條件極值及拉格朗日乘數(shù)法

1、§4條件極值一、何啣條件根值在対論極值冋題時，往柱會遇到逹樣一種情形,就是函數(shù)的自變量要受到某些條件的限 制。決定一給定點(心,九,乙0 )到一曲面G(x,y,z) = O的最短距離問題,就是fiftffi形。8 01 知 道 點 (x, > z) 到 點(不),兒，) 的 卽 離 為 F(x, y, z) = yj(x-x0)2 +(y-y0)1 +(z.-zo)1 . ffi 在的冋題是要求出曲而 G(x,y,z) = o 上的點(x, y,z)便F為最小.即何題IH化為求函數(shù)F(x,y,z)在條件G(x,y,z) = 0下的最小 值冋趣.Q如，在總和為C的幾個正數(shù)冊,兀2

2、,耳的數(shù)組中，求一數(shù)組，便因數(shù)值 f = X2 +X22 +Xn2為最小，這是在條件X+E+ £ =c (形>0)的限胃下,求 函數(shù)/的板小値問題。迪類間證叫做限籲極值冋題(條件枚值I北).« 1要設(shè)計一個容枳為V的長方W形開口水箱彌定長、寬和高，便水箱的表而枳最 小分別以x、y和z表示水箱的長、寬和高，該例可表述力：在約東條件xyz = V之下求函數(shù)S(x, y, z) = 2(xz + yz) + xy的最小值.條件板値冋題的一般形沆是在條件組(xx2, -,xn) = 0, k = 1,2,，加(m< n) 限制下,求目標(biāo)函數(shù)> = /(“,

3、3;，,耳)的板值.對世種冋題的解法有：化為無條件板值.VH 1由樺=1/解岀 Z =,并代人因數(shù)S(x,y,z)中，得到 與F(x.y) = 2V(- + -) + xy然后按(化,化)=(0,0),求出梯定點x = y = 阪，并有 y x乙=丄阿，最后列定在此檜定點上取的晟小面枳S = 3#2然而，在一般情形下條件組中解岀加個變元并不總是可能的卞面介鉛的垃格朋日乗數(shù) 法就是一種不肓接依賴消元而求解條件檢值問題的有效方沫.二、條件根值的必更條件設(shè)在約東條件0（也刃=0之下求函數(shù)z=/d,y）的機(jī)值當(dāng)滿足約東條件的點（心,兒）是函數(shù)/（X,刃的條件根值點,目在垓點函數(shù)0（x,y）満足隱函數(shù)存

4、在條件時，由方f? （pa y） = 0決定鞠函數(shù)y = g（x）,于是目心就是一元函數(shù)z = /（X, g（x）的根限點，有牛=£+仏3 = 0代入gg = _警叫,就有 fx（“，兒）一A（“，兒）= °，狄（心兒）W fx<Py fy x=° '亦即（£ ' fy）（冷，一卩J = 0 .可見向量（人-人）與向量（久，-（px ）正交.注意到向量（0r , ?、）也與向量（沢，一仏）正交，即得向量（人，人）與向量（久，冷）找性相關(guān)，即存在實數(shù)幾，使 （人，/、）+ 2（久，代）=0亦即<上+兄仇=0,fy+(Py =0三

5、、Lagrange * 9 法:由上述討論可見，因數(shù)z= f（x.y）在約束條件0（九刃=0之下的條件柿值點應(yīng)是方£（兒刃+如乂（匕刃=0,f?組i （俎刃+加y（X, y） = 0,的解.0（兀刃=0.引進(jìn)所謂Lagrange函數(shù)L(x, y, 2) = /(x, y) + A(p(x. y),(禰貝中的實數(shù)2 為 Lagrange ) i±ii方桿組RP為方樣組Lx(x, y.A) = O, 厶(忑”兄)= 0, LJx,>2) = 0.下面以三元因數(shù)，兩個約東條件為例介Lagrange法的一般情況B2求函f = xyz在條件P + y2+z2=i,+ y + z

6、 = 0下的根值。解 令 L = xyz + A(x2 +y2 +Z2 -l) + /(x+y + z)Lx = yz + 2Ax + / = 0,Lv = xz + 22y + / = 0 fL: = xy + 2Az + / = 0,得 2Zv2 + /.ix = 22y2 + /)' = 2/U2 + /zz ,( 1 )Q x2+y2+Z2 =1, (2)x+y + Z = 0,( 3 )由(1)得 2A(x2 -y2) = /(y-x) , 2A(y2 - z2) = jl/(z-y),當(dāng) xHyHz 時得 2A(x + y) = -/,22(y + z) = “枚得 x =

7、 z,代人(2)(3)直得2F+)，2=i,l 2x + y = 0."（秸想）由冊性得恥誓#為齡刪定點人躺手拾) p”空游5t)也是競總囚、用Lagrange %數(shù)法解應(yīng)用H3用拉格朗日乘數(shù)進(jìn)蟲新解決：求容枳為V的長方體形開口水箱的最小表面艮解迪時所求的何題的垃格朗日因數(shù)是L(x, y,乙兄)=2(xz + yz) + x>J + QCyyz-V)L< =2z + y + Ayz = 0,對厶求偏導(dǎo)瓠并令它們都等干0:L、=2z + x + /kz = 0,L: = 2(x + y) + Axy = 0,La = xyz, - V = 0求上述方訕解，"嚴(yán)2“

8、席一符依Sit,所求水箱的表面枳在所給條件下確實存在晟小值.由上可九當(dāng)高為 為高的2倍時，表面Rg/J<最小值S = 3(2滬.fl 4 Aft物面疋+),2=7被平而x + y + z = i截成一個橢岡.求該橢岡列坐標(biāo)原點的晟 長和最短距離.fl 5 求函 9i f(x.y.z) = xyz 在條件丄 + - + - = - (x>O,y >0,z >0,r >0). x y z r下的板小値；并證明不等式3(丄 +丄+ 丄< /abc a b c J其中abc為任意正常數(shù)解設(shè)川IS朋日因數(shù)力厶(兀,乙?guī)?=xyz + A(I1)x y z r對厶求偏導(dǎo)

9、亂并令它都等干0,則有r2 c厶=yz r = 0，L、= xz = 0,:TLz = xy- = 0,r1111cLa = i1= 0' y z r由上述方杈組的前三it,易II - = - = - = = p . u而函數(shù)厶的穩(wěn)定點為X y Z Ax = y = z = 3r,A = (3r)4.為7判斷/(3r3r,3r) = (3r)3是否力所求條件根(小)值，我們可把條件丄+丄+ 1 = 1看作隱因數(shù)z = z(x,y)(滿足跑函數(shù)定理條件)，并把目標(biāo)因數(shù) x y Z r /(x,”z) = “yz(x,y) = F(x,y)看作f z =乙(x,y)的夏合函數(shù).址樣，就可應(yīng)

10、用柿值充分條件來錶岀判趾力此itMftDT：J =4，F(xiàn)jW, + w+g嚴(yán)耳,yxFxy = z + yzy+xzx+xyzxyz2 z2 2,=z 1y x xy當(dāng) x = y = z = 3/時，F(xiàn)XX = 6r = F、.y, Fxy = 3r, FxxFyy - F： = 36r2 -9r2 = 27r2 >0.由此可見，所求得的穩(wěn)定點為様?。?點，而目可以勁址是最小ffijg.逆樣就有不等衣 xyz > 3 廣'（兀 >0,y>0,z>0 且丄 + - + - = -）.x y z r令x = ayy=b,z=c, W r =（丄+ -J- + -）-1,代人上不等直有a b cabc > 3（丄+丄+丄尸3a b c或3（丄 +1 +1）-* <V （d>0“>0,c>0）abc用乘致法求解條件極值何題的一般步51如下：(1) 冋題意義確定目標(biāo)因數(shù)與條件組.in(2) 作竝格朗日函數(shù)厶(“,心,£,人池“,九)=/ +工人洙，其中人的個斂即 為條件組的個數(shù).(3) 求竝榕朗日因數(shù)的梯定點，即通過令竺=0,上土 = 0 ,oxi oAj(i = 1,2,“J