Ch 6-2,3數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及審斂法 (1)

1、二、比較審斂法二、比較審斂法 三、比值審斂法三、比值審斂法 第二節(jié)第二節(jié)一、基本定理一、基本定理正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第六章 四、根值審斂法四、根值審斂法 一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法若,0nu1nnu定理定理 1. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnu收斂部分和序列nS),2, 1(n有界 .若1nnu收斂 , ,收斂則nS,0nu部分和數(shù)列nSnS有界, 故nS1nnu從而又已知故有界.則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù) .單調(diào)遞增, 收斂 , 也收斂.證證: “ ”“ ”機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,Zn,nnvku 都有定理定理2 (比較審斂法比較審斂法

2、)設(shè),1nnu1nnv且存在,ZN對(duì)一切,Nn 有(1) 若強(qiáng)級(jí)數(shù)1nnv則弱級(jí)數(shù)1nnu(2) 若弱級(jí)數(shù)1nnu則強(qiáng)級(jí)數(shù)1nnv證證:設(shè)對(duì)一切和令nSn則有收斂 ,也收斂 ;發(fā)散 ,也發(fā)散 .分別表示弱級(jí)數(shù)和強(qiáng)級(jí)數(shù)的部分和, 則有nnvku 是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù), (常數(shù) k 0 ),因在級(jí)數(shù)前加、減有限項(xiàng)不改變其斂散性, 故不妨機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (1) 若強(qiáng)級(jí)數(shù)1nnv則有nn lim因此對(duì)一切,Zn有nS由定理 1 可知,1nnu則有(2) 若弱級(jí)數(shù)1nnu,limnnS因此,limnn這說明強(qiáng)級(jí)數(shù)1nnv也發(fā)散 .knSnk也收斂 .發(fā)散,收斂,弱級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

3、 返回 結(jié)束 例例1. 討論 p 級(jí)數(shù)pppn131211(常數(shù) p 0)的斂散性. 解解: 1) 若, 1p因?yàn)閷?duì)一切,Zn而調(diào)和級(jí)數(shù)11nn由比較審斂法可知 p 級(jí)數(shù)11npnn1發(fā)散 .發(fā)散 ,pn1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 , 1p因?yàn)楫?dāng)nxn1,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111) 1(111ppnnp考慮強(qiáng)級(jí)數(shù)1121) 1(1ppnnn的部分和n111) 1(11ppnkkkn故強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂 , 由比較審斂法知 p 級(jí)數(shù)收斂 .時(shí),1) 1(11pn11111) 1(113121211pppppnn12) 若機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 調(diào)和

4、級(jí)數(shù)與 p 級(jí)數(shù)是兩個(gè)常用的比較級(jí)數(shù).若存在,ZN對(duì)一切,Nn ,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收斂則nnu;1發(fā)散則nnu機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證明級(jí)數(shù)1) 1(1nnn發(fā)散 .證證: 因?yàn)?) 1(1) 1(1nnn),2, 1(11nn而級(jí)數(shù)111nn21kk發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知, 所給級(jí)數(shù)發(fā)散 .例例2.2.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理3. (比較審斂法的極限形式),1nnu1nnv,limlvunnn則有兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散 ;(2) 當(dāng) l = 0 ,1收斂時(shí)且nnv;1也收斂nnu(3) 當(dāng) l = ,1發(fā)散時(shí)且nnv.1也發(fā)

5、散nnu證證: 據(jù)極限定義, 0對(duì),ZN存在lnnvu)(l設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足(1) 當(dāng) 0 l 時(shí),時(shí)當(dāng)Nn 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 nnnvluvl)()(, l取由定理 2 可知1nnu與1nnv同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ;)(Nn ),()(Nnvlunn利用(3) 當(dāng)l = 時(shí),ZN存在,時(shí)當(dāng)Nn ,1nnvu即nnvu ，由定理2可知, 若1nnv發(fā)散 , 1;nnu則也收斂(1) 當(dāng)0 l 0), 使當(dāng)使當(dāng) x = n 時(shí)，時(shí)，f (n)=un，則，則1( )nnAf x dx1nnu與與An收斂性相同收斂性相同. . 這里這里例例. . 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性判別下列級(jí)數(shù)的斂

6、散性2222111(1);(2);(3)ln(ln )(ln )pnnnnnnnnn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第三節(jié)第三節(jié)交錯(cuò)級(jí)數(shù)和任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法交錯(cuò)級(jí)數(shù)和任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 第六章 一一 、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 二二 、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和條件收斂、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和條件收斂 三三 、絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)、絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì) 一一 、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù)nnuuuu1321) 1(稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù) .定理定理6 . ( Leibnitz 判別法 ) 若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:則級(jí)數(shù); ),2, 1() 11nuun

7、n,0lim)2nnunnnu11) 1(收斂 , 且其和 ,1uS 其余項(xiàng)滿足.1nnur,2, 1,0nun設(shè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證證: )()()(21243212nnnuuuuuuS)()()(1222543212nnnuuuuuuuS1u是單調(diào)遞增有界數(shù)列,nS212limuSSnn又)(limlim12212nnnnnuSSnnS2lim故級(jí)數(shù)收斂于S, 且,1uS :的余項(xiàng)nS0nu2nnSSr)(21nnuu21nnnuur1nu故S機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 收斂收斂nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nn用Lei

8、bnitz 判別法判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:nnn10) 1(104103102101)31432收斂上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂 ?;1) 11nn;!1)21nn.10)31nnn發(fā)散收斂收斂 ! ) 1(1 n!1n11 nnnuu1 101 1nnnn10 nn1101 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂二、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂 定義定義: 對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù),1nnu若若原級(jí)數(shù)收斂, 但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則稱原級(jí)111) 1(nnn,! ) 1(1) 1(11nnn1110) 1(nnnn1nnu收斂 ,1nnu數(shù)1nnu

9、為條件收斂 .均為絕對(duì)收斂.例如例如:絕對(duì)收斂 ；則稱原級(jí)數(shù)條件收斂 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理7. 絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂 .證證: 設(shè)1nnunv),2,1(n根據(jù)比較審斂法顯然,0nv1nnv收斂,收斂12nnvnnnuvu 2,1nnu1nnu也收斂)(21nnuu 且nv,nu收斂 , 令機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7. 證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 :.) 1()2(;sin) 1 (1214nnnnennn證證: (1),1sin44nnn而141nn收斂 ,14sinnnn收斂因此14sinnnn絕對(duì)收斂 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (2) 令

10、,2nnenu nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因此12) 1(nnnen12) 1(nnnen收斂,絕對(duì)收斂.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 其和分別為 三、絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)*定理定理8. 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)不因改變項(xiàng)的位置而改變其和. 說明說明: 證明參考 數(shù)學(xué)分析教材, 這里從略.*定理定理9. ( 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘法 ).S則對(duì)所有乘積 jivu1nnw按任意順序排列得到的級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂,設(shè)級(jí)數(shù)1nnv1nnu與都絕對(duì)收斂,S其和為但需注意條件收斂級(jí)數(shù)不具有這兩條性質(zhì). 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1

11、. 利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性2. 利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法必要條件0limnnu不滿足發(fā) 散滿足比值審斂法 limn1nunu根值審斂法nnnulim1收 斂發(fā) 散1不定 比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法為收斂級(jí)數(shù)1nnu設(shè)Leibniz判別法:01nnuu0limnnu則交錯(cuò)級(jí)數(shù)nnnu1) 1(收斂概念:,1收斂若nnu1nnu稱絕對(duì)收斂,1發(fā)散若nnu條件收斂1nnu稱機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnu收斂, 能否推出12nnu收斂 ?提示提示:nnnuu2limnnu lim0由比較判斂法可知12nnu收斂 .注意注意: 反之不成立. 例如,121nn收斂 ,11nn發(fā)散 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ;) 1ln(1) 1 (1nn1. 判別級(jí)數(shù)的斂散性:.1)2(1nnnn解解: (1),) 1ln(nnnn1) 1ln(111nn發(fā)散 , 故原級(jí)數(shù)發(fā)散 .11npnp:級(jí)數(shù)不是 p級(jí)數(shù)(2)nlimnnn1lim111nn發(fā)散 , 故原級(jí)數(shù)發(fā)散 .nnn1n1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. ),3,2, 1(0nun設(shè), 1