機械優(yōu)化設(shè)計備課筆記1復(fù)習(xí)課程

1、機械優(yōu)化設(shè)計備課筆記第一章 優(yōu)化設(shè)計總論§1-0 機械優(yōu)化設(shè)計概述一、機械優(yōu)化設(shè)計： 作為一位工程師，在進行一項工程或產(chǎn)品設(shè)計時，總希望所設(shè)計 的方案是一切可行方案中最優(yōu)的設(shè)計方案，使所設(shè)計的工程或產(chǎn)品具有最好的使用性能、 最低的材料消耗和制造成本、 以獲得最佳的經(jīng)濟效益。 這并不是一個新的課題。 自古以來， 慎重的設(shè)計者在進行一項工程設(shè)計或產(chǎn)品設(shè)計時，常常要先擬定出幾個不同的設(shè)計方案， 通過分析對比，從中挑選出“最優(yōu)”設(shè)計。但是由于設(shè)計者的時間和精力的限值，使所擬 定的設(shè)計方案的數(shù)目受到很大的限制。因此，采用這種常規(guī)的設(shè)計手段進行工程設(shè)計，特 別是當影響設(shè)計的因素很多時，就很難得到

2、“最佳的設(shè)計方案” ?！皟?yōu)化設(shè)計”是在現(xiàn)代計算機廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)上，發(fā)展起來的一門新型的設(shè)計方法。 它是根據(jù)最優(yōu)化原理和方法，綜合諸多影響的因素，以人機配合的方式或“自動探索的” 方式，在計算機上進行自動化或半自動化的設(shè)計，以選出在現(xiàn)有工程條件許可下最好的設(shè) 計方案。這種設(shè)計是最優(yōu)設(shè)計；設(shè)計手段是計算機和源程序，設(shè)計方法是采用最優(yōu)化數(shù)學(xué) 方法?，F(xiàn)代化的設(shè)計工作已不再是過去憑經(jīng)驗和直觀判斷來確定產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)方案， 也不象過 去用“安全壽命可行設(shè)計” 方法那樣： 在滿足所提出的要求前提下， 先確定產(chǎn)品結(jié)構(gòu)方案， 再根據(jù)安全壽命準則，對該方案進行強度、剛度等分析、計算，然后進行修改，以確定產(chǎn) 品主要參數(shù)

3、和結(jié)構(gòu)尺寸。而是借助電子計算機，應(yīng)用一些精確度較高的力學(xué)數(shù)值分析方法 （如有限元等） ，進行分析計算， 并從大量的可行設(shè)計方案中， 尋找出一種最優(yōu)的設(shè)計方案， 從而實現(xiàn)用理論設(shè)計代替經(jīng)驗設(shè)計，用精確計算代替近似計算、用優(yōu)化設(shè)計代替一般安全 壽命可行設(shè)計。優(yōu)化設(shè)計方法在機械設(shè)計中的應(yīng)用，既可以使方案在規(guī)定的設(shè)計條件下達到某些最優(yōu) 化的結(jié)果，又不必耗費過多的計算工作量。因此，產(chǎn)品結(jié)構(gòu)、生產(chǎn)工藝的優(yōu)化已成為市場 競爭的必不可少的一種手段。例如，據(jù)有關(guān)資料介紹，美國的一家化學(xué)公司，利用了一個 化工優(yōu)化系統(tǒng)的設(shè)計手段， 對一個化工廠進行設(shè)計。 根據(jù)所給定的數(shù)據(jù)， 在 16小時內(nèi)， 進 行了一萬六千個可行

4、設(shè)計的選擇，從中選出一個成本最低、產(chǎn)量最大的設(shè)計方案，并給出 了必要的精確數(shù)據(jù)。 而在這之前， 這家化學(xué)公司曾經(jīng)用了一組工程師對該化工廠進行設(shè)計， 工作了一年僅做出了三個設(shè)計方案，而這三個方案沒有一個可以和上述優(yōu)化方案相比。又 如，美國貝爾飛機制造公司，采用優(yōu)化方法解決了 450 設(shè)計變量的大型結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題。在 對飛機機翼進行重新設(shè)計后， 減輕重量達到 30%。波音公司也有類似的情況， 在對波音 747 機身的重新設(shè)計后，受到減輕重量、縮短生產(chǎn)周期、降低成本的效果。在我國武漢鋼鐵公 司所引進的 1700 型薄板軋鋼機是從德國 DMAG 公司提供的。該鋼鐵公司的技術(shù)人員對引 進設(shè)備進行優(yōu)化改造后

5、，每年就多盈利了幾百萬馬克。優(yōu)化方法不僅用于產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)設(shè)計、工藝方案的選擇，也適用于運輸線路的確定、商 品流通的調(diào)配，產(chǎn)品配方的配比等。目前優(yōu)化設(shè)計以在機械、冶金、石油化工、電機、建 筑、宇航、造船、輕工紡織等部門都得到了廣泛應(yīng)用 。二、機械優(yōu)化設(shè)計發(fā)展概況： 在第二次設(shè)計大戰(zhàn)期間，由于軍事上的需要，產(chǎn)生了運籌學(xué)，它解決了許多用古典微積分和變分方法所不能解決的優(yōu)化問題。50年代發(fā)展起來的數(shù)學(xué)規(guī)劃理論形成了應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個分支，為優(yōu)化設(shè)計奠定了理論基礎(chǔ)。60年代電子計算機和計算技術(shù)的發(fā)展為優(yōu)化設(shè)計提供了強有力的計算手段，使工程技術(shù)人員能從大量繁瑣 的計算中解放出來，把主要精力轉(zhuǎn)到優(yōu)化方法選擇上來。

6、雖然近30多年來，優(yōu)化方法已在 許多工業(yè)部門得到廣泛應(yīng)用，但優(yōu)化技術(shù)成功地應(yīng)用于機械設(shè)計還是從60年代后期開始的。盡管發(fā)展的歷史較短，但進展速度十分迅速，幾十年來在機構(gòu)綜合，機械零部件的設(shè) 計、專用機械設(shè)計和工藝等方面都獲得了廣泛的應(yīng)用，并取得了卓有成效的成果。三、本課程的主要內(nèi)容： 機械優(yōu)化設(shè)計工作，包括以下三個方面的內(nèi)容：1、建立優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型，即將一個工程實際問題抽象成為優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型；2、根據(jù)數(shù)學(xué)模型的特點，選擇合適的優(yōu)化方法，并編寫出源程序；3、在計算機上進行優(yōu)化設(shè)計求解，以求出最佳的設(shè)計方案。由于機械優(yōu)化設(shè)計是利用數(shù)學(xué)方法尋求機械設(shè)計的最優(yōu)方案，所以，首先要根據(jù)實際 的機械設(shè)

7、計問題，建立起優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型， 即用數(shù)學(xué)形式來描述工程實際的設(shè)計問題。 在建立數(shù)學(xué)模型時，需要應(yīng)用專業(yè)知識來確定設(shè)計變量、設(shè)計所追求的目標和設(shè)計的限制 條件，以確定各設(shè)計變量之間的相互關(guān)系。一旦數(shù)學(xué)模型建立以后，優(yōu)化設(shè)計問題將變成 一個數(shù)學(xué)求解問題。應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃的理論，根據(jù)數(shù)學(xué)模型的特點，可以選擇適當?shù)膬?yōu)化方 法，徑而可選取和自編計算機源程序，在計算機上進行求解，以獲得最佳的設(shè)計參數(shù)。§11機械設(shè)計中的優(yōu)化問題首先，介紹下面一個簡單的例子。例題：試設(shè)計一個容積為 355厘米'的易拉罐盒。根據(jù)手掌的大小要求易拉罐的直徑 D:4厘米WDW7厘米。按用料最省(易拉罐盒的表面積最

8、小)作為衡量設(shè)計方案優(yōu)劣程度的指標，即設(shè)計追求的目標，確定其高度h和直徑d。(cm3)解：易拉罐盒的表面積：s 2n ：2 n dh我們可以按易拉罐盒的表面積來表示其用料量，以表面積為最小作為衡量設(shè)計方案優(yōu)劣程 度的指標，即設(shè)計追求的目標，表面積越小，所代表的設(shè)計方案也就越好。要確定易拉罐 的高度h和直徑d,使易拉罐表面積為最小，同時又必須滿足下述條件：易拉罐的容積：V =nd 2h/ 4= 355;易拉罐的直徑：4WDW7,易拉罐的高度h>0的條件。由此，我們可以用下述數(shù)學(xué)形式來描述上述設(shè)計問題：取設(shè)計變量：hx1x=dx2目標函數(shù)：要求滿足的條件：g 1(X)=X 1 >0g

9、2 (x)=x 2 4>0g3 (x)=7 x 2 >02g 4 (x)=nx 2 xi/4 355下面我們再以雙級圓柱齒輪減速器的優(yōu)化設(shè)計為例，來進一步認識優(yōu)化設(shè)計中的一些 問題。雙級圓柱齒輪減速器是應(yīng)用極為廣泛的通用部件之一。通常它的設(shè)計方法是：根據(jù)給定傳遞的功率P、輸出軸的轉(zhuǎn)速 n總傳動比u及壽命要求等原始數(shù)據(jù)，參照所推薦規(guī)范 或用經(jīng)驗類比預(yù)先選擇若干參數(shù)，然后按照強度、剛度、壽命以及其他方面的要求進行必 要的計算，再確定或驗算某些參數(shù)和尺寸，如果經(jīng)計算后發(fā)現(xiàn)某些參數(shù)選擇不合理，再作 適當?shù)男薷模钡奖容^合理為止。按照這樣的傳統(tǒng)設(shè)計方法，每一個設(shè)計者會設(shè)計出不同的減速器方案。

10、這是因為在設(shè) 計過程中，許多參數(shù)的選擇往往是由設(shè)計者按一定的經(jīng)驗或用類比法來確定，帶有一定程 度的隨意性。例如傳動比的分配、齒數(shù)、螺旋角、齒寬等參數(shù)大多數(shù)是按設(shè)計資料的推薦 值由設(shè)計者在一定范圍內(nèi)自定。所以這樣設(shè)計出來的各種減速器雖然一般都可以使用，但 他們的優(yōu)劣程度不同。如果要想獲得一個較好的方案，就需要多取幾種不同組合的參數(shù)進 行計算，再做比較來選擇其中最優(yōu)者。這樣的設(shè)計方法不僅使設(shè)計人員要消耗大量的精力 和時間用于重復(fù)性的繁瑣計算，而且由于人力和時間的限制仍然不可能取得最優(yōu)的設(shè)計方圖&9雙級圓柱齒輪減速機案。下面我們把雙級圓柱齒輪減速器的設(shè) 計問題描述成一個優(yōu)化設(shè)計的問題。在進行

11、優(yōu)化設(shè)計之前，首先應(yīng)該提出一 個評價設(shè)計方案優(yōu)劣程度的衡量標準。對于 減速器來說，我們總是希望在傳遞一定功率、 轉(zhuǎn)述和滿足壽命的要求下，使兩級圓柱齒輪 的體積和達到最小，以便使減速器的整個體 積和重量為最小，如圖 2 1所示。兩級圓柱齒輪減速器中齒輪體積總和：V（崩+朋）+餌（話+郵4_ «_rTIi+昭呢憶賈i+舁1'4L g 屛伏cos2/3|式（1 1）設(shè)計的目標是希望兩級圓柱齒輪體積和達到最小值。由式（1 1）可知，影響齒輪體積和V的獨立參數(shù)有：m ni、Zi、bi、Bi、Ui、m nn、Z 3、b n>3 n，其中u 口不能作 為獨立的參數(shù)。這是因為：兩級齒輪

12、傳動的傳動比之間存在著如下相互依賴的關(guān)系：U、=U IU n當總傳動比U總為給定值時，若取U I為獨立參數(shù)時，則U n就不是一個獨立的參數(shù)。 在雙級圓柱齒輪減速器的優(yōu)化設(shè)計中，我們需要恰當?shù)剡x擇上述九個獨立的參數(shù)，使雙級 圓柱齒輪體積和達到最小。這些獨立的設(shè)計參數(shù)稱為設(shè)計變量。在選擇上述各參數(shù)是，還必須考慮以下幾個方面的條件限制。（1）例如高速級齒輪齒面接觸疲勞強度和齒根彎曲疲勞強度的限制。低速級齒輪齒面接觸疲勞強度和齒根彎曲疲勞強度的限制。j IZKa wi +1 f 2wZemmmm2K1T3y,lco5t 一 一 一®一如空j式中：T i、T2分別表示作用在兩對嚙合副小齒輪上的

13、轉(zhuǎn)矩；0di、O dn分別表示第一對齒輪和第二對齒輪的齒寬系數(shù)；(T h齒輪齒面的接觸許用應(yīng)力；對于斜齒圓柱齒輪傳動， 其齒面接觸許用應(yīng)力為：T h =( t hi+ T H2 )/ 2； T f為齒輪的齒根彎曲疲勞許用應(yīng) 力，嚙合副中按兩輪(Y FaY Sa/ T F)之較大者計算。其他參數(shù)的意義已在機械設(shè)計課程中已介紹過。(2) 避免結(jié)構(gòu)干涉的限制:an 0.5 d a2S(3) 傳動比分配的合理要求：在設(shè)計兩級圓柱齒輪減速器時，為了使兩對齒輪得到 充分潤滑，還必須將兩大齒輪侵入到箱體的油池中，并且盡可能使兩大齒輪的直徑大致相 等，以獲得合理的浸油高度。在分配兩級傳動比時，需要滿足下述限制

14、條件：UI=( 1.31.4)U n , U 總=口 IU n 即 u n= u 總/u i或?qū)懗桑篿i=(1.31.4) 1 總、即卩："1 總、111 *41 總、(1 7)此外，考慮到機構(gòu)之間的合理性及一般工藝條件等方面的因素，對某些參數(shù)給出一定的選 擇范圍：2<m nW 10(1-8) ；17120(1 9)；u iW 6(1 10)；8°15°(1 11)上述各種條件限制，是對設(shè)計參數(shù)選擇所提出的約束條件。通過上述分析，我們可以把雙級圓柱齒輪減速器的優(yōu)化設(shè)計問題敘述為：求解一組設(shè) 計參數(shù)(我們把這組設(shè)計參數(shù)稱為設(shè)計變量)：x= m nl>Z1

15、>bI>3I'UI>m nn、Z 3、bn、B 叮 T在滿足式(1 2)式(1 11)諸不等式的限制(約束)條件下，使式(1 1)所表達的兩對齒輪體積和達到最小。應(yīng)用優(yōu)化方法來解決上述優(yōu)化問題時，就能夠有目的的選取一組最優(yōu)的設(shè)計參數(shù)，以 達到預(yù)期追求的設(shè)計最佳效果。通過上述兩個例子我們可以看出：將一般機械設(shè)計問題描述成為一個優(yōu)化設(shè)計問題 時，總包含以下三個部分的內(nèi)容：一是需要求解的一組獨立參數(shù)；我們把這些參數(shù)作為變 量來處理，稱為 設(shè)計變量；二是有一個明確的追求目標，這個目標又可以用設(shè)計變量來表 達成為某函數(shù)關(guān)系，稱為 目標函數(shù)；三是若干個必須滿足的限制條件，設(shè)計變量

16、的選擇必 須滿足這些限制條件。這些對設(shè)計變量選取的限制條件稱為設(shè)計約束。按照具體機械設(shè)計問題擬定的設(shè)計變量、目標函數(shù)和設(shè)計約束的總體，就組成了優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型。§12數(shù)學(xué)模型的幾個基本問題把一個工程實際問題描述成一個優(yōu)化設(shè)計問題時，其數(shù)學(xué)模型包括三個內(nèi)容：設(shè)計變量、目標函數(shù)和設(shè)計約束。、設(shè)計變量每一項工程設(shè)計或產(chǎn)品設(shè)計總包含著許許多多不同的設(shè)計參數(shù)。 在確定設(shè)計參數(shù)時可 用一組參數(shù)的數(shù)值來表示。這些參數(shù)中，有一部分參數(shù)可以根據(jù)實際的具體情況和比較成 熟的經(jīng)驗預(yù)先確定， 他們在設(shè)計過程中始終保持不變， 這部分的參數(shù)稱為 設(shè)計常量 ，例如， 一般把與材料有關(guān)的彈性模量、許用應(yīng)力等參數(shù)作

17、為實際常量來處理。另一些參數(shù)與其他 參數(shù)之間存在著一定的相互依賴關(guān)系，他們雖然是變量，但并非是獨立的變量，例如雙級 圓柱齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計中，當總傳動比U總給定時，高速級和低速級傳動比之間就存在著這樣相互依賴關(guān)系：U總=口 IU 。如果高速級傳動比u I作為獨立變量，那么低速級傳 動比U n就是非獨立的設(shè)計變量。在優(yōu)化設(shè)計中，我們把那些需要優(yōu)選的，并作為變量來 處理的一組獨立的參數(shù)稱為 設(shè)計變量 。設(shè)計變量可以用這些設(shè)計參數(shù)組成的列矩陣來表示，記作為：X =。例如在雙級圓柱齒輪減速器的優(yōu)化設(shè)計中，設(shè)計變量可以表達為；X=x 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9】T

18、=m ni>Zi>bI>3I'UI>m nn、Z 3、b n、Bn T因此，在以變量X 1 X 2xn為坐標軸的多維空間內(nèi)，設(shè)計變量 X將對應(yīng)著一個以坐標原 點為始點的矢量，該矢量稱為 設(shè)計矢量 ；而設(shè)計矢量端點的坐標就是設(shè)計變量中各分量的 數(shù)值。設(shè)計變量的一組數(shù)值表示著一個設(shè)計方案，它與設(shè)計矢量的端點相對應(yīng)，這個端點 稱為 設(shè)計點 。因此，設(shè)計矢量和設(shè)計點是一對應(yīng)的，都表示著一個設(shè)計方案，是設(shè)計變量 中的一組設(shè)計參數(shù)的數(shù)值。設(shè)計變量內(nèi)含有變量的數(shù)目稱為該優(yōu)化問題的 維數(shù)。在上述雙級圓柱齒輪減速器優(yōu)化 設(shè)計中有九個變量，因而它是一個九維的優(yōu)化設(shè)計問題。設(shè)計點的集

19、合稱為設(shè)計空間。由于工程設(shè)計中的變量都屬于實數(shù)，所以設(shè)計空間是以 設(shè)計變量中各分量為坐標軸所組成的實歐氏空間。如果用符號Rn來表示n維實歐氏空間，可以用集合的概念寫出： 設(shè)計矢量（或設(shè)計點）xR n （符號表示“屬于”，即設(shè)計變 量x屬于n維實歐氏空間內(nèi)的設(shè)計矢量或設(shè)計點）對于二維優(yōu)化設(shè)計問題，設(shè)計域是一個設(shè)計平面域，每個設(shè)計方案都可以用平面上的 每一個點的兩個坐標值來對應(yīng)表式。對于三維優(yōu)化設(shè)計問題，則設(shè)計域是一個三維歐氏空 間，空間內(nèi)的每一個點可用三個坐標分量X 1、X 2、 X 3值來表示，這些坐標點對應(yīng)著一個 設(shè)計方案。當優(yōu)化問題的維數(shù)n大于三維時，n維歐氏設(shè)計空間只能被想象成一個抽象的

20、 超越歐氏空間，在這個超越歐氏空間內(nèi)每個設(shè)計點與n個變量的值相對應(yīng)，都表示一種設(shè)設(shè)計變量有連續(xù)量和離散量之分。如果變量取任何連續(xù)數(shù)值時均有意義，這種變量稱 為連續(xù)變量 。如果變量只能取間斷跳躍的數(shù)值才有意義，它就是 離散變量 。例如在機械設(shè) 計中，齒輪齒數(shù)必須取整數(shù)，齒輪的摸數(shù)、螺紋的公稱直徑、軸承的孔徑等必須符合國家 標準，顯然這些變量都屬于離散變量。二、目標函數(shù)1、當我們對一個實際工程問題進行優(yōu)化設(shè)計時，為了評價設(shè)計方案的優(yōu)劣程度，需 要制訂出一個衡量的標準。如果這個衡量標準可以用設(shè)計變量來表達成為數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系， 那么對這個數(shù)學(xué)函數(shù)進行求優(yōu)，便可得到設(shè)計變量的最優(yōu)解，即一個最優(yōu)設(shè)計方案。在

21、優(yōu) 化設(shè)計中， 用來評價設(shè)計方案優(yōu)劣程度、 并能夠用設(shè)計變量所表達成函數(shù)， 稱為目標函數(shù)， 其數(shù)學(xué)表達形式為：F (x ) = F (x ix 2.xn )2、在一般情況下，我們總是追求目標函數(shù)的極小值，即目標函數(shù)值越小，設(shè)計方案 就越好。但是某些實際問題中也可能追求目標函數(shù)的極大值。例如追求效率最高，承載能 力最大等。由于求目標函數(shù)極大化的問題等價于求目標函數(shù)負的極小化的問題，即：maxF (x )= min F (x ) 因此，為了簡化算法和程序起見， 我們一律把優(yōu)化過程看成是追求目標函數(shù)極小化的過程， 其一般形式為：min F (x )=F (x i x 2 x n)3、目標函數(shù)有單目標

22、函數(shù)和多目標函數(shù)之分。僅根據(jù)一項設(shè)計準則建立的目標函數(shù) 稱為單目標函數(shù)；若某項設(shè)計需要同時兼顧若干個設(shè)計準則，這就將構(gòu)成多目標函數(shù)。例 如，在設(shè)計一臺機器時，有可能同時需要追求：整個機器的重量為最輕；制造成本最低； 維修費用最少；能耗最小等。一般來說：目標函數(shù)越多，計算結(jié)果也就越趨于完善，但其 難度也就越大。關(guān)于多目標函數(shù)的優(yōu)化設(shè)計問題，將在本教材的第六章中給予討論。三、設(shè)計約束在工程設(shè)計中，設(shè)計變量的選擇，一般總要受到某些條件的限制。這些限制設(shè)計變量 取值的條件稱為 設(shè)計約束 。1、設(shè)計約束按其形式來分， 可分為不等式約束和等式約束兩大類， 其一般表達式為：不等式約：g u (x)>

23、0,u = 1、2、.、p;等式約：h v (x)= 0,v = 1、2、.、q式中，g u (x)和h v (x)都是設(shè)計變量的函數(shù)，稱為 約束函數(shù)。在機械設(shè)計中， 絕大多數(shù)的設(shè)計約束為不等式約束， 但是有時也會遇到等式約束問題。 例如，在我們介紹的第一個例子易拉罐盒優(yōu)化設(shè)計中，由容積為355 厘米3的設(shè)計要求可得到等式約束條件：易拉罐的容積：V =nd 2h/ 4= 355;2即：g4(x)=nx 2 xi/4 355= 0此約束條件限制了易拉罐盒的高度h和直徑d取值。2、按照設(shè)計約束的性質(zhì)分，又有 性能約束和邊界約束兩類。所謂 性能約束是指由設(shè) 計產(chǎn)品時提出的性能要求而制定的約束，例如在

24、雙級圓柱齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計中由強度條 件、不干涉條件等構(gòu)成的約束就屬于性能約束;再如在設(shè)計曲柄搖桿機構(gòu)時，要求各桿的 長度滿足曲柄存在的條件。為了保證所設(shè)計的機構(gòu)具有良好的傳力效果，要求機構(gòu)的傳動角丫y 等。邊界約束是指對某些設(shè)計變量的取值范圍的限制。例如，在設(shè)計連桿機構(gòu) 時，各桿件的長度必須大于零，最長桿件也不能超過某個值。再如在設(shè)計一般傳動用的齒 輪時，其模數(shù)和齒數(shù)等都給出了他們的上下界限。3、帶有約束條件的優(yōu)化問題成為約束優(yōu)化問題;反之，則為無約束優(yōu)化問題。在機 械優(yōu)化設(shè)計實際問題中，絕大多數(shù)的優(yōu)化問題都屬于約束優(yōu)化問題。對于約束優(yōu)化問題，如果討論的是一般n維優(yōu)化問題，設(shè)計點x在n維歐氏

25、空間R n內(nèi)的集合，即設(shè)計空間可以分為兩部分；一部分是滿足全部設(shè)計約束的點的集合D,即：D=x | g u (x)> 0,u= 1、2、.、p;h v (x)= 0,v = 1、2、.、q 稱為 可行設(shè)計域 ，簡稱為 可行域 ;其余部分則為非可行域。在可行域內(nèi)的設(shè)計點稱為 可行 設(shè)計點 ;簡稱為 可行點 ;否則為 非可行點 。當設(shè)計點處于不等式約束邊界上時，稱為 邊界 設(shè)計點 ;邊界設(shè)計點屬于可行設(shè)計點，它是約束所允許的極限設(shè)計點。四、數(shù)學(xué)模型表達式無約束優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型的一般表達形式為：min F (x) x R n約束數(shù)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型一般表達形式為：min F (x)x D R

26、n D: g u (x)> 0,u = 1、2、.、p;h v(x)= 0,v = 1、2、.、q式中，D表示由p個不等式約束和 q個等式約束所確定的可行域，它是n維歐氏空間R 內(nèi)的一個子集。符號的含義為“屬于”；符號 的含義為“包含于”，為子集。在上述數(shù)學(xué)模型一般表達是中，若目標函數(shù)F(x)和約束函數(shù)g u(x)、h v (x )均為設(shè)計變量的線性函數(shù)，則這種優(yōu)化問題屬線性規(guī)劃問題；否則屬于非線性規(guī)劃問題。在機 械設(shè)計中，絕大多數(shù)的優(yōu)化問題均屬于非線性規(guī)劃問題。選取適當優(yōu)化方法，對優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型進行求解，可以得出設(shè)計變量的一組最優(yōu)解， 記作：x * = X1* , X2* , X3*

27、xn * T(極小點)使該設(shè)計點的標函數(shù)F (x*)為最小，點x*稱為最優(yōu)點(極小點)，它代表了一個最優(yōu)方案。 相應(yīng)的目標函數(shù)F (X*)稱為最優(yōu)值(極小值)。個優(yōu)化問題的最優(yōu)解包著最優(yōu)點 和最優(yōu)值(極小值)。我們把最優(yōu)點和最優(yōu)值的總和通稱為 最優(yōu)解。例如192頁或第對于一個具體的優(yōu)化問題，可以參照上面的一般表達式寫出其具體的數(shù)學(xué)模型。在雙級圓柱齒輪減速器的優(yōu)化設(shè)計中、其數(shù)學(xué)模型的表達形式如下(見新教材二版教材8頁):1、設(shè)計變量：在兩級圓柱齒輪減速器的總傳動u總為給定常數(shù)時，若取第一對齒輪傳動的傳動比U i為獨立變量的話，則第二對齒輪傳動的傳動比U口不能作為獨立變量。在di、優(yōu)化設(shè)計中，有時

28、為了使優(yōu)化問題得到簡化，將減少設(shè)計變量的維數(shù)n。若取第一對齒輪 傳動和第二對齒輪傳動的齒寬系數(shù)0d1、0 d2為給定常數(shù)時，則由于齒寬b 1、b 2與齒寬系數(shù)0 d1、0 d2有如下關(guān)系：故齒寬b 1、b 2在齒寬系數(shù)0 di、 柱齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計中，我們可以取m 數(shù)，由這些參數(shù)可構(gòu)成如下設(shè)計變量：x =m ni、“尸憶&嚴眞%0 d2為給定常數(shù)時也不能作為獨立變量。因此，在兩級圓Z 1、3 i、U i、m nn、Z 3、3 口為獨立的參i、U i、m nn、Z 3、Z 1、3 I'U 1>m nn、Z 3、B 叮 T X 4 X 5 X 6 X 7】Ti、u i、2、

29、目標函數(shù)："imJi 7 , (1+卑：)*6,.rnKt (H"U ) 11尸4cosj91J=x 1 x 2 x 3將設(shè)計變量代入上式，并整理得:F® =專虬二土辿1±垃斗竺二L 辿創(chuàng)4 ItIt；cos*jracosJTf3、約束條件：第一部份，高速級和低速級齒輪分別滿足齒面接觸疲勞強度和齒根彎曲疲勞強度，將 設(shè)計變量代入，并整理得：2K l 7 (心 + 1H* 2理"i 一唱際耳寄嚴 徑住竺空警嚴>0必* 工紀和第二部分，按結(jié)構(gòu)及傳動比要求，將：“_叫0+£_ %刊0+亍” n 2cosj?jt. x, jr,.丄主*

30、 + 2札抽2cosy?i此產(chǎn)命+如九cos.rj代入式：a n 0.5 d a2>s 得：工皿d+三j #3（H）=2ftjri-2S>0由式：J1.31總iz J1.41 總得： 齊 眄斗些 COST,COST,g 6( X )=x 41.3 u>0g 7( X )=1.4 u x4>0第三部分，幾個參數(shù)取值范圍的限制:g8 (x)= Xi 2>0g 11(x)= 10 X5>0g 14(x)= X617>0g 17(x)= 15 n /180x3>0g 20(x)= X7 8n /180>0上述優(yōu)化問題是一個具有g(shù)9 (x)= 10

31、X1>0g 12(x)= X217>0g 15(x)= 120X6>0g 18(x)= x3 8 n /180 >0g 10(x)= X52>0g 13(x)= 120X2>0g 16(x)= 6X4>0g 19(x)= 15 n /180 x7>07個設(shè)計變量和20個不等式約束的7維非線性規(guī)劃問題。§1 3優(yōu)化問題的幾何描述優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型包含著設(shè)計變量、目標函數(shù)及約束條件等內(nèi)容。通過對優(yōu)化數(shù)學(xué)模 型的求解從而可求得最優(yōu)解， 即最優(yōu)設(shè)計方案。為了形象地說明優(yōu)化問題的一些基本概念, 下面再對優(yōu)化問題作必要的幾何描述。在研究n維優(yōu)化問題中

32、，可以建立n+1維坐標系，其中n個坐標代表著n維設(shè)計變量，另一個坐標代表其目標函數(shù)值。這樣，目標函數(shù)在此坐標系中形成一個超曲面。為了更直觀說明問題，下面以二維優(yōu)化問題為例，來說明優(yōu)化問題中的幾何概念。設(shè)有二維優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型為:（X1 2）2 + X22=暮+工一1二0可以用圖1.9的幾何圖形來說明優(yōu)化問題的幾個基本概念。=jr)>0(1佝1-9優(yōu)優(yōu)問劇幾何播述一、目標函數(shù)的等值線圖1.9(a)是在X1X2F坐標系中，表示出目標函數(shù)F(x )空間曲面的立體圖形、約束函數(shù)g i(x)、g 2(x)、g 3(x)的三個柱面，以及這些曲面之間的相互關(guān)系。圖1.9(b)所示為設(shè)計變量X1、X2

33、組成的二維平面，由g 1(x)、g 2(x)、g 3(x)所包圍的區(qū)域為可行域D，以外的區(qū)域是非可行域。如果令目標函數(shù)F(x )等于一系列常數(shù)C 1、c 2、C 3、.時，也就是說作一系列平行于X 1 ox 2平面，且其高度為：C 1、c 2、C 3、.的平面，即F( x ) =C 1。這 些平面將分別與目標函數(shù)的曲面相交，得到一系列等值的目標函數(shù)曲線，將這些曲線投影 到坐標平面上，這些在坐標平面X 1 ox 2上的一族曲線稱為 目標函數(shù)的等值線。由此可見， 在每一條等值線上，各點的目標函數(shù)值均相等。在上面的例中，由于F( X )= (X1 2)2+X22，若令F(x )=c 1, 1 = 1

34、 , 2, 3,.，則在坐標X 10X 2平面上可到一族等值線方程為：(X1 2)2+ x22=c i,i = 1, 2, 3,.,該曲線族是在坐標平面X10X 2上以X 1*(2,0)為圓心，以“C 1為半徑的一族同心圓，如圖1.9(b)所示。目標函數(shù)等值線的形狀將清晰地表達了目標函數(shù)數(shù)值變化的情況。對于二維目標函數(shù)，極值理論證明在極值點附近領(lǐng)域內(nèi)的等值線是一族近似的同心橢圓。橢圓族 的中心便是極值點，即在目標函數(shù)極值點附近領(lǐng)域內(nèi)函數(shù)呈較強的二次形態(tài)。二、約束曲線形成可行域若令各不等式約束函數(shù)g1(x)、g 2(x)、g 3(x)為零，則相應(yīng)的約束方程可在坐標平面 x 10X 2上畫出某些曲

35、線，該曲線稱為 約束曲線。在約束曲線的一側(cè)g i(x) > 0，而另一側(cè) g i(x) V0。由這些約束曲線圍成的公共區(qū)域 D就是可行域。如圖1.9(b)中的陰影所包圍的部 分。該封閉域可行域D是由約束曲線g i(x)、g 2(x)、g 3(x)圍成的。凡是滿足這個三個設(shè)計 約束的設(shè)計點X必滿足第四個設(shè)計約束g 4(x)，第四個約束g 4(x)是一個消極的約束。當問 題比較復(fù)雜時，往往并不能預(yù)先觀察出那些約束是消極約束，因此在數(shù)學(xué)模型中仍然需要 列出所有的設(shè)計約束。如果在設(shè)計約束中還包含有等式約束hv (x)= 0,則又給設(shè)計變量 X帶來了特殊的限制。在二維優(yōu)化問題中，等式約束表現(xiàn)為坐標

36、平面上的一段曲線，它是滿足所有不等式 約束和等式約束的點的集合。也就是說在二維優(yōu)化問題中,帶有等式約束的可行域是一段 曲線。顯然這使得可行域大大減小,或可以認為是對可行域的一種降維。三、最優(yōu)解不考慮設(shè)計約束時的目標函數(shù)極小點 X *是無約束極小點, 即無約束最優(yōu)點 。本例中, X 1*= 2,0 T。在給定約束優(yōu)化問題中， 應(yīng)該是在可行域D內(nèi)尋找目標函數(shù)的最小點和最 小值，有約束的目標函數(shù)最小點稱為約束最優(yōu)點。在本例中，X 2* = :0.58, 1.34 T。顯然,該約束最優(yōu)點為具有較小的目標函數(shù)值的等值線F(x )= 3.8與約束曲線g 2(x) = 0的切點。我們可以將上述二維優(yōu)化問題的

37、幾何描述擴展到n維優(yōu)化問題中。若令n維目標函數(shù)F(x )為一系列常值c I ,則可在n維歐氏空間內(nèi)形成一系列相應(yīng)的目標函數(shù)超等值面(當n= 3時為一般的等值面)，而在無約束極小點附近領(lǐng)域內(nèi)目標函數(shù)超等值曲面是一族近似 的超橢球面。即在無約束最優(yōu)點領(lǐng)域內(nèi)，目標函數(shù)呈較強的二次型態(tài)；若取各不等式約 束函數(shù)值為零，則在n維歐氏空間又形成的若干個超約束曲面。這些超約束曲面所圍成的 一個滿足全部設(shè)計約束的n維空間就是約束優(yōu)化問題的可行域D;對無約束優(yōu)化問題，目標函數(shù)超等值面的中心就是無約束最優(yōu)點；對于約束優(yōu)化問題除可能是目標函數(shù)等值面 的中心外,更有可能的是目標函數(shù)超等值面與某個超約束曲面的切點,或者是

38、目標函數(shù)超 等值面與某些超約束曲面相交的交點。§14優(yōu)化計算的數(shù)值解法及收斂條件一、 數(shù)值迭代計算法最優(yōu)化設(shè)計總地包含兩個方面,首先是由實際的生產(chǎn)和科技問題構(gòu)造出優(yōu)化的數(shù)學(xué)模 型；然后再對數(shù)學(xué)模型采取恰當優(yōu)化方法進行求解。無論是無約束優(yōu)化問題還是約束優(yōu)化 問題,化方求解問題其本質(zhì)上都是求極值的數(shù)學(xué)問題。從理論上,其求解可用解析法,既 微積分和變分方法中的極值理論,但由于實際中的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型多種多樣,往往目標函數(shù) 及約束函數(shù)是非線性的,此時采用解析法求解變得非常復(fù)雜與困難,甚至在具體求解中無 法實現(xiàn)。所以產(chǎn)生了一種更為實用的求解方法求優(yōu)的數(shù)值計算法,即常稱之為解非線 性規(guī)劃的最優(yōu)化方法

39、。數(shù)值計算求優(yōu)過程的特點是 按照一定的邏輯結(jié)構(gòu)進行反復(fù)的迭代數(shù) 值計算,尋求目標函數(shù)逐次下降的設(shè)計點,直到最后獲得足夠精度的近似解時就截斷迭代 計算。具有這種特點的計算方法稱為數(shù)值迭代計算法。現(xiàn)在結(jié)合圖 1.10所示的二維優(yōu)化問題的圖形來說明優(yōu)化算法的迭代過程。設(shè)有一個二維的優(yōu)化問題, 其目標函數(shù)等值線如圖 1.10所示。 等值線中心為目標函數(shù) 的無約束極小點。首先在二維設(shè)計平面內(nèi)，任選一個初始點x(0),從該點出發(fā)，沿著某種優(yōu)化方法所規(guī)定的搜尋方向 S(0),選取恰當?shù)牟介La (0),按下面的迭代格式產(chǎn)生一個新的設(shè)計點:本次迭代的終止點（.x本次迭代的起始點:（0）s（0）本次迭代的步長（常

40、用一維優(yōu)化方法確定）本次迭代的方向（由某種優(yōu)化方法確定）并使之滿足：F（X）<F （x（0）則x就是一個優(yōu)越于初始點 x（0）的新設(shè)計點。然后，再以該新設(shè)計x為起始點，按類似的迭代格式產(chǎn)生第二個新的設(shè)計點：x（2）= x（l）+a（1）S（1）這樣，依次迭代可得到一系列的迭代點： x（0）、x、x（ 2）、；這些迭代點通常稱為迭代點序列。第k+1次迭代的格式為： x（k）=x（k）+ a（k）s（ k）, k = 0, 1, 2,.并使之滿足：F （x（k+ 1 ）vf （x（k） 上式稱為優(yōu)化計算的基本迭代公式。式 中的第k +1次尋求方向S（ k）及步長a（k） 是根據(jù)本次迭代初始點

41、 x（k）的目標函數(shù) 值和約束函數(shù)值等信息而確定。按上述 迭代格式反復(fù)迭代計算后產(chǎn)生的迭代點 序列：x（0）、X、x（ 2）、.、x（k）、., 各點的函數(shù)值依次下降，即：F （x（0）（1）（2）（k）>F （x ）>F （x ）>. . . >F （x ） >.o顯然迭代點系列不斷向理論的 最優(yōu)點逼進，最后必將達到滿足預(yù)定精 度要求的近似最優(yōu)點，記作 x* o通過上面的基本迭代公式可以看 到，在優(yōu)化計算的方法中主要問題仍然 是解決迭代方向和迭代步長的問題。目前，已有的各種方法盡管在選取的方向和步長上各 有千秋，但有一個共同的特點，它能必須容易通過數(shù)值計算得到，

42、且使目標函數(shù)能穩(wěn)定地 下降。、迭代計算的終止準則在優(yōu)化計算中，上述迭代過程總不能無限制地進行下去，那么，何時可以終止這種迭 代計算呢？這就需要有一個迭代計算終止準則來給與判定。理論上來說，我們當然希望最終的迭代點能到達理論極小點，或者使最終迭代點能與 理論極小點之間的距離足夠小時，才終止迭代計算。但是，這在實際計算中是辦不到的。 因為，對一待求的設(shè)計優(yōu)化問題，其理論極值點就近在哪里還并不知道其，而所知道的只 有通過多次迭代計算而獲得的一系列迭代點.o因此，我們只能從上述迭代點所提供的信息來判定是否應(yīng)當終值迭代計算。根據(jù)線性規(guī)劃理論，我們知道：對于某一個穩(wěn)定收斂的迭代計算方法，當?shù)c到達 理論極小點附近領(lǐng)域內(nèi)，各迭代的步長將變得越來越短，而各迭代點越來越接近，各迭代 點的函數(shù)值之差越來越小，由此我們可以建立如下迭代計算的終止準則。對于無約束優(yōu)化問題通常采用的迭代終止準則有以下幾種：（1）、點距準則在迭代點系列中，相鄰兩迭代點 x(k譏x(k之間的距離已達到充分小，即滿足:曾-叮W «!或用兩迭代點的坐標(設(shè)計變量)進行檢驗，寫為: 取為x(k)最優(yōu)點，即令X* = x(k)式中：n是設(shè)計維數(shù)& i是預(yù)先給定的收斂精度(2)、函數(shù)下降量準則 由于在最優(yōu)點的很小鄰域內(nèi)各迭代點的函數(shù)值變化很小，所以當相鄰兩迭代點的函數(shù) 值下降量