高中數(shù)學(xué)課本中的定理、公式、結(jié)論的證明

1、數(shù)學(xué)課本中的定理、公式、結(jié)論的證明數(shù)學(xué)必修一第一章 集合（無）第二章 函數(shù)（無）第三章 指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)1對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果 a > 0 ， a ¹ 1， m > 0 ，n > 0， 那么（1）；（2）；（3）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)證明對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)證明：（性質(zhì)1）設(shè)，由對(duì)數(shù)的定義可得 ，即證得證明：（性質(zhì)2）設(shè)， 由對(duì)數(shù)的定義可得 ，即證得證明（性質(zhì)3）設(shè)，由對(duì)數(shù)的定義可得 ，即證得第四章 函數(shù)應(yīng)用（無）數(shù)學(xué)必修二第一章 立體幾何初步直線與平面、平面與平面平行、垂直的判定定理與性質(zhì)定理的證明1、直線與平面平行的判定定理若平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該

2、直線與此平面平行2、平面與平面平行的判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行3、直線與平面垂直的判定定理如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直4、平面與平面垂直的判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直證明：設(shè)直線的方向向量為a,平面的法向量分別為u，r（建立立體幾何問題與向量之間的聯(lián)系），因?yàn)?，所以a|r，即a=r()（把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題）,又所以auau=0（把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題），所以u(píng)r=0 ur（把空間向量的結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論），所以平面與平面互相垂直，5、直線與平面

3、平行的性質(zhì)定理如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么過該直線的任意一個(gè)平面與已知平面的交線與該直線平行6、平面與平面平行的性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行7、直線與平面垂直的性質(zhì)定理如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行另法8、平面與平面垂直的性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面，9三垂線定理及逆定理另法證明：已知：如圖，直線與平面相交與點(diǎn)a，在上的射影oa垂直于 求證： 證明： 過p作po垂直于po po 又oa ，pooa=o平面poa （三垂線定理的逆定理）若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面外的一條直線，則它垂

4、直于這條直線在該平面內(nèi)的投影第二章 解析幾何初步（無）數(shù)學(xué)必修三數(shù)學(xué)必修四第一章 三角函數(shù) 誘導(dǎo)公式公式： 如圖：設(shè)的終邊與單位圓（半徑為單位長(zhǎng)度1的圓）交于點(diǎn)p(x，y)，則角-的終邊與單位圓的交點(diǎn)必為p´(x，-y)由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，即可得sin=y， cos=x, sin(-)=-y, cos(-)=x, 所以：sin(-)= -sin, cos(-)= cos由倒數(shù)關(guān)系和商數(shù)關(guān)系可以得到有關(guān)正切的-誘導(dǎo)公式， 公式： 它刻畫了角+與角的正弦值（或余弦值）之間的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系是：以角終邊的反向延長(zhǎng)線為終邊的角的正弦值（或余弦值）與角的正弦值（或余弦值）關(guān)系，設(shè)角終邊圓

5、交于點(diǎn)p( x，y)，則角終邊的反向延長(zhǎng)線，即+角的終邊與單位圓的交點(diǎn)必為p´(-x，-y)（如圖4-5-1）由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，即可得sin=y，cos=x, sin(+)=-y,cos(+)=-x, 所以 :sin(+)=-sin，cos(+)=-cos由倒數(shù)關(guān)系和商數(shù)關(guān)系可以得到有關(guān)正切的誘導(dǎo)公式。相關(guān)誘導(dǎo)公式公式一： 設(shè)為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等： sin（2k+）=sin kz cos（2k+）=cos kz tan（2k+）=tan kz 公式二：sin（+）=sin cos（+）=cos tan（+）=tan 公式三：sin（）=sin公式四：

6、 利用公式二和公式三可以得到-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（）=sin cos（）=cos tan（）=tan公式五： 利用公式一和公式三可以得到2-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（2）=sin cos（2）=cos tan（2）=tan 公式六： /2±與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（/2+）=cos cos（/2+）=sin tan（/2+）=cot sin（/2）=cos cos（/2）=sin tan（/2）=cot 第二章 平面向量1、共線向量定理（p82例3）內(nèi)容：如圖a,b,c為平面內(nèi)的三點(diǎn)，且a,b不重合，點(diǎn)p為平面內(nèi)任一點(diǎn)，若c在直線ab上，則有證明：

7、由題意，與共線， 化簡(jiǎn)為：2、平面向量基本定理(p83)內(nèi)容：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意一向量，存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)，使得證明：如圖過平面內(nèi)一點(diǎn)o，作，過點(diǎn)c分別作直線oa和直線ob的平行線，交oa于點(diǎn)m，交ob于點(diǎn)n，有且只有一組實(shí)數(shù)，使得 即3、平行向量定理（p88）內(nèi)容：若兩個(gè)向量（與坐標(biāo)軸不平行）平行，則它們相應(yīng)的坐標(biāo)成比例；若兩個(gè)向量相對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)成比例，則兩向量平行，證明：設(shè)是非零向量，且若，則存在實(shí)數(shù)使，且由平面向量基本定理可知， 得：若（即向量不與坐標(biāo)軸平行）則4、余弦定理證明(p93)內(nèi)容：在中，分別為角的對(duì)邊，則證明：如圖在中，設(shè)則 同理可證：

8、所以5、點(diǎn)到直線距離公式證明（p99）向量法定義法證：如圖,根據(jù)定義，點(diǎn)m到直線 的距離是點(diǎn)m到直線 的垂線段的長(zhǎng)，如圖1，設(shè)點(diǎn)m到直線的垂線為 ，垂足為q，由 可知 的斜率為 的方程：與聯(lián)立方程組解得交點(diǎn) 第三章  三角恒等變形 1、兩角差的余弦公式證明cos（）=coscos+sinsin   證明 ：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心， 作一單位圓，再以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為始邊分別作角，且若，均為銳角時(shí)，設(shè)它們的終邊分別交單位圓于點(diǎn)p1（cos，sin），p2（cos，sin），即有兩單位向量，它們的所成角是，根據(jù)向量

9、數(shù)量積的性質(zhì)得：             又根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得：=coscos+sinsin      由得 cos（）=coscos+sinsin 由誘導(dǎo)公式可證明當(dāng)，均為任意角時(shí)式仍成立，2、兩角和的余弦公式證明=（略） 3、兩角和（差）的正弦公式證明內(nèi)容：證明：4、兩角和（差）的正切公式證明內(nèi)容：，證明：考題（2010四川理19） 證明兩角和的余弦公式； 由推導(dǎo)兩角和的正弦公式.   

10、;  解：如圖，在直角坐標(biāo)系xoy內(nèi)做單位圓o，并作出角、與-，使角的始邊為ox，交o于點(diǎn)p1，終邊交o于p2；角的始邊為op2，終邊交o于p3；角-的始邊為op1，終邊交o于p4則p1（1，0），p2（cos，sin） ，p3（cos（+），sin（+），p4（cos（-），sin（-）由p1p3=p2p4及兩點(diǎn)間的距離公式，得cos（+）-12+sin2（+）=cos（-）-cos2+sin（-）-sin2展開并整理得：2-2cos（+）=2-2（coscos-sinsin）cos（+）=coscos-sinsin；由易得cos（-）=sin，sin（2-）=cossi

11、n（+）=cos-（+）=cos（-）+（-） =cos（-）cos（-）-sin（-）sin（-）=sincos+cossin；數(shù)學(xué)必修五第一章 數(shù)列1、 等差數(shù)列通項(xiàng)公式已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，證明數(shù)列的通項(xiàng)公式為-+=證明：由等差數(shù)列的定義可知: 說明：用“疊加法”證明等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，需要驗(yàn)證對(duì)同樣成立2、 等差數(shù)列前項(xiàng)和內(nèi)容：是等差數(shù)列，公差為，首項(xiàng)為，為其前n項(xiàng)和，則證明：由題意， 反過來可寫為：+得：2所以，把代入中，得3、等比數(shù)列通項(xiàng)公式已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為q，證明數(shù)列的通項(xiàng)公式為-+=類比等差數(shù)列通項(xiàng)公式的證明，用“疊乘法”證明3、 等比數(shù)列前n項(xiàng)和內(nèi)容：是

12、等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，為其前項(xiàng)和，則=證明： 得：， 當(dāng)時(shí)， 把代入中，得 當(dāng)時(shí)，很明顯所以，=考題（2013陜西文） 17.設(shè)sn表示數(shù)列的前n項(xiàng)和. () 若為等差數(shù)列, 推導(dǎo)sn的計(jì)算公式; () 若, 且對(duì)所有正整數(shù)n, 有. 判斷是否為等比數(shù)列. 解：() 設(shè)公差為d,則.（北師大版數(shù)學(xué)必修五-課本證明方法） () ，.所以,是首項(xiàng),公比的等比數(shù)列，2、（2013陜西理）17.設(shè)是公比為q的等比數(shù)列. () 推導(dǎo)的前n項(xiàng)和公式; () 設(shè)q1, 證明數(shù)列不是等比數(shù)列. 解：() 分兩種情況討論，.上面兩式錯(cuò)位相減: ，綜上，（北師大版數(shù)學(xué)必修五-課本證明方法） () 使用反證法，

13、設(shè)是公比q1的等比數(shù)列, 假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列.則當(dāng)=0成立，則不是等比數(shù)列，當(dāng)成立，則，這與題目條件q1矛盾，綜上兩種情況，假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列均不成立，所以當(dāng)q1時(shí), 數(shù)列不是等比數(shù)列，abdabc第二章解三角形 1、正弦定理證明（p45）內(nèi)容：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。即 已知：在中，分別為角的對(duì)邊，求證：證明：方法1 利用三角形的高證明正弦定理（1）當(dāng)abc是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊ab上的高是cd，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有 ， 由此，得 ，同理可得 ， 故有 .abcdba從而這個(gè)結(jié)論在銳角三角形中成立.（2）當(dāng)abc是鈍角三角形時(shí)，過點(diǎn)c作ab邊上的高，交ab的延長(zhǎng)線于

14、點(diǎn)d，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有， ，由此，得 ，同理可得 故有 .（3）在中， 由(1)(2)（3）可知，在abc中， 成立.方法2. 外接圓證明正弦定理在abc中,已知bc=a,ac=b,ab=c,作abc的外接圓,o為圓心,連結(jié)bo并延長(zhǎng)交圓于b,設(shè)bb=2r.則根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角以及同弧所對(duì)的圓周角相等可以得到bab=90°，c =b，sinc=sinb=.同理,可得.這就是說,對(duì)于任意的三角形,上述關(guān)系式均成立,因此,我們得到等式. 方法3. 向量法證明正弦定理方法4. 等面積法（略）2、余弦定理證明（p49）內(nèi)容：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊

15、與他們夾角的余弦之積的兩倍，即證明：方法1向量法證明 方法2 三角形證明 （過程如下考題）考題（陜西2011年文、理18）敘述并證明余弦定理，解 余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的余弦之積的兩倍，或：在abc中，a,b,c為a,b,c的對(duì)邊，有證法一 如圖即同理可證 證法二 已知abc中a,b,c所對(duì)邊分別為a,b,c,以a為原點(diǎn)，ab所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則, 同理可證 第三章不等式 （無）數(shù)學(xué)選修2-1第一章 常用邏輯用語（無）第二章 空間向量與立體幾何1、空間向量基本定理： 2、線面垂直判定定理（p40例1）如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相

16、交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直3、面面平行判定定理（p40例2）如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行4、三垂線定理（p41例3）考題（2012陜西理18題） （1）如圖，證明命題“是平面內(nèi)的一條直線，是外的一條直線（不垂直于），是直線在上的投影，若，則”為真（2）寫出上述命題的逆命題，并判斷其真假（不需要證明）【解析】（）證法一 如圖，過直線上一點(diǎn)作平面的垂線，設(shè)直線，的方向向量分別是，則，共面.根據(jù)平面向量基本定理，存在實(shí)數(shù)，使得，則，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，故，從?. 證法二 如圖，記,為直線上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過作,垂足為,則.，直線，又，平面,&

17、#183; 平面，又平面， · . （）逆命題為：是平面內(nèi)的一條直線，是平面外的一條直線（不垂直于），是直線在上的投影，若，則.逆命題為真命題第三章 圓錐曲線與方程1、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程（ ）的推導(dǎo)解、以和所在直線為軸，線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系；（建系）設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，設(shè)，則，；（設(shè)點(diǎn)）由得；（列式、代換）移項(xiàng)平方后得，        整理得，       兩邊平方后整理得，（化簡(jiǎn)）由橢圓的定義知，即，令，其中，代入上式，得，兩邊除以，得：（）2、拋物

18、線標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px（p>0）的推導(dǎo)解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系系，設(shè)|kf|=（>0）,那么焦點(diǎn)f的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線的方程為，設(shè)拋物線上的點(diǎn)m（x,y），則有化簡(jiǎn)方程得 3、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程(,)的推導(dǎo)解、取過焦點(diǎn)f1、f2的直線為x軸，線段f1f2的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系。設(shè)m（x,y）為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距為2c（c>0），則f1（c，0）、f2（c，0），又設(shè)點(diǎn)m與f1、f2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a（2a<2c）.由定義可知,雙曲線上點(diǎn)的集合是p=m|mf1|mf2|=2a. 即:化簡(jiǎn)，整理得：移項(xiàng)兩邊平方得兩邊再平方后整理得由雙曲線定義

19、知考題（課本p76習(xí)題3-2第9題）（2012陜西理13.文14）右圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬 米【答案】【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，使拱橋的頂點(diǎn)o的坐標(biāo)為（0,0）， 設(shè)l與拋物線的交點(diǎn)為a、b，根據(jù)題意知a（-2，-2），b（2，-2） 設(shè)拋物線的解析式為，則有， 拋物線的解析式為 水位下降1米，則y=-3，此時(shí)有或 此時(shí)水面寬為米，數(shù)學(xué)選修2-2第一章 推理與證明直線與平面平行的性質(zhì)定理（p15例6）如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么過該直線的任意一個(gè)平面與已知平面的交線與該直線平行數(shù)學(xué)選修2-3數(shù)學(xué)選修4-4數(shù)學(xué)選修4-5柯西不等式：若a、b、c、d為實(shí)數(shù)，則或 證法：（綜合法） . 知識(shí)就是力量生長(zhǎng)在這個(gè)無比豐富的世界上，如果沒有足夠多的知識(shí)，將寸步難行。因?yàn)槟銦o論做什么事情都需要文化。古今許多圣賢就是因?yàn)橹匾晫W(xué)習(xí)才能呼風(fēng)喚雨，做出了許多驚天動(dòng)地的事業(yè)。如果你也想干一番偉業(yè)，必須刻苦學(xué)習(xí)科學(xué)文化知識(shí)，才可以增長(zhǎng)本領(lǐng)，施展特長(zhǎng)為祖國(guó)貢獻(xiàn)自己的力量。英