穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱習(xí)題

1、 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)習(xí)題 1 固體內(nèi)的一維導(dǎo)熱問(wèn)題例1 具有均勻內(nèi)熱源強(qiáng)度qv的無(wú)限大平壁處于穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，其厚度為2，導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)，兩側(cè)壁溫各自均布，分別為 tw1和tw2，試求該平壁內(nèi)的溫度分布表達(dá)式。解: 根據(jù)題意，x坐標(biāo)的原點(diǎn)取平壁的中心線，描述該平壁內(nèi)穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱現(xiàn)象的微分方程式為： （1）邊界條件： x= -: t=tw1x= : t=tw2 （2）移項(xiàng)后積分該微分方程式兩次可得其通解 （3）代入邊界條件 （4） （5）式（4）+式（5） （6）式（4）式（5） （7）C1和C2代入微分方程式的通解式（3）后得到壁內(nèi)的溫度表達(dá)式 （8） 例2具有均勻內(nèi)熱源qv的無(wú)限大平壁處于穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，其厚度為2，導(dǎo)

2、熱系數(shù)為常數(shù)，兩側(cè)壁溫各自均布且相同，均為tw，試求該平壁內(nèi)的溫度分布表達(dá)式。解: 根據(jù)題意，導(dǎo)熱微分方程式同上題。由于兩側(cè)壁溫相同，是一種對(duì)稱情況，因此只需求解一半的求解域即可，x坐標(biāo)的原點(diǎn)取平壁的中心線。描述該平壁內(nèi)穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的微分方程式為： （1）邊界條件：x=0: x=: （2）該微分方程式的通解為 （3）代入邊界條件 （4） （5）由式（4） (6)常數(shù)C1代入式（5） (7)常數(shù)C1和C2代入微分方程式的通解式（3）后得到壁內(nèi)的溫度表達(dá)式 (8)例3一錐臺(tái)如附圖所示，頂面和底面溫度各為均勻的tw1和tw2，側(cè)面覆有保溫材料。錐臺(tái)的導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù).該錐臺(tái)橫截面的直徑隨坐標(biāo)x的變化規(guī)律

3、為d=cx(c為常數(shù))。設(shè)錐臺(tái)內(nèi)的導(dǎo)熱為沿x方向的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。試求：a. 通過(guò)錐臺(tái)的熱流量 b. 任意x處的熱流密度解: 錐臺(tái)頂面和底面的溫度已知，錐臺(tái)內(nèi)無(wú)內(nèi)熱源，側(cè)面絕熱，因此錐臺(tái)內(nèi)沿x方向的熱流量為常數(shù)，導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù),可用傅里葉定律直接積分求得。 根據(jù)傅里葉定律 （1）式（1）兩側(cè)分離變量并積分 （2）由于熱流量和導(dǎo)熱系數(shù)均為常數(shù) （3） （4） （5）因此 （6）任意x處的熱流密度 （7）例4一無(wú)限大平壁處于穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，其厚度為，導(dǎo)熱系數(shù)可用線性函數(shù)關(guān)系式=o(1+ct)近似,其中o和c均為常數(shù)，兩側(cè)壁溫各自均布，分別為tw1和tw2，試求通過(guò)該平壁的熱流密度q。解:無(wú)限大平壁兩側(cè)的溫

4、度已知，平壁內(nèi)無(wú)內(nèi)熱源，因此沿與平壁垂直的x方向的熱流量或熱流密度q為常數(shù)，可用傅里葉定律直接積分求得。 根據(jù)傅里葉定律 （1）式（1）兩側(cè)分離變量并積分 （2） (3)因此 （4）例5一導(dǎo)熱系數(shù)為1=1.3 W/(m·K)，厚2 cm的無(wú)限大平壁，外覆蓋一層導(dǎo)熱系數(shù)2=0.35 W/(m·K)的保溫材料以減少熱損失。當(dāng)組合壁的內(nèi)、外表面溫度分別為1300 與30 時(shí)，欲使穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱時(shí)熱損失不超過(guò)1830 W/m2，保溫材料的厚度應(yīng)為多少？解：根據(jù)題意，各層壁內(nèi)無(wú)內(nèi)熱源，因此沿壁厚方向的熱流密度為常數(shù)。因此， m例6已知一半徑為r0的無(wú)限長(zhǎng)圓柱體處于穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，它的導(dǎo)熱系數(shù)為常

5、數(shù)，內(nèi)熱源強(qiáng)度qv為常數(shù)。圓柱體表面溫度均布為tw，試求圓柱體內(nèi)的溫度分布。解:由于這是一種對(duì)于圓柱體中心線的對(duì)稱情況，因此只需求解一半的求解域即可，r坐標(biāo)的原點(diǎn)取圓柱體的中心線。當(dāng)導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)時(shí)，描述該圓柱體內(nèi)穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的微分方程式為 （1）邊界條件：r=0: r=r0: （2）移項(xiàng)式（1） （3）式（3）兩側(cè)積分一次 （4）式（4）兩側(cè)除以r后再積分一次，可得該微分方程式的通解 （5）代入邊界條件 當(dāng)r 0時(shí)，lnr，而圓柱體內(nèi)的實(shí)際溫度是有限的，因此取C1=0時(shí)，該方程的解才符合實(shí)際情況。 （6） (7)常數(shù)C1和C2代入微分方程式的通解式（5）得到圓柱體內(nèi)的溫度表達(dá)式 (8)例7已知

6、一直徑為r0的無(wú)限長(zhǎng)圓柱體處于穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，它的導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)，內(nèi)熱源強(qiáng)度qv為常數(shù)。圓柱體表面浸在流體中。流體的溫度為tf ，液體和圓柱體間的對(duì)流換熱系數(shù)為h。試求圓柱體內(nèi)溫度分布的表達(dá)式。解:根據(jù)題意，幾何條件，物理?xiàng)l件都同上題，可以從上題的公式（5）開(kāi)始。 （5） 和上題，取C1=0并代入圓柱體表面的邊界條件。 （6）上題中式（2）可寫成 (7)因此 （8）常數(shù)C1和C2代入微分方程式的通解式（5）得到圓柱體內(nèi)的溫度表達(dá)式 (9)討論：例題2.6和2.7的幾何條件和物理?xiàng)l件相同，但因邊界條件不同，因此解的形式完全不同。例8直徑為3mm的金屬絲的單位長(zhǎng)度電阻為0.1/m，導(dǎo)熱系數(shù)=19 W/(

7、m·K)，浸在溫度為30 的液體中，液體和金屬絲間的對(duì)流換熱系數(shù)h=5.5 kW/（m2·K）。當(dāng)100 A的電流通過(guò)該金屬絲時(shí)，試求金屬絲的中心溫度。解：根據(jù)能量守恒，電流通過(guò)金屬絲產(chǎn)生的熱量應(yīng)等于金屬絲表面和液體之間的對(duì)流換熱量，因此可列出能量守恒方程I2R=hA(tw - tf) （1）式（1）中代入具體數(shù)值1002×0.1=5500××0.003×1×(tw -30) （2）因此可算得金屬絲表面溫度為 tw=49.3 （3）內(nèi)熱源強(qiáng)度 MW/m3 （4）由解析習(xí)題2.6中式（8）計(jì)算出金屬絲中心(r=0)溫度為 （5

8、）例9蒸汽管道的外直徑為6 cm,管外覆蓋兩層保溫材料：第一層的厚度為1 cm，導(dǎo)熱系數(shù)1=0.14 W/(m·K)；第二層的厚度為2 cm，導(dǎo)熱系數(shù)2=0.042 W/(m·K)。蒸汽管道的外表面溫度tw1=300 , 保溫層外表面溫度為tw3=40 。試求穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱時(shí)兩層保溫材料交界面的溫度tw2。解:多層壁的問(wèn)題，采用熱阻計(jì)算。根據(jù)題意，各層壁內(nèi)無(wú)內(nèi)熱源，因此沿半徑方向的熱流量為常數(shù)。 （1）式（1）中消去 2l，并代入具體數(shù)值， （2）因此可求得兩層保溫材料交界面的溫度 tw2 =240.3 （3）例10已知一內(nèi)外徑分別為r1和r2的圓球壁，它的密度和比熱容c均為常數(shù)

9、，無(wú)內(nèi)熱源。兩側(cè)壁溫各自均布，分別為tw1和tw2。試求圓球壁穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱時(shí)壁內(nèi)溫度分布的表達(dá)式。解：根據(jù)題意，這是一種對(duì)于圓心的對(duì)稱情況， r坐標(biāo)的原點(diǎn)取圓心。當(dāng)導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)時(shí)，描述該圓球壁內(nèi)穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的微分方程式為 （1）邊界條件： r=r1: t=tw1 r=r2: t=tw2 (2)式（1）兩側(cè)積分一次 （3）式（3）兩側(cè)再積分一次，可得該微分方程式的通解 （4）代入邊界條件 (5) (6)式（5）式（6） （7）式（7）代入式（5） （8）常數(shù)C1和C2代入微分方程式的通解式（4）得到壁內(nèi)的溫度表達(dá)式 （9） 例11玻璃液柱式溫度計(jì)插入一焊在氣體管道的鋼制細(xì)長(zhǎng)套管內(nèi)測(cè)定管道內(nèi)的氣體溫度

10、。為了增強(qiáng)溫度計(jì)和套管間的傳熱，減少測(cè)溫誤差，套管內(nèi)灌入機(jī)油。溫度計(jì)的指示溫度為200 ，氣體管道壁溫為80 。鋼制套管長(zhǎng)8 cm,直徑為1.5 cm,壁厚為1 mm，導(dǎo)熱系數(shù)約為40W/(m2·K)。氣體與套管外表面間的對(duì)流換熱系數(shù)為100 W/(m2·K)。試求氣體的實(shí)際溫度。解：若忽略溫度計(jì)和套管底面間的熱阻，溫度計(jì)的指示溫度可視為為套管底面的溫度。忽略溫度計(jì)玻璃柱和機(jī)油的導(dǎo)熱，套管可視為空心等截面直肋。求解時(shí)按絕熱肋端邊界條件加上長(zhǎng)度修正，可簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。 m2 (1) m (2)因此 m-1 (3)mlc=51.73×(0.08+0.015/4)=4.3

11、32 (4)查得 ch(mlc)=ch(4.332)=38.05 (5) (6) (7) (8)討論：由肋片的傳熱分析可知，套管底面的溫度和流體之間會(huì)有溫差，即由于套管的導(dǎo)熱而引起的溫度測(cè)量誤差，增加套管的長(zhǎng)度和適當(dāng)改變m中的幾個(gè)參數(shù)可以降低這一誤差。 例12 某空氣壓縮機(jī)的氣缸套有環(huán)狀的鑄鋁肋片以加強(qiáng)散熱。該肋片厚6 mm，內(nèi)外徑分別為r0 =50 mm和rl =90 mm。肋片根部的溫度為70 ，鑄鋁的導(dǎo)熱系數(shù)=150 W/(m·K)，周圍空氣溫度為20 。由于風(fēng)扇的冷卻，空氣和肋片間的對(duì)流換熱系數(shù)h=60 W/（m2·K）。試求每片肋片的散熱量。解：根據(jù)該肋片的幾何形

12、狀，需要通過(guò)查圖計(jì)算出肋片效率f后才能計(jì)算出散熱量。按照相應(yīng)的圖上的公式計(jì)算如下：lc=l+/2=0.023 m (1)rlc= rl+/2= r0+lc =0.048 m (2) rlc/ro =1.92 (3) Am =lc=1.38×10-4 m2 (4) (5)查圖可得肋片效率 f =0.95 (6)由于每片肋片有上下兩個(gè)表面 =60×2×（0.0482-0.0252）×（7020）=31.65 W (7)因此 =fo=0.95×31.65=30.1 W (8) 例13兩根很長(zhǎng)的直徑為5 mm的鋁條焊在一起。焊接時(shí)周圍空氣溫度為10 ，鋁條與空氣之間的對(duì)流換熱系數(shù)h=15 W/(m2·K)。若焊點(diǎn)處的溫度為250 ，確定焊點(diǎn)處的加熱量。解: 鋁條的導(dǎo)熱系數(shù)取=203.5 W/