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識和指數(shù)函數(shù)、 對數(shù)函數(shù)和不等式的

3、知識綜合起來，試題也常把等差數(shù)列、 等比數(shù)列，求極限和數(shù)學(xué)歸納法綜合在一起。探索性問題是高考的熱點(diǎn)，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。 本章中還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，在主觀題中著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學(xué)方法。近幾年來，高考關(guān)于數(shù)列方面的命題主要有以下三個(gè)方面；(1)數(shù)列本身的有關(guān)知識， 其中有等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及求和公式。(2)數(shù)列與其它知識的結(jié)合，其中有數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何的結(jié)合。(3)數(shù)列的應(yīng)用問題，其中主要是以增長率問題為主。試題的難度有三個(gè)層次，小題 大都以基礎(chǔ)題為主， 解答題大都以基礎(chǔ)題和中檔

4、題為主，只有個(gè)別地方用數(shù)列與幾何的綜合與函數(shù)、不等式的綜合作為最后一題難度較大。內(nèi)容講解：知識點(diǎn)1:知識整合1 在掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)掌握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律，深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實(shí)踐中的指導(dǎo)作用，靈活地運(yùn)用數(shù)列知識和方法解決數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中的有關(guān)問題；2 在解決綜合題和探索性問題實(shí)踐中加深對基礎(chǔ)知識、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識，溝通各類 知識的聯(lián)系，形成更完整的知識網(wǎng)絡(luò)，提高分析問題和解決問題的能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題與解決問題的能力.3培養(yǎng)學(xué)生善于分析題意，富于聯(lián)想，以適應(yīng)新

5、的背景，新的設(shè)問方式，提高學(xué)生用函數(shù)的思想、方程 的思想研究數(shù)列問題的自覺性、培養(yǎng)學(xué)生主動探索的精神和科學(xué)理性的思維方法.知識點(diǎn)2 :方法技巧1 判斷和證明數(shù)列是等差(等比)數(shù)列常有三種方法：(1) 定義法：對于n2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an-an4 (an /an4)為同一常數(shù)。(2) 通項(xiàng)公式法： 若 5 = '+ (n-1 ) d= ' ' + (n-k ) d ,則：an 為等差數(shù)列； 若 ;-IJ 丿 ，則訂為等比數(shù)列。(3) 中項(xiàng)公式法：驗(yàn)證中項(xiàng)公式成立。2.在等差數(shù)列an 中,有關(guān)Sn的最值問題一一常用鄰項(xiàng)變號法求解：當(dāng)6>0"<0時(shí)，滿

6、足9°的項(xiàng)數(shù)m使得Sm取最大值.陽蘭0當(dāng)ai<0,d>0時(shí)，滿足 冇亠°的項(xiàng)數(shù)m使得+取最小值。 gm 屮 A °在解含絕對值的數(shù)列最值問題時(shí)，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。3. 數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。知識點(diǎn)3:注意事項(xiàng)j _aa1 證明數(shù)列 a 堤等差或等比數(shù)列常用定義，即通過證明an 1 -an二an - an或亠 -而得。anan J.2 在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時(shí)，“基本量法”是常用的方法，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡便，而一般數(shù)列的問題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。3注意sn與an之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化。

7、如：S| 二 ° n = 1 an =Sn-Sn_O n_2nan= ai 一 二(ak _ ak)k丘4 數(shù)列極限的綜合題形式多樣，解題思路靈活，但萬變不離其宗，就是離不開數(shù)列極限的概念和性質(zhì)， 離不開數(shù)學(xué)思想方法，只要能把握這兩方面，就會迅速打通解題思路.5解綜合題的成敗在于審清題目弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質(zhì)，揭示問題的內(nèi)在聯(lián) 系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略.例1 已知數(shù)列an是公差d工0的等差數(shù)列，其前 n項(xiàng)和為Sn .ssS（1）求證；點(diǎn)卩（1汙）衛(wèi)（2晉）,1乙仏宀在同一條直線I】上;1Zn知識點(diǎn)4 :例題解析J2過點(diǎn)Q1（1 , a1） ,

8、 Q2 （2 , a2）作直線12,設(shè)l 1與12的夾角為B ,卡社：總-: 證明：（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列a n的公差dz0，所以k-1，k巳 +2*當(dāng)Q2(k N)時(shí)'Sh Sr k-1 T f （餌+刁一軻 i T_廠 =7_:= T炎4是常數(shù)），即k-1k T2Kp1 p k 是常數(shù)（k=2 ,所以珀 珀,人都在過點(diǎn)P】（l,功且斜率為常數(shù)#的直線1】上直線I 2的方程為y-a 1=d（x-1），直線I 2的斜率為d.3，n） d冋1 + d* -22+屮tan B =11 罷廠 <=丁|附圈0 當(dāng)且僅當(dāng)問二斶即I牛花時(shí)等號成立-江中，Sn是其前n項(xiàng)和，并且Sn.1=4an2(

9、n = 1,2,11(),印=1 ,bn =an1 -2an(n =1,2, )，求證：數(shù)列：bn是等比數(shù)列；Cn =即，5 =1,2, )，求證：數(shù)列Cn f是等差數(shù)列；2nan，的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和。例2.已知數(shù)列設(shè)數(shù)列|設(shè)數(shù)列求數(shù)列分析：由于bn和cn中的項(xiàng)都和an中的項(xiàng)有關(guān)，an中又有Sn d=4an +2,可由Sn ,2 -S n ,作切入點(diǎn)探索 解題的途徑.解: (1)由 Sn d=4an 2 , Sn 2=4an 1+2,兩式相減，得 S. 2 -S n .1=4(a n 1-a n)，即 a n 2 =4a n 1 -4a n .(根據(jù) bn 的構(gòu)造，如何把該式表示成 bn 1

10、與bn的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強(qiáng)恒等變形能力的訓(xùn)練)a n 2 -2a n 1 =2(a n 1-2a n )，又 b n =a n 1-2a n，所以 bn 1 =2b n已知 S? =4a+2, a=1, a 1 +a2 =4a +2，解得 a2 =5, b =a2 -2a 1 =3由和得，數(shù)列b n是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列，故bn=3 2(2)因?yàn)閏n=(n£N).所以砧9=為-務(wù)_ 3 * 211"13=2n+1= 4a 11又ci = 2 = 2 *故數(shù)列是首項(xiàng)為，公31J =4n_4因?yàn)槲?歩，又5二討所以貴二手右耳=(兄1)2+12卄】差弓的等差數(shù)列,

11、*嚴(yán)當(dāng) n2 時(shí)，Sn =4an 4+2=2 n 4(3n-4)+2 ;當(dāng) n=1 時(shí)，S1 =a1=1 也適合上式. 綜上可知，所求的求和公式為Sn=2n'(3n-4)+2 .說明：1.本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個(gè)數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項(xiàng)與前 決本題的關(guān)鍵在于由條件 Sn 1 =4an 2得出遞推公式。2.解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，應(yīng)用.n項(xiàng)和。解在后面求解的過程中適時(shí)例3.(04年浙江)設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)的和 $=(an-1)(3n N +), (1)求a1；a (2)求證數(shù)列an為等比數(shù)列。I)由 S1111又 S2(

12、a2 -1),即 a1 a2(a2 -1),得233(n )當(dāng) n>l時(shí)，an二 Sn -Sn411=- (an _1) _3(an4-1),33得旦an 二所以匕屣首項(xiàng)公比為.的等比數(shù)列.解：(5 2 2 2°)因 bn“an2 一兒yan1 一孑務(wù)廠亍/一和寸"552例 4、(04 年重慶)設(shè)ai=1,a2=,an+2=an+i-an(n=1,2,-), 令bn=a”i-an(n=1,2-)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式,333 求數(shù)列nan的前n項(xiàng)的和$。222故bn是公比為三的等比數(shù)列，且b1 =a2 -a1,故bn =( )n(n =1,2,)333(H)由 baol

13、) °得an 1 a1=(冇1冇)(an-an 二)(a2 - a1)PT(!) £ 訂21-3、 2n 注意到a1 =1,可得an =3 百(n = 1,2/ )3nn2n A記數(shù)列亍 的前n項(xiàng)和為Tn，則2 2 nA 2Tn =123 33兩式相減得k 1 2 (2)2 *川(2)3333故Tn =91 -(2)n -3n(2)n =9 -(3 n)2332 n d22222n川 n () ，-2 (-)HI n (-)3 3333n J ,2、n2 n2-n() =31-()- n(),33-n2、n3nd從而 Sn =a1 2anan5.在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列=

14、3(1 2 川 n) -2= 3 n(n 1)2卄8R(X1, yj P2(X2, y2)，Pn(Xn，yn)，對一切正整數(shù) n，點(diǎn)Pn位于函數(shù)A ryr=3X '的圖象上，且Pn的橫坐標(biāo)構(gòu)成以 為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列Xn。42求點(diǎn)Pn的坐標(biāo)；設(shè)拋物線列Cn,中的每一條的對稱軸都垂直于X軸，第n條拋物線Cn的頂點(diǎn)為Pn ,且過2 1 1 1Dn(0, n 1)，記與拋物線Cn相切于Dn的直線的斜率為kn ,求：二k nkn設(shè) S -I x =2Xn, n N,n 一 1 ；T -、y | y =4yn, n 一 仁,等差數(shù)列：an的任一項(xiàng) a T ,其中 a1 是S '

15、T中的最大數(shù)，-265 : aw ： -125，求 ？的通項(xiàng)公式。3 (n -1) ( -1) = -n -235,3n- )24C1 , C2 , C3 ,占八、解：(1 ) Xnyn 3 Xn=_52135=-3n -，匕(-n-44(2) ； Cn的對稱軸垂直于X軸,把Dn(0, n2 -1)代入上式，得a1kn =y |xn=2n +3，二kn斗k+ +k 1 k 2k?k32n + 3 2 且頂點(diǎn)為Pn-設(shè)Cn的方程為：y = a(x 2)2=1, - Cn 的方程為：y = X2 (2n 3)x n2，1。1 1 1 1 、( )n (2n1)(2n 3)2 2n 1 2n 312

16、n 5411 1+ kik2k2k3+knjkn= 1(-) (-)-(- -)2 57792n 1 2n 31 .1 1 . 1 1( )：2 52n 310 4n 6(3) S=x|x = _(2n 3), nN, n _1,T 二 y | y - -(12n 5), n N, n 一 1 = y | y - -2(6n 1)-3, n N,n 一 1 -Sp|T =T,t 中最大數(shù) a1 = -17.設(shè)an公差為 d，則 a® = 17 9d (-265,-125)，由此得248口*d < -12,又 a. T. d =12m（m N ）,9.d 二-24,. an =7

17、-24n（n 二 N ）.說明：本例為數(shù)列與解析幾何的綜合題，難度較大（1 ）、（2）兩問運(yùn)用幾何知識算出kn，解決（3）的關(guān)鍵在于算出 Sp|T 及求數(shù)列的公差。綜合訓(xùn)練：（一）用基本量方法解題1、 （ 04年浙江）已知等差數(shù)列的公差為2，若a1,a3,a4成等比數(shù)列，則 a2= （ B）A - 4 B- 6 C - 8 D 10（二）用賦值法解題2、 （96年）等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為（C ）A 130 B 170 C 210 D 2603、 （01年）設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，S是an的前n項(xiàng)和，若 S是等差數(shù)列，則 q= 1a1（3n -1

18、）4、 設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)的和 S= （對于所有nA1）,且a4=54,則a1= 22（三）用整體化方法解題5、 （00年）已知等差數(shù)列an滿足a計(jì)a2+as+ae1=0,則有（C ）Aa1+a101>0 Ba2+a100<0 Ca3+a99=0 Da51=516、 （02年）若一個(gè)等差數(shù)列的前3項(xiàng)和為34,最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為 390,則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù) 為（A）A 13 B 12 C 11D 107、（03 年上海）在等差數(shù)列 an中 a5=3, a6=-2, a4+a5+ao=-49（四）用函數(shù)方法解題& （04年天津）已知數(shù)列an,那么“對任意的nN+,點(diǎn)R（n ,an）都在直線y=x+1上”是“an為等差數(shù)列”的（B）A必要條件B充分條件 C充要條件D既不充分也不必要條件9、（99年上海）已知等差數(shù)列an滿足3a4=7a7,且a1>0, S是an的前n項(xiàng)和，S取得最大值，則n=910、（01年上海）已知數(shù)列an中 an=2n-7,（ n壬N+）,a1+a2+-+a15=_153_（五）用遞推方法解題11、 （03年全國）設(shè) an是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（n+1） a2n+1- nan2+an+1an=0,求它的通項(xiàng)公