第二章約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型

1、北京科技大學(xué)矩陣與矩陣與Jordan標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型20112011年年9 9月月2222日日北京科技大學(xué)自動化北京科技大學(xué)自動化本章的主要任務(wù)本章的主要任務(wù)如何解決此問題：如何解決此問題：Step1Step1：找出相似矩陣的不變量，這些不變量不僅在：找出相似矩陣的不變量，這些不變量不僅在相似關(guān)系下保持不變。而且足以判斷兩個矩陣是否相似關(guān)系下保持不變。而且足以判斷兩個矩陣是否相似相似全系不變量。全系不變量。Step2Step2：找出一類比較簡單的矩陣?yán)孟嗨脐P(guān)系的：找出一類比較簡單的矩陣?yán)孟嗨脐P(guān)系的全系不變量就可以判斷一個矩陣與這類矩陣中的某全系不變量就可以判斷一個矩陣與這類矩陣中的某一個相似。

2、一個相似。問題：給定一個線性變換，找出一組基，使線性變換問題：給定一個線性變換，找出一組基，使線性變換在這組基下的矩陣表示具有比較簡單的形狀。在這組基下的矩陣表示具有比較簡單的形狀。等價的問題：給矩陣的相似等價類一個形狀簡單的代等價的問題：給矩陣的相似等價類一個形狀簡單的代表。表。北京科技大學(xué)自動化北京科技大學(xué)自動化2.1 -矩陣矩陣定義定義2.1.1 2.1.1 設(shè)設(shè)K K是一個數(shù)域，是一個數(shù)域，是一個文字，作多項式是一個文字，作多項式環(huán)環(huán)KK ，一個矩陣，如果它的元素是，一個矩陣，如果它的元素是的多項式，就的多項式，就稱作稱作矩陣矩陣。注：注：數(shù)域數(shù)域K K中的元素也在中的元素也在KK 中

3、，中， 矩陣中也包括以數(shù)為矩陣中也包括以數(shù)為元素的矩陣；元素的矩陣；KK 上有加法、減法、乘法并且與數(shù)的運(yùn)算有相同上有加法、減法、乘法并且與數(shù)的運(yùn)算有相同的運(yùn)算規(guī)律，矩陣的加法、乘法只用到其元素的加的運(yùn)算規(guī)律，矩陣的加法、乘法只用到其元素的加法和乘法因此可以同樣定義法和乘法因此可以同樣定義矩陣的加法與乘法；矩陣的加法與乘法；行列式定義中只用矩陣元素的加法和乘法，同樣可行列式定義中只用矩陣元素的加法和乘法，同樣可以定義以定義矩陣的行列式。矩陣的行列式。北京科技大學(xué)自動化北京科技大學(xué)自動化2.1 -矩陣矩陣定義定義2.1.32.1.3：若：若A(A(),B(),B() )都是都是矩陣。矩陣。A(A

4、() )經(jīng)過初等變換經(jīng)過初等變換后可變?yōu)楹罂勺優(yōu)锽(B() )，則稱為，則稱為A(A() )與與B(B() )相抵相抵注：相抵是一個等價關(guān)系。注：相抵是一個等價關(guān)系。定義定義2.1.22.1.2：對：對矩陣矩陣A(A() )施行的下列施行的下列3 3種變換稱為種變換稱為矩矩陣的陣的初等變換初等變換： 將將A(A() )的兩行的兩行( (列列) )對換；對換； 將將A(A() )的第的第i i行行( (列列) )乘以常數(shù)乘以常數(shù)c c，cKcK 將將A(A() )的第的第i i行行( (列列) )乘以乘以K K上的多項式上的多項式f( f() )后加到第后加到第j j行行( (列列) )上去。上

5、去。北京科技大學(xué)自動化北京科技大學(xué)自動化2.1 -矩陣矩陣定義下列定義下列3 3種矩陣稱為種矩陣稱為初等初等矩陣矩陣jiPij101101iccPi11)(11(11)(ffTij北京科技大學(xué)自動化北京科技大學(xué)自動化2.1 -矩陣矩陣定義定義2.1.52.1.5：A(A() )，B(B() )都是都是n n階階矩陣，且矩陣，且A(A()B()B() = B() = B() A() A() = I) = I則稱則稱B(B() )是是A(A() )的逆的逆矩陣，此時稱矩陣，此時稱A(A() )為可逆為可逆矩陣矩陣單模陣單模陣定理定理2.1.22.1.2：矩陣矩陣A(A() )可逆的充要條件是可逆的

6、充要條件是det A(det A()=c)=c，c c是非零常數(shù)是非零常數(shù)定理定理2.1.12.1.1：對：對矩陣施行行矩陣施行行( (列列) )初等變換等于用相應(yīng)的初等變換等于用相應(yīng)的初等初等矩陣左矩陣左( (右右) )乘以乘以A(A() )定義定義2.1.42.1.4：n n階階矩陣矩陣A(A() )中有一個中有一個r(r1)r(r1)階子式不為階子式不為零，而所有零，而所有r+1r+1階子式全為零，則稱的秩為階子式全為零，則稱的秩為r r。證明證明：detA(detA()B()B()=det A()=det A() detB() detB()=1)=1北京科技大學(xué)自動化北京科技大學(xué)自動化

7、2.1 -矩陣矩陣det A(det A()=c0)=c0A(A() A) A* *( ()= A)= A* * ( () A) A ( ()=cI, )=cI, 令令B(B()= A)= A* * ( () /c) /cA(A()B()B() =B() =B()A()A()=I ,)=I ,所以所以A(A() )是單模陣是單模陣引理引理：設(shè)：設(shè)M(M() )與與N(N() )是兩個是兩個n n階階- -矩陣且都不等于零矩陣且都不等于零，又設(shè)，又設(shè)B B為為n n階數(shù)字矩陣，則必存在階數(shù)字矩陣，則必存在- -矩陣矩陣Q(Q() )及及S( S() )和數(shù)字矩陣和數(shù)字矩陣R R及及T T是的下式

8、成立：是的下式成立： M( M()=()=(I-B)Q(I-B)Q()+R)+R N( N()=S()=S()( )(I-B)+TI-B)+Tdet A(det A() )是一個多項式但要滿足上式是一個多項式但要滿足上式deg(det A(deg(det A() )=0 det A() )=0 det A() )只能是常數(shù)必要條件成立只能是常數(shù)必要條件成立北京科技大學(xué)自動化北京科技大學(xué)自動化2.1 -矩陣矩陣m=0m=0命題成立命題成立設(shè)對小于設(shè)對小于mm次矩陣多項式成立次矩陣多項式成立令令QQ1 1( ()=M)=Mmmm-1m-1M(M() )( (I-B)Q1( () )= (BM (B

9、Mmm +M +Mm-1m-1) )m-1m-1+ +M+ +M0 0上式是一個小于上式是一個小于mm次矩陣多項式，有歸納假設(shè)有次矩陣多項式，有歸納假設(shè)有QQ2 2( () )和數(shù)字矩陣和數(shù)字矩陣R R，使得，使得 M( M() )( (I-B)Q1( () )= ( (I-B)Q2( () )+R令令Q(Q()=Q)=Q1 1( ()+Q)+Q2 2( (), ),命題得證命題得證證明：證明： M( M() =M) =Mmm mm+ M+ Mm-1m-1 m-1m-1+ +M+ +M0 0，其中，其中MMmm 0對對mm使用歸納法使用歸納法北京科技大學(xué)自動化北京科技大學(xué)自動化2.1 -矩陣矩

10、陣定理定理2.1.32.1.3：設(shè)：設(shè)A A，B B是數(shù)域是數(shù)域C C上的矩陣，則上的矩陣，則A A與與B B相似的相似的充要條件是充要條件是- -矩陣矩陣( (I-A)I-A)與與( (I-B)I-B)相抵相抵證明證明：( (必要性必要性) )若若A A，B B相似則存在可逆矩陣相似則存在可逆矩陣P P滿足滿足 P P-1 -1AP=B AP=B P P-1 -1( (I-A)P= (I-A)P= (I-PI-P-1 -1AP) = (AP) = (I-B)I-B) ( (I-A)I-A)與與( (I-B)I-B)相抵相抵 ( (充分充分性性) ) 若若( (I-A)I-A)與與( (I-B

11、)I-B)相抵，則存在相抵，則存在M(M() )和和N(N() )使使得得: : M( M()( )(I-A)N(I-A)N()=()=(I-B)I-B)M(M()( )(I-A) = (I-A) = (I-B) NI-B) N-1 -1( () ) 由引理：由引理： M( M()=()=(I-B)Q(I-B)Q()+R)+R帶入上式帶入上式 R( (I-A)= (I-A)= (I-B) NI-B) N-1 -1( ()- Q()- Q() () (I -A) I -A) P=N P=N-1 -1( ()- Q()- Q() () (I -A)I -A)是零次多項式是零次多項式北京科技大學(xué)自動

12、化北京科技大學(xué)自動化2.1 -矩陣矩陣R( (I-A)= (I-A)= (I-B) P I-B) P (R-P)=RA-(R-P)=RA-BPBPR,P,A,BR,P,A,B均為數(shù)字矩陣，均為數(shù)字矩陣，(R-P)=0(R-P)=0 R=PR=P，RA=RA=BPBP P=N P=N-1 -1( ()- Q()- Q() () (I -A)I -A) PN( PN()- Q()- Q() () (I -A)N(I -A)N()=I)=I(I-A) NI-A) N ( ()= M)= M-1 -1 ( () () (I-B)I-B) PN( PN()- Q()- Q() M) M-1 -1 ( (

13、) () (I-B)=II-B)=I 由引理，存在由引理，存在S( S() )和和T T ，使得，使得N(N()=S()=S()( )(I-B)+TI-B)+T P P S( S()( )(I-B)I-B)- Q(- Q() M) M-1 -1 ( () () (I-B)I-B) +PT +PT =I=I PT PT =I=I P P是非奇異的是非奇異的北京科技大學(xué)自動化北京科技大學(xué)自動化2.2 -矩陣的矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型引理引理：設(shè)：設(shè)A(A()=a)=aij ij( () )nXnnXn是一個非零是一個非零- -矩陣。則矩陣。則A(A() )必必相抵與相抵與B (B ()=b)=

14、bij ij( () )nXnnXn其中其中b b11 11( ()0)0，且可以整除，且可以整除B(B() )中的任意中的任意元素元素證明證明：經(jīng)行、列初等變換可以得到：經(jīng)行、列初等變換可以得到a a11 11( ()0)0，degadega11 11( () dega) degaij ij( () )定理定理2.2.12.2.1：設(shè)：設(shè)A(A() )是一個是一個n n階階矩陣，則矩陣，則A(A() ) 相抵與對相抵與對角陣角陣diag(ddiag(d1 1( (), d), d2 2( (), d), dr r( (), 0, 0), 0, 0)，其中，其中d di i( () )是是首一

15、多項式且首一多項式且d di i( ()|d)|di+1i+1( () )，i=1,2,r-1i=1,2,r-1證明證明：對：對n n使用數(shù)學(xué)歸納法使用數(shù)學(xué)歸納法n=1n=1，成立；，成立；n=k-1n=k-1成立；成立；n=kn=k時應(yīng)用引理時應(yīng)用引理北京科技大學(xué)自動化北京科技大學(xué)自動化2.2 -矩陣的矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型定理定理2.2.32.2.3：設(shè)：設(shè)A A是數(shù)域是數(shù)域K K上的一個上的一個n n階矩陣，則階矩陣，則A A的特的特征矩陣必相抵于征矩陣必相抵于diag(1, ,1,ddiag(1, ,1,d1 1( (), d), d2 2( (), ,d), ,dr r( ()

16、 )，其中其中d di i( () )是首一多項式且是首一多項式且d di i( ()|d)|di+1i+1( () )，i=1,2,r-1i=1,2,r-1簡證簡證：det(det(I-A)I-A)是是n n次多項式，其秩為次多項式，其秩為n n相抵于相抵于diag(ddiag(d1 1( (), d), d2 2( (), ,d), ,dn n( () )，其中，其中d di i( () )是首一多是首一多項式且項式且d di i( ()|d)|di+1i+1( () )，i=1,2,r-1i=1,2,r-1若非常數(shù)的若非常數(shù)的d di i( () )有有r r個，則有個，則有n-rn-r

17、個個1 1出現(xiàn)。出現(xiàn)。定理定理2.2.22.2.2：任一：任一n n階可逆階可逆矩陣都可以表示為有限個矩陣都可以表示為有限個初等初等矩陣的積矩陣的積北京科技大學(xué)自動化北京科技大學(xué)自動化2.3 不變因子不變因子定義定義2.3.1 2.3.1 設(shè)設(shè)A(A() )是一個是一個n n階階矩陣，矩陣，k nk n，如果，如果A(A() ) 的所有的所有k k階子式的最大公因子不等于零，則稱這個階子式的最大公因子不等于零，則稱這個多項式為多項式為A(A() ) 的的k k階行列式因子，記為階行列式因子，記為D Dk k ( () )，如果，如果A(A() )的所有的所有k k階子式都等于零，則規(guī)定階子式都

18、等于零，則規(guī)定A(A() )的的k k階行階行列式因子為零。列式因子為零。定理定理2.3.12.3.1：設(shè)：設(shè)D D1 1( (),D),D2 2( (), ,D), ,Dr r( () )是是A(A() )的非零行列的非零行列式因子，則式因子，則D Di i( ()|D)|Di+1i+1( () )，i=1,2,r-1i=1,2,r-1成立。成立。定義定義2.3.22.3.2：設(shè)：設(shè)D D1 1( (),D),D2 2( (), ,D), ,Dr r( () )是是A(A() )的非零行的非零行列式因子，則列式因子，則g g1 1( ()=D)=D1 1( (),g),g2 2( ()=D)

19、=D2 2( ()/D)/D1 1( (), ), , g, gr r( (),=D),=Dr r( ()/D)/Dr-1r-1( () )，稱為的不變因子。，稱為的不變因子。例：求例：求diag(ddiag(d1 1( (), d), d2 2( (), d), dr r( (), 0, 0), 0, 0)的行列式因子的行列式因子北京科技大學(xué)自動化北京科技大學(xué)自動化2.3 不變因子不變因子定理定理2.3.42.3.4：數(shù)域：數(shù)域K K上上n n階矩陣階矩陣A A和和B B相似的充要條件是相似的充要條件是它們的特征矩陣具有相同的行列式因子或不變因子它們的特征矩陣具有相同的行列式因子或不變因子。

20、定理定理2.3.22.3.2：相抵的：相抵的矩陣有相同的行列式因子，從而矩陣有相同的行列式因子，從而有相同的不變因子。有相同的不變因子。定理定理2.3.32.3.3：矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型是唯一的數(shù)。矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型是唯一的數(shù)。北京科技大學(xué)自動化北京科技大學(xué)自動化2.3 不變因子不變因子定理定理2.3.52.3.5：設(shè)：設(shè)A A為數(shù)域為數(shù)域K K上的上的n n階方陣，階方陣，A A的不變因子的不變因子組為組為1, ,1,d1, ,1,d1 1( (), d), d2 2( (), d), dr r( () )，其中，其中degddegdi i( () =m) =mi i，則，則A A相似于下列分塊對角陣：相

21、似于下列分塊對角陣：02121100010aaaFFFFFiimmir，其其中中注：注：det(det(I-A)I-A)的不變因子組的不變因子組1, ,1,d1, ,1,d1 1( (), d), d2 2( (), ), d dr r( () )，稱為，稱為A A的不變因子組的不變因子組北京科技大學(xué)自動化北京科技大學(xué)自動化2.3 不變因子不變因子定理定理2.3.62.3.6：設(shè)：設(shè)A A為數(shù)域為數(shù)域K K上的上的n n階方陣，階方陣，A A的的不變因子不變因子組組為為1, ,1,d1, ,1,d1 1( (), d), d2 2( (), ,d), ,dr r( () )，則，則A A的極小

22、多項式的極小多項式m(m()= d)= dr r( () )初等因子：初等因子：設(shè)設(shè)A A為數(shù)域為數(shù)域K K上的上的n n階方陣，階方陣，d d1 1( (), d), d2 2( (), ), ,d,dr r( () )為為A A的非常數(shù)不變因子，在的非常數(shù)不變因子，在K K上將其分解成不上將其分解成不可約因子之積：可約因子之積：)()()()()()()()()()()()(21222211121121212211rtrrtteteereteeeteepppdpppdpppd), 2 , 1(21tjeeerjjj我們稱每一我們稱每一個因子為個因子為A A的的一個初等因一個初等因子，全體稱

23、子，全體稱為為初等因子初等因子組組北京科技大學(xué)自動化北京科技大學(xué)自動化2.3 不變因子不變因子例：例：設(shè)設(shè)1212階矩陣的不變因子為：階矩陣的不變因子為：1,1, ,1,(1,1, ,1,(-1)-1)2 2,( ,(-1)-1)2 2( (+1),(+1),(-1)-1)2 2( (+1)(+1)(2 2+1)+1)2 2其初等因子為：其初等因子為：( (-1)-1)2 2,( ,(-1)-1)2 2, (, (+1),(+1),(-1)-1)2 2, (, (+1),(+1),(2 2+1)+1)2 2初等因子：初等因子：)(,),(),()(,),(),()(,),(),(1112122

24、11111222111ttrrtrrrreteteteeeeeeppppppppp)()()()()()()()(112112121121trtrreteeeteerpppdpppd北京科技大學(xué)自動化北京科技大學(xué)自動化2.3 不變因子不變因子定理定理2.3.62.3.6：數(shù)域：數(shù)域K K上的兩個上的兩個n n階方陣階方陣A A與與B B相似的充要相似的充要條件是它們有相同的初等因子組，即矩陣的初等因條件是它們有相同的初等因子組，即矩陣的初等因子組是矩陣相似關(guān)系的全系不變量。子組是矩陣相似關(guān)系的全系不變量。例：例：設(shè)設(shè)A A是是1010階矩陣，其初等因子組為：階矩陣，其初等因子組為：( (-1)

25、,(-1),(-1) ,(-1) ,(-1)-1)2 2,( ,(+1)+1)2 2 ( (+1)+1)3 3,( ,(-2)-2)求求A A的不變因子的不變因子定理定理2.3.72.3.7：用初等變換將：用初等變換將I-AI-A化為對角陣，然后將化為對角陣，然后將主對角線上元素分解成互不相同的一次因式方冪的主對角線上元素分解成互不相同的一次因式方冪的乘積，則所用這些一次因式的方冪就是乘積，則所用這些一次因式的方冪就是A A的全部初的全部初等因子。等因子。北京科技大學(xué)自動化北京科技大學(xué)自動化2.4 Jordan標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型引理引理1 1：如下如下r r階矩陣階矩陣J J的初等因子組為的初等因子

26、組為( (- -0 0) )r r。000001001J證明：證明：J J的特征多項式為的特征多項式為 ( (- -0 0) )r r，任意，任意krkr，I-JI-J一定一定有一個有一個k k子式的值為子式的值為(-1)(-1)k k，因此，因此J J的行列式因子為：的行列式因子為： 1,1 1,1， ，1 1， ( (- -0 0) )r r 所以所以J J的初等因子組只有的初等因子組只有( (- -0 0) )r r北京科技大學(xué)自動化北京科技大學(xué)自動化2.4 Jordan標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型引理引理2 2：設(shè)：設(shè)J J是分塊對角是分塊對角矩陣，其中每個矩陣，其中每個J Ji i都是都是JordanJordan塊塊其初等因子組為其初等因子組為( (- -0