柯西施瓦茨不等式

1、分類號（宋體小三加黑） 論文選題類型 U D C 編號 本科畢業(yè)論文（設(shè)計）（黑體小初）（宋體小一加黑）題 目 （宋體小二加黑） 學 院 （宋體小三加黑） 專 業(yè) 年 級 學生姓名 學 號 指導(dǎo)教師 二 年 月（宋體三號加黑）推薦精選華中師范大學學位論文原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的學位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下獨立進行研究工作所取得的研究成果。除了文中特別加以標注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品。本人完全意識到本聲明的法律后果由本人承擔。學位論文作者簽名： 日期： 年 月 日學位論文版權(quán)使用授權(quán)書本學位論文作者完全了解學校有關(guān)保障、使用學位論文的規(guī)定，同意學

2、校保留并向有關(guān)學位論文管理部門或機構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)省級優(yōu)秀學士學位論文評選機構(gòu)將本學位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學位論文。本學位論文屬于1、保密 ，在_年解密后適用本授權(quán)書。2、不保密 。（請在以上相應(yīng)方框內(nèi)打“”）學位論文作者簽名： 日期： 年 月 日導(dǎo)師簽名： 日期： 年 月 日推薦精選目 錄內(nèi)容摘要1關(guān)鍵詞1Abstract1Keywords11.Cauchy-Schwarz不等式的簡介22.Cauchy-Schwarz不等式的四種形式22.1實數(shù)域中的Cauchy-Schwarz不

3、等式22.1.1定理22.1.2 應(yīng)用32.1.2.1 用于證明不等式32.1.2.2 用于求最值32.1.2.3 用于解方程組42.1.2.4用于解三角形相關(guān)問題42.2.n維歐氏空間中的Cauchy-Schwarz不等式52.2.1定理52.2.2應(yīng)用62.2.2.1 用于證明不等式62.2.2.2用于求最值62.2.2.3 用于證明三維空間中點到面的距離公式72.3數(shù)學分析中的Cauchy-Schwarz不等式72.3.1定理72.3.1.1定理（積分學中的柯西施瓦茨不等式）72.3.1.2 定理（數(shù)項級數(shù)的柯西施瓦茨不等式）92.3.2 應(yīng)用102.3.2.1 用于證明不等式102.4

4、概率空間中的Cauchy-Schwarz不等式102.4.1 定理10推薦精選2.4.2 應(yīng)用112.4.2.1 用于研究兩個隨機變量的相關(guān)系數(shù)112.4.2.2用于求方程的系數(shù)122.4.2.3 用于判斷極值是否存在133Cauchy-Schwarz不等式四種形式的內(nèi)在聯(lián)系133.1證明方法的相似性133.2內(nèi)在之間的互推性14 3.3 四種形式的本質(zhì). .15參考文獻16推薦精選 內(nèi)容摘要：本文介紹了柯西施瓦茨不等式在實數(shù)域、維歐式空間、數(shù)學分析、概率空間四個不同分支的表現(xiàn)形式，并簡單說明了其在各個領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用，主要包括證明不等式、求最值，解三角形的相關(guān)問題，解方程組，研究概率論中的相關(guān)系

5、數(shù)、判斷極值的存在性。此外，本文還給出了柯西施瓦茨不等式的四種不同形式的內(nèi)在聯(lián)系。關(guān)鍵詞：柯西施瓦茨不等式 應(yīng)用 內(nèi)在聯(lián)系A(chǔ)bstract: In this paper, the four different forms of Cauchy-Schwarz-inequality are firstly introduced. The four different forms include real number field, dimensional Euclidean space, mathematical analysis, probability space. Then its appl

6、ications are showed, which include proving the inequality, finding a solution to the maximum value and minimum value of a function or equations, solving triangle, studying the correlation coefficient on the probability theory, determining the existence of extreme value. In addition, this paper also

7、gives the internal relations of the four different forms of Cauchy-Schwarz-inequality. Keywords: Cauchy-Schwarz-inequality application internal-relations 推薦精選 1.Cauchy-Schwarz不等式的簡介柯西施瓦茨不等式是由大數(shù)學家柯西(Cauchy)在研究數(shù)學分析中的“流數(shù)”問題時得到的。數(shù)學上，柯西施瓦茨不等式，又稱施瓦茨不等式或柯西布尼亞科夫斯基施瓦茨不等式，因為正是后兩位數(shù)學家彼此獨立地在積分學中推而廣之，才將這一不等式應(yīng)用到近乎

8、完善的地步。柯西施瓦茨不等式是一條很多場合都用得上的不等式，例如證明不等式、求函數(shù)最值、線性代數(shù)的矢量，研究三角形的相關(guān)問題，數(shù)學分析的無窮級數(shù)和乘積的積分，和概率論的方差，求方程系數(shù)，判斷極值的存在性。 2.Cauchy-Schwarz不等式的四種形式 2.1實數(shù)域中的Cauchy-Schwarz不等式 2.1.1定理 設(shè)則當且僅當時，不等式等號成立.證明：通過構(gòu)造關(guān)于的二次函數(shù)來證明設(shè)若即時，顯然不等式成立.若時，則有且由于成立，所以且當且僅當時，不等式等號成立.故推薦精選 2.1.2 應(yīng)用在中學數(shù)學和競賽數(shù)學中常常巧妙地應(yīng)用柯西施瓦茨不等式（即Cauchy-Schwarz不等式）將許多繁

9、瑣復(fù)雜的問題簡單化，比如常常用于求證不等式、最值、解方程組和解三角形的相關(guān)問題，而運用柯西施瓦茨不等式的關(guān)鍵在于根據(jù)問題的要求并按照其形式，巧妙地構(gòu)造兩組數(shù)。2.1.2.1 用于證明不等式例1已知都是正數(shù)，求證：證明：根據(jù)柯西施瓦茨不等式的形式構(gòu)造兩個數(shù)組： 利用柯西施瓦茨不等式有即所以2.1.2.2 用于求最值例2.已知求的最小值.解：根據(jù)柯西施瓦茨不等式的形式構(gòu)造兩個數(shù)組：和則有推薦精選即所以的最小值.2.1.2.3 用于解方程組例3. 在實數(shù)范圍內(nèi)解方程組解：由柯西施瓦茨不等式知 所以當且僅當時等號成立，并將其與聯(lián)立解方程組可得：2.1.2.4用于解三角形相關(guān)問題例4. 設(shè)分別為三角形三

10、邊，其對應(yīng)的高分別為為三角形外切圓半徑，且滿足，試確定三角形的形狀.解：設(shè)三角形的面積為，則 故等號當且僅當時成立，因此，此三角形為等邊三角形。推薦精選 2.2.n維歐氏空間中的Cauchy-Schwarz不等式 2.2.1定理1在維歐氏空間中，對任意向量有其中等號當且僅當線性相關(guān)時成立。證明：證法1 通過構(gòu)造關(guān)于的二次函數(shù)來證明設(shè)由實向量的內(nèi)積的雙線性，對稱性和正定性可知當時，不等式成立。當時，由于成立，則等號當且僅當時成立，即不等式得證。證法2 通過利用實向量空間的內(nèi)積的基本性質(zhì)來證明如果故結(jié)論成立。若由內(nèi)積的正定性知令仍由內(nèi)積的正定性知，且等號只在時成立。把的表達式代入，利用內(nèi)積的雙線性

11、計算得 由于且由內(nèi)積的對稱性知故，其等號只在時成立，即推薦精選時成立，不等式獲證。注：如果把此不等式中的內(nèi)積用坐標表達出來，就是下述不等式：它也被稱為柯西布尼亞可夫斯基不等式。 2.2.2應(yīng)用2.2.2.1 用于證明不等式例5. 證明：證明：取由柯西施瓦茨不等式得整理得：2.2.2.2用于求最值例6. 已知的最小值。解：構(gòu)造向量可得：由柯西施瓦茨不等式得： 則 即的最小值為.推薦精選2.2.2.3 用于證明三維空間中點到面的距離公式例7. 已知為三維空間中的一點，平面求點解：設(shè)為平面上的任意一點，則 又因為由柯西施瓦茨不等式有 所以等號當且僅當即時成立。又由距離的定義可知點為。 2.3數(shù)學分析

12、中的Cauchy-Schwarz不等式 2.3.1定理2.3.1.1定理2（積分學中的柯西施瓦茨不等式） 設(shè)在上可積，則.證法1 通過建立輔助函數(shù)來證明作函數(shù)，由定積分的性質(zhì)得推薦精選 = =故在上單調(diào)遞減，即而故，即不等式成立。注：此證法的關(guān)鍵在于將變成而構(gòu)建輔助函數(shù)，進而將問題轉(zhuǎn)化成利用函數(shù)單調(diào)性來證明不等式。此外也可以類似定理1.1和定理2.1構(gòu)建一元二次函數(shù)來求證。證法 2 通過構(gòu)造積分不等式來證明 因為在上可積，所以都可積，且對任何實數(shù)也可積，又故，即由此推得關(guān)于的二次三項式的判別式非正，即故.注：此法的關(guān)鍵在于構(gòu)造積分不等式，展開求關(guān)于的判別式，這就將問題轉(zhuǎn)化成了關(guān)于的二次三項式有

13、無根的問題。證法 3 通過利用定積分的定義來證明因為在上可積，所以都可積，對區(qū)間進行等分，分為由定積分的定義得 推薦精選 因為，故即.注：此證法的關(guān)鍵在于應(yīng)用“分割，近似求和，取極限”的思想方法.證法4 通過利用二重積分的知識來證明3令 = = = 當且僅當時，故當時，故綜上則有.注：本證法將問題轉(zhuǎn)化成二重積分問題，并利用了輪換對稱性，重積分對稱性在積分中的應(yīng)用時高等數(shù)學學習中的一個重點、難點，值得注意。2.3.1.2 定理（數(shù)項級數(shù)的柯西施瓦茨不等式） 若級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂，且.推薦精選證明：由于收斂，則有收斂，而，故絕對收斂.由定理1.1中的可知當令取極限時，即為所要證明的不等式. 2.

14、3.2 應(yīng)用2.3.2.1 用于證明不等式 例8. 若都在在上可積，則有閔可夫斯基（Minkowski）不等式： 證明：由柯西施瓦茨不等式得 故 2.4概率空間中的Cauchy-Schwarz不等式 2.4.1 定理4 設(shè)為任意隨機變量，若存在，則也存在，且，等號成立當且僅當存在常數(shù)，使得證明：構(gòu)造二次函數(shù) 定義任意實數(shù)的二次函數(shù)為因為對一切，必然有，從而有于是方程要么無實根，要么有一個實根，即重根，則判別式非正，從而，推薦精選即.當?shù)忍柍闪?，方程有一個重根，使，從而即且，于是反之，若存在常數(shù)，使得成立，即從而于是即故即在式中等號成立。 2.4.2 應(yīng)用2.4.2.1 用于研究兩個隨機變量的相

15、關(guān)系數(shù) 例9. 對于相關(guān)系數(shù)成立，并且當且僅當；而當且僅當證明：對隨機變量應(yīng)用柯西施瓦茨不等式有 即，故等號成立當且僅當存在使得 （其中是方程時的解）推薦精選顯然，時，即 時，即 注：以上表明，當時，存在完全線性關(guān)系，這時如果給定一個隨機變量的值，另一個隨機變量的值便完全決定.2.4.2.2用于求方程的系數(shù) 例10.當函數(shù)是由實驗或觀察得到的，建立直線趨勢方程的模型時，要求實際觀察值與趨勢值離差的平方和必須為最小。解：設(shè)這里令整理得消去由柯西施瓦茨不等式得，故等號成立當且僅當.又由于為時間變量，故，所以推薦精選故2.4.2.3 用于判斷極值是否存在 例11. 證明存在極小值。 證明：因為求二階

16、偏導(dǎo)得因為由柯西施瓦茨不等式得所以又故存在極小值。從以上兩個例子可以看出柯西施瓦茨不等式在求方程系數(shù)和判斷極值中起了補充說明的作用，增強了預(yù)測模型的準確性、科學性、嚴密性5。 3Cauchy-Schwarz不等式四種形式的內(nèi)在聯(lián)系 3.1證明方法的相似性 以上我們介紹了柯西施瓦茨不等式在實數(shù)域、維歐式空間、數(shù)學分析、概率空間四個不同分支的表現(xiàn)形式，并簡單說明了其在各個領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用，盡管這四種表現(xiàn)形式涉及到不同的數(shù)學對象，證明方法各自也呈現(xiàn)出多樣化，但是我們發(fā)現(xiàn)，這四種種形式在證明方法上都可以通過構(gòu)造二次函數(shù)或者二次不等式（本質(zhì)都是通過判別式對根的情況進行判斷）來進行統(tǒng)一的證明。推薦精選如： 在

17、實數(shù)域中令在維歐式空間中令在微積分中令在概率空間中令從以上各式可看出都是通過構(gòu)造二次函數(shù)或二次不等式，利用判別式進行求證。 3.2內(nèi)在之間的互推性6 從“分析”的角度：定理2.1.1定理2.3.1.1從“代數(shù)”的角度：本質(zhì)上是一致的，如：1）若在向量空間中取，定義內(nèi)積，則定理2.2.1定理2.1.12）若在空間取，定義內(nèi)積，則定理2.2.1定理2.3.1.1從“測度論”的角度：1） 若選取離散型隨機變量 推薦精選 則，故定理2.4.1定理2.1.12） 若選取連續(xù)性隨機變量則故定理2.4.1定理2.3.1.13.3 四種形式的本質(zhì)是內(nèi)積在不同的（賦范）空間的表現(xiàn)形式即為柯西施瓦茨不等式在實數(shù)域和維歐式空間的表現(xiàn)形式。即為柯西施瓦茨不等式在數(shù)學分析數(shù)項級數(shù)上的表現(xiàn)形式。 當定義內(nèi)積其中是關(guān)于在上的連續(xù)函數(shù)，則取即為柯西施瓦茨不等式在數(shù)學分析積分學中的表現(xiàn)形式。 當定義內(nèi)積，若為隨機變量，取，則由得，即為柯西施瓦茨不等式在概率空間的表現(xiàn)形式。 因此，柯西施瓦茨不等式的四種形式是內(nèi)積在不同的（賦范）空間的表現(xiàn)形式。推薦精選參考文獻：1樊惲，劉宏偉,線性代數(shù)與解析幾何教