比例諧振控制算法分析

1、比例諧振控制算法分析目 錄0前言21 PR控制器22準(zhǔn)PR控制器53準(zhǔn)PR控制器的參數(shù)設(shè)西63. 1 3C= 0, KR變化63. 2 3C變化，KR= 1 64準(zhǔn)PR控制器的離散化7附錄A數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)9A. 1脈沖響應(yīng)不變法9A. 2雙線(xiàn)性變換法10附錄B雙線(xiàn)性變換法原理13B. 1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)H(s)的最基本環(huán)節(jié)13B. 2積分的數(shù)值計(jì)算與離散一階系統(tǒng)13B. 3連續(xù)時(shí)間一階環(huán)節(jié)的離散實(shí)現(xiàn) 14B.4高階連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的離散實(shí)現(xiàn)140前言在整流器和雙饋發(fā)電機(jī)的矢量控制系統(tǒng)中廣泛地采用了坐標(biāo)變換技術(shù)，將三相棘止坐標(biāo) 系下的電流電壓等正弦量轉(zhuǎn)化為同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的直流量，這一方面是為了簡(jiǎn)化系統(tǒng)

2、的模 型，實(shí)現(xiàn)有功功率和和無(wú)功功率的解栩，另一方面是因?yàn)镻I控制器無(wú)法對(duì)正弦量實(shí)現(xiàn)無(wú)俗 差控制.坐標(biāo)變換簡(jiǎn)化了控制系統(tǒng)外環(huán)的設(shè)計(jì)，卻使電流分量互相耦合,造成內(nèi)環(huán)結(jié)構(gòu)復(fù)雜， 設(shè)計(jì)困難。P R控制器可以實(shí)現(xiàn)對(duì)交流輸入的無(wú)棘差控制.將P R控制器用于網(wǎng)側(cè)變換器的控制系統(tǒng) 中、可在兩相靜止坐標(biāo)系下對(duì)電流進(jìn)行調(diào)節(jié).可以簡(jiǎn)先控制過(guò)程中的坐標(biāo)變換，消除兩相錚 止坐標(biāo)系下對(duì)屯流進(jìn)行調(diào)節(jié).可以簡(jiǎn)化控制過(guò)程中的坐標(biāo)變換，消除電流d、q軸分量之間 的耦合關(guān)系，且可以忽略電網(wǎng)電壓對(duì)系統(tǒng)的擾動(dòng)作用.此外，應(yīng)用PR控制器，易于實(shí)現(xiàn)低 次諧波補(bǔ)償，這些都有助于簡(jiǎn)化控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu).1 PR控制器PR控制器，即比例諧振控制器，

3、由比例環(huán)節(jié)和諧振環(huán)節(jié)組成，可對(duì)正弦量實(shí)現(xiàn)無(wú)薛差 控制.理想PR控制器的傳遞函數(shù)如下式所示：心0 +禺式中Kp為比例項(xiàng)系數(shù)，Kr為諧振項(xiàng)系數(shù)，30為諧振頻率.PR控制器中的積分環(huán)節(jié)又稱(chēng) 廣義積分器，可以對(duì)諧振頻率的正弦董進(jìn)行幅值積分.|對(duì)于同頻的輸入信號(hào)Msin(3t+(p)9該環(huán)節(jié)的時(shí)域響應(yīng)分析如下：輸入信號(hào)的拉普拉斯變換為：I；L(Msin(3t+(p) = L(M sin(o)t)cos(p + Mcos(o)t)sin(p) = Mcoscp * 772 + Msin(p * 5721:經(jīng)過(guò)理后的表達(dá)式為：I s2+u>0I:(M8S<P* 応 + Msiny * 馬)* 譌

4、% * M * (coscp * 士祐 + sincp* 船I|/3S sin(p s2-u>211嚴(yán)皿(COS"齊手+氐手+丙制II:分別推導(dǎo)tcosoot. tsiiicot的拉普拉斯變換為(推導(dǎo)見(jiàn)下一頁(yè))：； L(t8S3t) =住為，L(tsiR3t)=(豊2)2；求上式的拉普拉斯反變換為： Kr * M * tsin（3t） +* tcos（3t） + -J-siiriJjoot）I!整理后得：I* （tcostp + sin（3t） + tsintp * cos（3t）由上式可知，當(dāng)(p = 0時(shí)，輸出信號(hào)為竺二* (t)sint)與輸入信號(hào)相位相同，幅值呈時(shí)間線(xiàn)性

5、上升當(dāng)(p = 90時(shí)，輸出信號(hào)為:Kr-M （：（土） sill （cot） + t * COS（3t）當(dāng)時(shí)間稍大時(shí)，該值貼近于8S(3t),從整體看，該諧振器(或稱(chēng)之為廣義積分器)是 對(duì)誤差信號(hào)的按時(shí)間遞增.!觀(guān)察ts in 3t的拉普拉斯變換：|teju>t - teWt! L(tsiiia)t) = L()2八(S_ j3)2(S +j3)1 ( 4jo)s :=訴(兇)- L(te%t) 丄1.2 八(S_j3)2(s + j3)22o)s(s2 + UJ2)2:再觀(guān)察tCOSOJt的拉普拉斯變換1t®3t + te-jwt；L(tcosa)t) = L():=

6、63;(L(tei3t) + L(te-i3t)2 (S - j3)2 +(S + jU)2( s2 U)2(S_j3)2(s + j3)2 s2 U)2如下圖所示.PR控制器中的積分部分二.在諧振頻率點(diǎn)達(dá)到無(wú)窮大的增益，在這個(gè) 頻率點(diǎn)之外幾乎沒(méi)有衰減.因此，為了有選擇地補(bǔ)償諧波，它可以作為一個(gè)直角濾波器Bode Diagram2準(zhǔn)PR控制器如上所述，與PI控制器相比，PR控制器可以達(dá)到容穩(wěn)態(tài)誤差，提高有選擇地抗電網(wǎng)電 壓干擾的能力.但是在實(shí)際系統(tǒng)應(yīng)用中，PR控制器的實(shí)現(xiàn)存在兩個(gè)主要問(wèn)題： 由于模擬系統(tǒng)元器件奏數(shù)精度和數(shù)字系統(tǒng)粘度的限制，PR控制器不易實(shí)現(xiàn) PR控制器在非基頻處增益非常小，當(dāng)電

7、網(wǎng)頻率產(chǎn)生偏移時(shí)，就無(wú)法有效抑制電網(wǎng) 產(chǎn)生的諧波。因此，在PR的基礎(chǔ)上，提出了一種易于實(shí)現(xiàn)的汽PR控制器，既可以保持PR控制器的 高增益，同時(shí)還可以有效減小電網(wǎng)頻率偏移對(duì)逆變器輸出電感電流的影響“準(zhǔn)PR控制器傳遞函數(shù)為：G(s) = Kp +嚴(yán)7 P s2+2wcs+u)5控制器波特圖如下圖所示，從圖中所示，控制器在基波頻率處的幅頻特性為 A(3o) = 6OdB.同時(shí)相用裕度為無(wú)窮大，因此基衣可以實(shí)現(xiàn)家穩(wěn)態(tài)誤差，同時(shí)具有很好的穩(wěn) 態(tài)裕度和暫態(tài)性能.3準(zhǔn)PR控制器的參數(shù)設(shè)置由此可見(jiàn)，除了比例系數(shù)外，準(zhǔn)PR控制器主要有Kr、3c兩個(gè)券數(shù).為了分析每個(gè)參數(shù)對(duì)控制器的影響，可先假設(shè)其余參數(shù)不變，然后

8、觀(guān)察這個(gè)參數(shù)變化時(shí)間對(duì)系統(tǒng)性能的彫響.3. 1 3C = 0, Kr 變化控制器傳遞函數(shù)的波特圖如下圖所示，從圖中可以看出，Kr參數(shù)增大時(shí)，控制器的峰 值増益也增大，而控制器的帶寬卻沒(méi)有變化.因此&券數(shù)和控制器的峰值增益成正比.001Bode DiagramC9epnMUFs§§450-45 1- aeHaseud1 o102Frequency (Hz)1033. 2 變化，Kr = i2Kr33G (j3)=由下圖可知，參數(shù)3C不僅影響控制器的增益，同時(shí)還影響控制器截止頻率的帶寬。隨 著3,的增加、控制器的增益和帶寬都會(huì)增加（基頻增益為Kr不變）.將S= j3代入

9、傳遞函數(shù)， 則有：_0)2 + 23訂3+3彳l+j(G)2U)Q)/2wcCa)根據(jù)對(duì)帶寬的定義，|G（j3）| =Kr/運(yùn)時(shí)，此時(shí)計(jì)算得到的兩個(gè)頻率之差即為帶寬。令匕二迪=1,經(jīng)過(guò)計(jì)算得到準(zhǔn)諧振控制器的帶寬為：u）c/nHz. 2u）c（o設(shè)電網(wǎng)電壓頻率允許波動(dòng)范國(guó)為土 0. 8Hz,則有以=1.6Hz,即3c = 5Hz0Bode Diagram叫50(HP) epnpudBz(Gap) s£4準(zhǔn)PR控制器的離散化模擬控制器的離散化有兩種方式，分別為脈沖響應(yīng)不變法與雙線(xiàn)性變換法，此處釆用脈 沖響應(yīng)不變法對(duì)其進(jìn)行離散化PR控制器的數(shù)字實(shí)現(xiàn)方法主要有兩種，分別是采用Z算符和釆用6算

10、符對(duì)其進(jìn)行離散化G(s) = 7s2 + 2u)cs + u)Q=2Kr3cS4u)q-2u>c+4<0-4u>g2Kr u)cs2Kr(a)(S(S + wC- JcOf-Wo s + wf + JwJ-wJj AB(s+3e_j3*_3*)Jv 中 A = Kr 3c將上式通過(guò)脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)成z變換,AZBZ設(shè)(H- 3t+ 3”3 芻 TG 7_(3廠(chǎng)嚴(yán)-3耳,則:G/Z>_A_ B = (A+B)-(ADBC)z7I)l-z" 十 l-z-1D _ l-(C+D)z"I+CDz2設(shè)Y=GX,則轉(zhuǎn)成差分函數(shù)后，該式可表達(dá)成:y(n) = (C

11、 + D)y(n - 1) - CDy(n - 2) + (A+ B)x(n) (AD BC)x(n 一 1)其中:附錄A數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)通常利用模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法來(lái)設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器.其設(shè)計(jì)的過(guò)程是：先根 據(jù)技術(shù)指標(biāo)要求設(shè)計(jì)出一個(gè)相應(yīng)的模擬低通濾波器，得到模擬低通濾波器的傳遞函數(shù)比(s), 然后再按照一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系將設(shè)計(jì)好的模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)轉(zhuǎn)換成為數(shù)字濾波器 的系統(tǒng)函數(shù)H(z)轉(zhuǎn)換方法有兩種：脈沖響應(yīng)不變法和雙線(xiàn)性映射法.利用模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，就是從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù)H,s)設(shè)計(jì)數(shù)字濾 波器傳遞函數(shù)H(z),這是一個(gè)由s平而到z平而的映射變換，這種映射變換

12、應(yīng)遵循兩個(gè)基本 原則：1. H的頻響要能模仿Hg的頻響，即S平面的虛軸應(yīng)能映射到Z平面的單位圓3 上2. Ha(s)的因果穩(wěn)定性映射到H后保持不變，即S平面從左半平面Re(s) < 0映射到 Z平面的單位圓內(nèi)|z| < 1A. 1脈沖響應(yīng)不變法利用模擬濾波器理論設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，也就是使得數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的特性, 這種模仿可從不同角度出發(fā).脈沖響應(yīng)不變法就是從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器 的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)模仿模擬濾波器的沖擊響應(yīng)虬(t),使h(n)正好等于h't)的采樣值, 即：h(n) = ha(nT)T為釆樣周期.如以比和H(z)分別表示虬的拉氏

13、變換及h(n)的z變換，即：Ha(s) = Lha(t), H(z) = Zh(n)按照采樣序列z變換及模擬信號(hào)拉氏變換的關(guān)系，得：H lz=e = iZS=-ooHa(s + jm)上式表明，采用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器時(shí)，它所完成的s平面 到z平面的變換，正是以前討論的拉氏變換到z變換的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系，即首先對(duì)比(s)作周 期延拓，然后再經(jīng)過(guò)z=e燈的映射關(guān)系映射到z平面上.z = csT的映射關(guān)系表明，s平面上每一條2ir/T6勺橫帶部分，都將重疊地映射到Z平而 的全部平面上每個(gè)橫帶在左半部分映射到Z平面單位圓以?xún)?nèi)，每個(gè)橫帶的右半部分映射到z平面單位圓以外，jn軸映射在單

14、位圓上，但jQ軸上每一段2tt/T都對(duì)應(yīng)于繞單位圓一周.如 下圖所示，相應(yīng)的頻率變換關(guān)系為：3 = QT,顯然3與Q之間為線(xiàn)性關(guān)系.(其中3為數(shù)字 域頻率；Q為模擬域頻率)應(yīng)當(dāng)指出，z = esT的映射關(guān)系反映的是Hjs)的周期延拓與H(z)的關(guān)系，而不是H&(s)木 身與H(z)的關(guān)系，因此，在使用脈沖響應(yīng)不變法時(shí)，從H,s)到H(z)并沒(méi)有一個(gè)由S平面到 Z平面的簡(jiǎn)單代數(shù)映射關(guān)系，即沒(méi)有一個(gè)s = f(z)的代數(shù)關(guān)系式。另外，數(shù)字濾波器的頻響也不是簡(jiǎn)單地重現(xiàn)模擬濾波器的頻響應(yīng)，而是模擬濾波器頻響 的周期延拓，周期為仏=辛=2此即H(3)=訖亂Ha (jO + j 響)=|ES=-o

15、o 比(j)根據(jù)香農(nóng)釆樣定律，如果模擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率Qs/2以?xún)?nèi)，即Ha(jQ) = 0,|G|>u/T這時(shí)，數(shù)字濾波器的頻響才能不失真地重現(xiàn)模擬濾波器的頻響(在折疊頻率以?xún)?nèi)) 班3)= *比(耳),|3|<兀但任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器，其頻響應(yīng)都不可能是真正帶限的，因此不可避免地存在 頻譜的交疊，即頻譜混淆，這時(shí)數(shù)字濾波器的頻響將不同于原模擬濾波器的頻響而帶來(lái)一定 的失真.模擬濾波器頻響在折疊頻率以上衰減越大，失真則越小，這時(shí)采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì) 的數(shù)字濾波器才能有良好的效果。A. 2雙線(xiàn)性變換法脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是頻譜交疊產(chǎn)生的混淆，這是從s平而到z平面的標(biāo)

16、準(zhǔn)變換 z = e的多值對(duì)應(yīng)關(guān)系導(dǎo)致的，為了克服這一抉點(diǎn)，設(shè)想變換分為兩步：1. 將整個(gè)S平面壓縮到S1平面的一條橫帶2. 通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變換將此橫帶變換到整個(gè)Z平面上去由此建立的S平面與Z平面一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值性，也就消除了混淆現(xiàn)象" 為了將S平面的jD軸壓縮到S1平面的jQ軸上的-¥半一段上，可通過(guò)以下正切變換實(shí)現(xiàn)：此處C是待定系數(shù)，通常取C-2/K用不同的方法確定C,可使模擬濾波器的頻率特性 與數(shù)字濾波器的頻率特性在不同的頻率點(diǎn)有對(duì)應(yīng)關(guān)系.經(jīng)過(guò)這樣的頻率變換、當(dāng)fl在一半訐殳變彳匕時(shí).Q在一88辛殳變動(dòng)，映射了整個(gè)jfi軸.將這一解析關(guān)系延拓到整個(gè)S平面，即得到

17、S平面-S1平面的映射關(guān)系:eiH1-北1L-小 丁再將S1平面通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變換映射到Z平面，即令:最后得到S平而到Z平面的單值映射關(guān)系。=>稱(chēng)為雙線(xiàn)性變換雙線(xiàn)性變換法的主要優(yōu)點(diǎn)是不存在頻率混迭.由于S平面與Z平而一一單值對(duì)應(yīng)，S平 面的虛軸(整個(gè)jfl)對(duì)應(yīng)于Z平面單位圓的一周，S平面的Q = 0對(duì)應(yīng)于Z平面的3 = 0;Q = 8 對(duì)應(yīng)于Z平面的3=m 即數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)終止于折疊頻率處，所以雙線(xiàn)性變換不存 在頻譜混迭效應(yīng).靠頻率的嚴(yán)重非線(xiàn)性關(guān)系得到s平面與z平而的單值一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，整個(gè)jQ軸單值對(duì)應(yīng) 于單位圓一周，這個(gè)頻率關(guān)系是Q = Otg(),其中3和Q為非線(xiàn)性關(guān)系.從左圖可以

18、看出，在0頻率附 近，3和Q接近于線(xiàn)性關(guān)系，當(dāng)Q進(jìn) 一步增加時(shí)，3增長(zhǎng)變得緩慢.當(dāng) Q -> oo時(shí)，3 = m 3終止于折疊頻 率處.所以雙線(xiàn)性變換不會(huì)出現(xiàn)由 于高頻部分超過(guò)折疊頻率而混淆低 頻部分的現(xiàn)象正由于3和Q之間的非線(xiàn)性關(guān)圖3.5雙線(xiàn)性變換的頻率非線(xiàn)性關(guān)系系導(dǎo)致數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對(duì)于模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有畸變。例如一個(gè)模擬微分器，它的幅度與頻率是線(xiàn)性關(guān)系，妲是通過(guò)雙線(xiàn)性變換后，不可能得到數(shù)字微分器。若：H(jQ) = kH + b, J8'H(eiw) = H(Jft)|fl=tg- = k* tgy + b另外，一個(gè)線(xiàn)性相位的模擬濾波器經(jīng)過(guò)雙線(xiàn)性變換后，濾波器不再

19、有線(xiàn)性相位特征雖 然雙線(xiàn)性變換有這樣的缺點(diǎn)，但它目前仍是使用最普遍，最有成效的一種設(shè)計(jì)工具.這是因 為大多數(shù)濾波器都有分段常數(shù)的頻響特性，如低通、高通、帶通和帶阻等，他們?cè)谕◣?nèi)要 求一個(gè)衰減為0的常數(shù)特性，在阻帶部分要求逼近一個(gè)衰減為8的常書(shū)特性，這種特性的濾 波器經(jīng)過(guò)雙線(xiàn)性變換后，雖然頻率發(fā)生了非線(xiàn)性變化，但其幅頻特性仍保持分段常數(shù)的特性例如，一個(gè)考爾型的模擬濾波器H?(s),雙線(xiàn)性變換后.得到的H(z)在通帶與阻帶內(nèi)都 保持原模擬濾波器相同的起伏特性，只有通帶裁止頻率過(guò)渡帶的邊緣頻率以及起伏的峰點(diǎn)、八a一rAfc一谷點(diǎn)頻率等臨界頻率點(diǎn)發(fā)生了非線(xiàn) 性變化，這種頻率點(diǎn)的畸變可通過(guò) 預(yù)畸來(lái)加以校正。即將模擬濾波器 的臨界頻率事先加以畸變，通過(guò)雙 線(xiàn)性變換后正好映射到所需要的數(shù) 字頻率上0圖36雙線(xiàn)性變換時(shí)頻率的預(yù)畸附錄B雙線(xiàn)性變換法原理B. 1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)H(s)的最基本環(huán)節(jié)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)H(s)的極點(diǎn)有兩種情況；單重極點(diǎn)、和多重極點(diǎn)。但是一個(gè)多重極點(diǎn)環(huán)節(jié)可以看成由多個(gè)單重極點(diǎn)環(huán)節(jié)級(jí)聯(lián)構(gòu)成，例如對(duì)二重極點(diǎn)有:H(s)=A(_p)2 s-p s-p因此，可以將一階環(huán)節(jié)看成是構(gòu)成H(s)的最基本環(huán)節(jié)。它對(duì)應(yīng)于一階微分方程。響py(t) = Kx(t)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示。若要將該系