西南交通大學(xué)數(shù)值分析題庫

1、考試目標(biāo)及考試大綱本題庫的編纂目的旨在給出多套試題，每套試題的考查范圍及難度配置均基于“水平測試”原則，按照教學(xué)大綱和教學(xué)內(nèi)容的要求，通過對每套試題的解答，可以客觀公正的評定出學(xué)生對本課程理論體系和應(yīng)用方法等主要內(nèi)容的掌握水平。通過它可以有效鑒別和分離不同層次的學(xué)習(xí)水平，從而可以對學(xué)生的學(xué)習(xí)成績給出客觀的綜合評定結(jié)果。本題庫力求作到能夠較為全面的覆蓋教學(xué)內(nèi)容，同時(shí)突顯對重點(diǎn)概念、重點(diǎn)內(nèi)容和重要方法的考查。考試內(nèi)容包括以下部分：緒論與誤差：絕對誤差與相對誤差、有效數(shù)字、誤差傳播分析的全微分法、相對誤差估計(jì)的條件數(shù)方法、數(shù)值運(yùn)算的若干原則、數(shù)值穩(wěn)定的算法、常用數(shù)值穩(wěn)定技術(shù)。非線性方程求解：方程的近

2、似解之二分法、迭代法全局收斂性和局部收斂定理、迭代法誤差的事前估計(jì)法和事后估計(jì)法、迭代過程的收斂速度、r 階收斂定理、Aitken加速法、Newton法與弦截法、牛頓局部收斂性、Newton收斂的充分條件、單雙點(diǎn)割線法（弦截法）、重根加速收斂法。解線性方程組的直接法：高斯消元法極其充分條件、全主元消去法、列主元消去法、高斯-若當(dāng)消元法、 求逆陣、各種消元運(yùn)算的數(shù)量級估計(jì)與比較、矩陣三角分解法、Doolittle和Crout三角分解的充分條件、分解法的手工操作、平方根法、Cholesky分解、改進(jìn)的平方根法(免去開方)、可追趕的充分條件及適用范圍、計(jì)算復(fù)雜性比較、嚴(yán)格對角占優(yōu)陣。解線性方程組迭代

3、法：向量和矩陣的范數(shù)、常用向量范數(shù)的計(jì)算、范數(shù)的等價(jià)性、矩陣的相容范數(shù)、誘導(dǎo)范數(shù)、常用范數(shù)的計(jì)算；方程組的性態(tài)和條件數(shù)、基于條件數(shù)誤差估計(jì)與迭代精度改善方法；雅可比（Jacobi）迭代法、Gauss-Seidel迭代法、迭代收斂與譜半徑的關(guān)系、譜判別法、基于范數(shù)的迭代判斂法和誤差估計(jì)、迭代法誤差的事前估計(jì)法和事后估計(jì)法；嚴(yán)格對角占優(yōu)陣迭代收斂的有關(guān)結(jié)論；松弛法及其迭代判斂法。插值法：插值問題和插值法概念、插值多項(xiàng)式的存在性和唯一性、插值余項(xiàng)定理；Lagrange插值多項(xiàng)式；差商的概念和性質(zhì)、差商與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系、差商表的計(jì)算、牛頓（Newton）插值多項(xiàng)式；差分、差分表、等距節(jié)點(diǎn)插值公式；He

4、rmite插值及其插值基函數(shù)、誤差估計(jì)、插值龍格（Runge）現(xiàn)象；分段線性插值、分段拋物插值、分段插值的余項(xiàng)及收斂性和穩(wěn)定性；樣條曲線與樣條函數(shù)、三次樣條插值函數(shù)的三轉(zhuǎn)角法和三彎矩法。曲線擬合和函數(shù)逼近：最小二乘法原理和多項(xiàng)式擬合、函數(shù)線性無關(guān)概念、法方程有唯一解的條件、一般最小二乘法問題、最小二乘擬合函數(shù)定理、可化為線性擬合問題的常見函數(shù)類；正交多項(xiàng)式曲線擬合、離散正交多項(xiàng)式的三項(xiàng)遞推法。最佳一致逼近問題、最佳一致逼近多項(xiàng)式、切比雪夫多項(xiàng)式、切比雪夫最小偏差定理、切比雪夫多項(xiàng)式的應(yīng)用(插值余項(xiàng)近似極小化、多項(xiàng)式降冪)。本段加黑斜體內(nèi)容理論推導(dǎo)可以淡化，但概念需要理解。數(shù)值積分與微分：求積公

5、式代數(shù)精度、代數(shù)精度的簡單判法、插值型求積公式、插值型求積公式的代數(shù)精度；牛頓一柯特斯(Newton-Cotes)公式、辛卜生（Simpson）公式、幾種低價(jià)牛頓一柯特斯求積公式的余項(xiàng)；牛頓一柯特斯公式的和收斂性、復(fù)化梯形公式及其截?cái)嗾`差、復(fù)化Simpson公式及其截?cái)嗾`差、龍貝格（Romberg）求積法、外推加速法、高斯型求積公式、插值型求積公式的最高代數(shù)精度、高斯點(diǎn)的充分必要條件。正交多項(xiàng)式的構(gòu)造方法、高斯公式權(quán)系數(shù)的建立、Gauss-Legendre公式的節(jié)點(diǎn)和系數(shù)。本段加黑斜體內(nèi)容理論推導(dǎo)可以淡化，但概念需要理解。常微分方程數(shù)值解：常微分方程初值問題數(shù)值解法之歐拉及其改進(jìn)法、龍格庫塔法

6、、阿當(dāng)姆斯方法。本套題庫均采用閉卷考試，卷面總分為100分。試題形式分為判別正誤、多項(xiàng)選擇、填空、解答和證明等多種題型。其中判斷題、多項(xiàng)選擇題和填空題覆蓋整個(gè)內(nèi)容范圍，題量多而廣，重點(diǎn)集中在基本概念、公式和方法的構(gòu)建與處理思想等方面，此類題型主要用于考查學(xué)生對整體內(nèi)容的理解與掌握情況；解答題重點(diǎn)放在主要的計(jì)算技術(shù)和方法的具體實(shí)現(xiàn)過程，主要考查學(xué)生對主要計(jì)算技術(shù)、技巧和方法理解與掌握情況；證明題主要集中在主要的計(jì)算技術(shù)和方法的分析過程，主要考查學(xué)生的理論分析能力和知識的綜合運(yùn)用能力。本課程的考試方法與要求：期末閉卷考試，按時(shí)完成上機(jī)習(xí)題。學(xué)習(xí)合格條件：考試卷面成績³60且上機(jī)習(xí)題符合要

7、求，二者缺一不可。綜合成績：原則上=卷面成績，但可參考上機(jī)習(xí)題完成情況作微調(diào)。1 緒論(1). 要使的近似值的相對誤差限£0.1%, 應(yīng)至少取_4_位有效數(shù)字。0.4´10, a1=4, er£´10-(n-1)< 0.1% ，故可取n³4, 即4位有效數(shù)字。(2). 要使的近似值的相對誤差限£0.1%, 應(yīng)至少取_4_位有效數(shù)字,此時(shí)的絕對誤差限為 (3). 設(shè)y=f (x1,x2) 若x1,x2,的近似值分別為x1*, x2*,令y*=f(x1*,x2*)作為y的近似值,其絕對誤差限的估計(jì)式為: e £| |f(x

8、1*,x2*)|x1-x*1|+ |f(x1*,x2*)|x2-x*2|(4). 計(jì)算 f=(-1)6 , 取1.4 , 利用下列算式，那個(gè)得到的結(jié)果最好？答：_C_.(A) , (B) (3-2)2, (C) , (D) 99-70(5). 要使的近似值的相對誤差限£0.1%, 應(yīng)至少取_位有效數(shù)字？0.4´10, a1=4, er£´10-(n-1)< 0.1%故可取n³3.097, 即4位有效數(shù)字。(6). 設(shè)x=3.214, y=3.213，欲計(jì)算u=, 請給出一個(gè)精度較高的算式u=. u=(7). 設(shè)x=3.214, y=3.2

9、13，欲計(jì)算u=, 請給出一個(gè)精度較高的算式u= . u=(8). 設(shè)y=f (x1,x2) 若x1,x2,的近似值分別為x1*, x2*,令y*=f(x1*,x2*)作為y的近似值,其絕對誤差限的估計(jì)式為: e £| |f(x1*,x2*)|x1-x*1|+ |f(x1*,x2*)|x2-x*2|； 2 方程根(9). 設(shè)迭代函數(shù)j(x)在x*鄰近有r（³1）階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且x* = j(x*)，并且有j(k)(x*)=0 (k=1,r-1)，但j(r) (x*)¹0，則xn+1=j(xn)產(chǎn)生的序列 xn 的收斂階數(shù)為_r_(10). 稱序列xn是p 階收斂的如

10、果(11). 用牛頓法求 f(x)=0 的n重根，為了提高收斂速度，通常轉(zhuǎn)化為求另一函數(shù)u(x)=0的單根，u(x)=(12). 用Newton法求方程f(x)=x3+10x-20=0 的根，取初值x0= 1.5, 則x1= _ 解 x1=1.5970149(13). 用牛頓法解方程的迭代格式為_解 (14). 迭代過程收斂的充分條件是 £ 1._(15). 用Newton法求方程f(x)=x3+10x-20=0 的根，取初值x0= 1.5, 則x1= 1.5970149(16). 用牛頓法解方程的迭代格式為_(17). 用Newton法求方程f(x)=x3+10x-20=0 的根，

11、取初值x0= 1.5, 則x1= _ 解 x1=1.5970149(18). 迭代公式xk+1=xk(xk2+3a)/(3xk2+a)是求a1/2的 (12) 階方法3方程組(19). 矩陣的 LU 分解中L是一個(gè) _為單位下三角陣，而U是一個(gè)上三角陣_。(20). 設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣為A=,全主元消元法的第一次可選的主元素為 -8，或8_，第二次可選的主元素為 8+7/8或-8-7/8 _. 列主元消元法的第一次主元素為 _8_；第二次主元素為(用小數(shù)表示) 7.5_; (21). 在方陣A的LU分解中, 方陣A的所有順序主子不為零,是方陣A能進(jìn)行LU分解的充 分 (充分,必要)條件；嚴(yán)

12、格行對角占優(yōu)陣 能_(能,不能)進(jìn)行LU分解；非奇異矩陣_不一定_(一定，不一定)能進(jìn)行LU分解。(22). 設(shè)A是正定矩陣，則A的cholesky的分解 唯一 (唯一,不唯一).(23). 設(shè)，為使A可分解為A=LLT，其中L是對角線元素為正的下三角形矩陣，則a的取值范圍是 ，取a=1，則L= 。(24). 解 ，改進(jìn)的方法不會4迭代(1). ，則 ， ， ；答：4，3.6180340，5；(2). 已知方程組，則解此方程組的Jacobi迭代法_是_收斂（填“是”或“不”）。(3). 給定方程組記此方程組的Jacobi迭代矩陣為BJ=(aij)3´3，則a23= -1； , 且 相

13、應(yīng)的Jacobi迭代序列是_發(fā)散_的。(4). 設(shè)，則關(guān)于的 1 , (5). ，則(6). Rn 上的兩個(gè)范數(shù)|x|p, |x|q等價(jià)指的是_$C,DÎR,_C_|x|q _£|x|p£D |x|q _； Rn 上的兩個(gè)范數(shù)_一定_是等價(jià)的。（選填“一定”或“不一定”）。(7). ，則 19 ,13_，_12 ；(8). 已知方程組，則解此方程組的Jacobi迭代法_收斂（填“收斂”或“發(fā)散”），(9). 則 ， ， 解 (10). 已知方程組，則解此方程組的Jacobi迭代法_收斂（填“是”或“不”）， 解 （3）因的Jacobi迭代矩陣，故Jacobi迭代是

14、收斂的，(11). 已知方程組，其雅可比法的迭代矩陣是_，高斯-塞德爾法的迭代格式是_； 解 (12). 已知方程組，則解此方程組的Jacobi迭代法_收斂（填“是”或“不”），解 因的Jacobi迭代矩陣，故Jacobi迭代是收斂的，(13). 已知方程組，其雅可比法的迭代矩陣是_，高斯-塞德爾法的迭代格式是_； 解 (14). ，要使，a應(yīng)滿足_；解 (15). 則 ， ， 。，則 ， 。解 。 (16). 設(shè)若,則矩陣A的1-范數(shù) 4 ，cond1(A)= 16 。(17). 如果線性方程組用Jacobi迭代法，其迭代矩陣滿足。如果用Gauss-Seidel迭代法解此線性方程組，則方法

15、一定 (一定,不一定)收斂(18). 設(shè) ，則 2 (19). ，則 ， ， ；答案：（1）19，13，12；(20). 方程組用超松馳法求解時(shí)，迭代矩陣為,要使迭代法收斂，條件0<w<2是 必要條件 (充分條件、必要條件、充要條件)；如果是正定矩陣，用超松馳法求解，方法收斂當(dāng)且僅當(dāng)w在區(qū)間 (0,2) 時(shí)。(21). 給定方程組，其Jacobi迭代格式的迭代矩陣為 當(dāng) <1 時(shí)，Jacobi迭代格式收斂；其Gauss-Seidel迭代格式的迭代矩陣為 ，當(dāng) <1 時(shí)Gauss-Seideli迭代格式收斂。(22). 已知方程組，則解此方程組的Jacobi迭代法_是_收

16、斂（填“是”或“不”）(23). 已知,則_6_ ，_7_ , A的譜半徑(24). （1）.設(shè)，則關(guān)于的 1 , , 。(25). 則 ， ， 解 (26). 已知方程組，其雅可比法的迭代矩陣是_，高斯-塞德爾法的迭代格式是_； 解 設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣為A=,列主元消元法的第一次主元素為 (13) ；第二次主元素為(用小數(shù)表示) (14) ; 記此方程組的高斯-塞德爾迭代矩陣為BG=(aij)4´4，則a23= (15) , . (13) -8 ; (14) 7 .5; (15) -17/4;(27).5插值(28). 在等式中, 系數(shù)ak與函數(shù)f(x)有 關(guān)。（限填“有”或“

17、無”）(29). 設(shè)lk(x)是關(guān)于互異節(jié)點(diǎn)x0, x1, xn, 的Lagrange 插值基函數(shù)，則 º0 m=1,2,n(30). 用個(gè)不同節(jié)點(diǎn)作不超過次的多項(xiàng)式插值，分別采用Lagrange插值方法與Newton插值方法所得多項(xiàng)式 (相等, 不相等)。(31). 函數(shù) 與函數(shù)中,是三次樣條函數(shù)的函數(shù)是 _f_ ，另一函數(shù)不是三次樣條函數(shù)的理由是 _二階導(dǎo)不連續(xù)_ 。a) 設(shè)Pk(xk,yk) , k=1,2,5 為函數(shù)y=x2-3x+1上的5個(gè)互異的點(diǎn)，過P1,P5且次數(shù)不超過4次的插值多項(xiàng)式是 x2-3x+1 。 函數(shù) 與函數(shù)中,是三次樣條函數(shù)的函數(shù)是 ，另一函數(shù)不是三次樣條

18、函數(shù)的理由是 不滿足具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 。(32). 令f(x)=ax7+ x4+3x+1, 則f20, 21,27= a ；f20, 21,28= 0(33). 設(shè) (i=0,1,n)，則 _x_ , 這里（xi¹xj,i¹j, n³2）。(34). 牛頓插商與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系式為：(35). 設(shè)x0, x1,x2是區(qū)間a, b上的互異節(jié)點(diǎn)，f(x)在a, b上具有各階導(dǎo)數(shù)，過該組節(jié)點(diǎn)的2次插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為： R2(x)= (36). 在等式中, 系數(shù)ak與函數(shù)f(x)_ 無_關(guān). (37). 高次插值容易產(chǎn)生_龍格（Runge）現(xiàn)象。(38).(39). 設(shè)Pk

19、(xk,yk) , k=1,2,5 為函數(shù)y=x2-3x+1上的5個(gè)互異的點(diǎn)，過P1,P5且次數(shù)不超過4次的插值多項(xiàng)式是 _ x2-3x+1_ 。(40). 令f(x)=x7+ x4+3x+1, 則f20, 21,28 =_0_(41). 確定n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù)所需條件個(gè)數(shù)至少需要_4n_個(gè)(42). 若 f (x) 充 分 光 滑， 若2 n+1 次 多 項(xiàng) 式 H2n+1(x) 滿 足H2n+1(xi)= f (xi), ,則稱H2n+1(x)是f (x)的 _ _ Hermite插值_多項(xiàng)式，且余項(xiàng)R（x）=f (x)H2n+1(x)= _；(43). 設(shè)Pk(xk,yk) ,

20、k=1,2,5 為函數(shù)y=x2-3x+1上的5個(gè)互異的點(diǎn)，過P1,P5且次數(shù)不超過4次的插值多項(xiàng)式是 _ 。解 （4）y=x2-3x+1(44). 用個(gè)作不超過次的多項(xiàng)值插值，分別采用Lagrange插值方法與Newton插值方法所得多項(xiàng)式 相等 (相等, 不相等)6擬合(1). 采用正交多項(xiàng)式擬合可避免最小二乘或最佳平方逼近中常見的 _法方程組病態(tài)_問題。(2). 試確定0,1區(qū)間上2x3的不超過二次的最佳一致逼近多項(xiàng)式p(x), 該多項(xiàng)式唯一否？答： p(x)=(3/2)x, ; 唯一。(3). 設(shè)f(x)ÎCa,b， f(x)的最佳一致逼近多項(xiàng)式是_一定_存在的。(4). 在函

21、數(shù)的最佳一致逼近問題中,評價(jià)逼近程度的指標(biāo)用的是函數(shù)的 (10) 范數(shù),在函數(shù)的最佳平方逼近問題中,評價(jià)逼近程度的指標(biāo)用的是函數(shù)的 (11) 范數(shù). 無窮范數(shù)； |f|¥；2-范數(shù)(5). 若j0(x), j1(x), jn(x)是a,b上的正交族。為f(x)的最佳平方逼近。系數(shù)ak=(6). 在函數(shù)的最佳一致逼近問題中,評價(jià)逼近程度的指標(biāo)用的是函數(shù)的 無窮 范數(shù). 在函數(shù)的最佳平方逼近問題中,評價(jià)逼近程度的指標(biāo)用的是函數(shù)的 2 范數(shù). (無窮范數(shù)；2-范數(shù)，1-范數(shù))(7). 設(shè)f(x)=2x4在-1,1上的不超過3次最佳一致逼近多項(xiàng)式P(x)= 2x2-1/4 。(8). 采用正

22、交多項(xiàng)式擬合可避免最小二乘或最佳平方逼近中常見的 (9) 問題.(9). 在函數(shù)的最佳一致逼近問題中,評價(jià)逼近程度的指標(biāo)用的是函數(shù)的 (10) 范數(shù). (10). 函數(shù)的最佳平方逼近問題中,評價(jià)逼近程度的指標(biāo)用的是函數(shù)的 (11) 范數(shù).(11). 函數(shù)f(x)=|x| 在-1,1的，次數(shù)不超過一次的最佳平方逼近多項(xiàng)式是 。 7積分(45). Gauss型求積公式不是 插值型求積公式。（限填“是”或“不是”）(46). n個(gè)不同節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精度一定會超過n-1 次(47). 設(shè)稱為柯特斯系數(shù) 則=_1_(48). 為辛卜生（Simpson）公式具有_3_次代數(shù)精度。(49). 2

23、n階Newton-Cotes公式至少具有2n+1次代數(shù)精度。(50). 設(shè)公式 為插值型求積公式， 則, 且=b-a(51). n個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精度不會超過2n1次。(52). Gauss點(diǎn)與積分區(qū)間_無關(guān)_但與被積函數(shù)_有關(guān)。(53). 當(dāng)常數(shù)A= ，B= ， 時(shí)，數(shù)值積分公式是Gauss型積分公式(54). Simpsons數(shù)值求積公式具有 _3_次代數(shù)精度，用于計(jì)算所產(chǎn)生的誤差值為_；(55). 形如的插值型求積公式，其代數(shù)精度至少可達(dá)到_n_階，至多可達(dá)到_2n+1_階；(56). 勒讓德（Legendre）多項(xiàng)式是區(qū)間_-1,1_上，帶權(quán)_1_正交的正交多項(xiàng) (3) 用

24、梯形公式計(jì)算積分 9.219524E-003:此值比實(shí)際值 小 (大,小)(57). 用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分,要把區(qū)間0,1一般要等分 41 份才能保證滿足誤差小于0.00005的要求（這里）；如果知道，則用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分此實(shí)際值 大 (大，小)。(58). 若用復(fù)化梯形求積公式計(jì)算積分 區(qū)間應(yīng)分 2129 等分，即要計(jì)算個(gè) 2130 點(diǎn)的函數(shù)值才能使截?cái)嗾`差不超過；若改用復(fù)化Simpson公式，要達(dá)到同樣精度區(qū)間應(yīng)分12 等分，即要計(jì)算個(gè) 25 點(diǎn)的函數(shù)值。(59). Simpsons數(shù)值求積公式具有 _3_次代數(shù)精度，用于計(jì)算所產(chǎn)生的誤差值為_；(60). 形如的插值型求積公式，其代

25、數(shù)精度至少可達(dá)到_n_階，至多可達(dá)到_2n+1_階；(61). 若用復(fù)化梯形求積公式計(jì)算積分 區(qū)間應(yīng)分 2129 等分，即要計(jì)算個(gè) 2130 點(diǎn)的函數(shù)值才能使截?cái)嗾`差不超過；若改用復(fù)化Simpson公式，要達(dá)到同樣精度區(qū)間應(yīng)分12 等分，即要計(jì)算個(gè) 25 點(diǎn)的函數(shù)值(62). 在以為內(nèi)積的空間C0,1中，與非零常數(shù)正交的最高項(xiàng)系數(shù)為1的一次多項(xiàng)式是 。(63). Simpsons數(shù)值求積公式具有 _次代數(shù)精度，用于計(jì)算所產(chǎn)生的誤差值為_；(64). 形如的插值型求積公式，其代數(shù)精度至少可達(dá)到_階，至多可達(dá)到_階；8微分方程(25). 歐拉預(yù)報(bào)-校正公式求解初值問題的迭代格式(步長為h) ，此方

26、法是 階方法。，此方法是 2 階方法。(26). 稱微分方程的某種數(shù)值解法為p階方法指的是其局部截?cái)嗾`差為O(hp+1)。 (27). 求解微分方程數(shù)值解的Euler法的絕對穩(wěn)定區(qū)間是_(-2,0)_。(28). 歐拉預(yù)報(bào)-校正公式求解初值問題 ,如取步長h=0.1,計(jì)算y(0.1)的近似值為 0.005000 ,此方法是 2 階方法(29). （1）當(dāng) ， 時(shí)，下述形式的RK公式為二階公式 (30). 歐拉預(yù)報(bào)-校正公式求解初值問題的迭代格式(步長為h) ，此方法是 2 階方法。(31). 用Euler方法解初值問題 的近似解的最終表達(dá)式 (取步長)；當(dāng)時(shí)， 。題庫分類填空題1. 緒論部分(

27、32). 設(shè)x=3.214, y=3.213，欲計(jì)算u=, 請給出一個(gè)精度較高的算式u= . u=(33). 設(shè)y=f (x1,x2) 若x1,x2,的近似值分別為x1*, x2*,令y*=f(x1*,x2*)作為y的近似值,其絕對誤差限的估計(jì)式為: e £| |f(x1*,x2*)|x1-x*1|+ |f(x1*,x2*)|x2-x*2|(34). 要使的近似值的相對誤差限£0.1%, 應(yīng)至少取_位有效數(shù)字？0.4´10, a1=4, er£´10-(n-1)< 0.1%故可取n³4, 即4位有效數(shù)字。(35). 要使的近似值

28、的相對誤差限£0.1%, 應(yīng)至少取_位有效數(shù)字？0.4´10, a1=4, er£´10-(n-1)< 0.1%故可取n³3.097, 即4位有效數(shù)字。(36). 對于積分In=e-1xnexdx試給出一種數(shù)值穩(wěn)定的遞推公式_。In-1=(1-In)/n , In»0易知 I0=1-e-1In=1-nIn-1 故In-1=(1-In)/n0<In£1/(n+1)®0 (n®¥)取In»0選擇填空(37). 計(jì)算 f=(-1)6 , 取1.4 , 利用下列算式，那個(gè)得到的結(jié)果

29、最好？(C)(A) , (B) (3-2)2,(C) , (D) 99-702. 方程的根(1). 用Newton法求方程f(x)=x3+10x-20=0 的根，取初值x0= 1.5, 則x1= (3) x1=1.5970149(2). 迭代公式xk+1=xk(xk2+3a)/(3xk2+a)是求a1/2的 (12) 階方法(3).3. 方程組直接解法4. 迭代解法(1). 設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣為A=,全主元消元法的第一次可選的主元素為 (13) ，第二次可選的主元素為 (14) .列主元消元法的第一次主元素為 (15) ；第二次主元素為(用小數(shù)表示) (16) ; 記此方程組的高斯-塞德爾

30、迭代矩陣為BG=(aij)4´4，則a23= (17) ； -8，或8； 8+7/8或-8-7/8； -8； 7 .5；第 1 章 插值§1. 填空(1). 設(shè)Pk(xk,yk) , k=1,2,5 為函數(shù)y=x2-3x+1上的5個(gè)互異的點(diǎn)，過P1,P5且次數(shù)不超過4次的插值多項(xiàng)式是 _ 。y=x2-3x+1(2). 設(shè)x0, x1,x3是區(qū)間a, b上的互異節(jié)點(diǎn)，f(x)在a, b上具有各階導(dǎo)數(shù)，過該組節(jié)點(diǎn)的2次插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為： _ . R2(x)= (3). 設(shè) (i=0,1,n)，則 _ , 這里（xi¹xj,i¹j, n³2）。x(

31、4). 三次樣條插值與一般分段3次多項(xiàng)式插值的區(qū)別是_ 三次樣條連續(xù)且光滑，一般分段3次連續(xù)不一定光滑。(5). 插值多項(xiàng)式與最小二乘擬合多項(xiàng)式都是對某個(gè)函數(shù)f(x)的一種逼近，二者的側(cè)重點(diǎn)分別為 _ 。用個(gè)作不超過次的多項(xiàng)值插值，分別采用Lagrange插值方法與Newton插值方法所得多項(xiàng)式 相等 (相等, 不相等)(6).§2. 計(jì)算題(1). (a10分)依據(jù)下列函數(shù)值表，建立不超過3次的lagrange 插值多項(xiàng)式L3(x).x0123f(x)19233解：基函數(shù)分別為l0(x)=-x3+x2-x+1l1(x)=l2(x)=l2(x)=Lagrange 插值多項(xiàng)式L3(x)

32、= =.(2). (b10分)已知由插值節(jié)點(diǎn)(0,0),(0.5,y),(1,3)和(2,2)構(gòu)造的3次插值多項(xiàng)式P3(x)的x3的系數(shù)為6，試確定數(shù)據(jù)y.解：P3(x)故最高次項(xiàng)系數(shù)為 帶入數(shù)值解得y=4.25.(3). (c15分)設(shè)lk(x)是關(guān)于互異節(jié)點(diǎn)x0, x1, xn, 的Lagrange 插值基函數(shù)，證明證明：其中，wn+1(x)=故當(dāng)0£j£n時(shí)， =xj, 當(dāng)j=n+1時(shí)，xn+1=將x=0帶入ok!(4). (c10分)設(shè)lk(x)是關(guān)于互異節(jié)點(diǎn)x0, x1, xn, 的Lagrange 插值基函數(shù)，證明是n次多項(xiàng)式，且最高次系數(shù)為x0+ xn,證：查

33、-5分注意余項(xiàng)=xn+1-wn+1(x) -5分ok!(5). (c10分)設(shè)函數(shù)f(x)是k次多項(xiàng)式，對于互異節(jié)點(diǎn)x1, xn,， 證明當(dāng)n>k時(shí)，差商f x, x1,xnº0，當(dāng)n£k時(shí)，該差商是k-n次多項(xiàng)式。證明：因注意到n>k時(shí)， f(n)(x)=0，n=k時(shí)， f(n)(x)=k!ak，ak為f(x)的k次項(xiàng)系數(shù)。(7f)n£k-1 由差分定義遞推,查n=k-1,k-2, (3f)ok!(6). (c10分)設(shè)g(x)和h(x)分別是f(x)關(guān)于互異節(jié)點(diǎn)x1, xn-1以及互異節(jié)點(diǎn)x2, xn的插值多項(xiàng)式，試用g(x)和h(x)表示f(x)

34、關(guān)于互異節(jié)點(diǎn)x1, xn的插值多項(xiàng)式.解：令q(x)=Ag(x)(x-xn)+Bh(x)(x-x1)為待定n次多項(xiàng)式，A,B為待定系數(shù)，注意到g(xk)=f(xk), k=1,n-1h(xk)=f(xk), k=2,n -(7f)帶入得A=1/x1-xn,B=1/xn-x1,帶入ok!(7). (a10f)設(shè)lk(x)是關(guān)于互異節(jié)點(diǎn)x0, x1, xn, 的Lagrange 插值基函數(shù)，證明(1) m=0,1,n(2) º0 m=1,2,n證明：由插值唯一性定理知(1)。展開知（2）(8). (a10f)證明對于不超過k次的多項(xiàng)式p(x)有 k£nlk(x)是關(guān)于互異節(jié)點(diǎn)x

35、0, x1, xn, 的Lagrange 插值基函數(shù)證明：由插值唯一性定理知。(9). (a10f)設(shè)p(x)是任意首次項(xiàng)系數(shù)為1的n+1次多項(xiàng)式，lk(x)是關(guān)于互異節(jié)點(diǎn)x0, x1, xn, 的Lagrange 插值基函數(shù)證明 其中證明：插值余項(xiàng)直接計(jì)算ok!(10). (a10f)已知函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，記xk=x0+kh (k=1,2,n), 證明證明：因 xÎ(x0,x0+nh)注意到n階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性，兩邊取極限ok!(11). (c10f)用等節(jié)距分段二次插值函數(shù)在區(qū)間0,1上近似函數(shù)ex, 如何估算節(jié)點(diǎn)數(shù)目使插值誤差£´1

36、0-6 .解：考慮子區(qū)間xi-1,xi二次插值余項(xiàng)令x=xi+1/2+s(h/2)上式化簡為令 得h£0.028413故子區(qū)間個(gè)數(shù)為N=2/h»70.4, 取N=71故插值節(jié)點(diǎn)數(shù)為2N+1=143 (12). (b10分)設(shè)f(x) 在區(qū)間a,b上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，P1(x)為其以a,b為節(jié)點(diǎn)的一次插值多項(xiàng)式，證明證明：利用插值余項(xiàng)結(jié)果可得線性插值多項(xiàng)式P1(x)在子區(qū)間a,b上的余項(xiàng)估計(jì)式，再估計(jì)最值ok!(13). (b10分)已知s(x)是0,2上的已知自然邊界條件的三次樣條函數(shù)，試確定s(x)=中的參數(shù)b,c,d解：利用邊界條件s/(2-0)=0 及樣條函數(shù)定義可得b

37、=-1,c=-3,d=1(14). (b10分)判斷下面2個(gè)函數(shù)是否是-1,1上以0為內(nèi)節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù)。設(shè)(1) S(x)=(2) S(x)= 解：(1)是，(2)否。(15). (a10f)令f(x)=x7+ x4+3x+1求f20, 21,27及f20, 21,28解：f20, 21,27=1f20, 21,28=0(16). (a10f)證明n階均差有下列性質(zhì)：(1) 若F(x)=cf(x), 則Fx0, x1,xn=c fx0, x1,xn(2) 若F(x)=f(x)+g(x), 則Fx0, x1,xn= fx0, x1,xn+ gx0, x1,xn證明：其中，ak=ok!(17)

38、. (a10f)回答下列問題：（1）什么叫樣條函數(shù)？（2）確定n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù)所需條件個(gè)數(shù)至少需要多少？（3） 三轉(zhuǎn)角法中參數(shù)mi的數(shù)學(xué)意義是什么？答：（1）略（2）4n個(gè)（3） mi=S/(xi) 即樣條函數(shù)在節(jié)點(diǎn)xi處的一階導(dǎo)數(shù)。(18). (a10f)回答下列問題：（1）何謂Hermite 插值問題？（2）Hermite 插值與一般多項(xiàng)式插值有什么區(qū)別？第 2 章 擬合(1). 采用正交多項(xiàng)式擬合可避免最小二乘或最佳平方逼近中常見的 (9) 問題.(2). 在函數(shù)的最佳一致逼近問題中,評價(jià)逼近程度的指標(biāo)用的是函數(shù)的 (10) 范數(shù). 在函數(shù)的最佳平方逼近問題中,評價(jià)逼近程度的指

39、標(biāo)用的是函數(shù)的 (11) 范數(shù). 無窮范數(shù) |f|¥；2-范數(shù)(3).§3. 計(jì)算題(1). (b10f)設(shè)f(x)Î-a,a的最佳一致逼近多項(xiàng)式為P(x),試證明(1) f(x)是偶函數(shù)時(shí)P(x)也是偶函數(shù)；(2) f(x)是奇函數(shù)時(shí)P(x) 也是奇函數(shù)。證明：（1）令t=-x, 考查|f(x)-P(x)|= |f(-t)-P(-t)|= |f(t)-P(-t)|, 故P(-x)也是f(x)Î-a,a的最佳一致逼近多項(xiàng)式，由最佳一致逼近多項(xiàng)式的唯一性知P(-x)=P(x).（2）略。(2). (a10f)試確定0,1區(qū)間上2x3的不超過二次的最佳一致逼

40、近多項(xiàng)式p(x), 該多項(xiàng)式唯一否？解： p(x)=(3/2)x, 唯一。(3). 求f(x)=2x3+x2+2x-1在-1,1上的最佳二次逼近多項(xiàng)式P(x)。已知T0(x)=cos0=1T1(x)=cosq=xT2(x)=cos2q=2x2-1T3(x)=cos3q=4x3-3xT4(x)=cos4q=8x4-8x2+1解: f(x)=2x3+x2+2x-1-P(x)=2.T3(x)= T3(x)故P(x)= f(x)-T3(x)= 2x3+x2+2x-1-2 x3+3x = x2+x-1(4). 求f(x)=2x4在-1,1上的3次最佳一致逼近多項(xiàng)式P(x)。已知T0(x)=cos0=1T

41、1(x)=cosq=xT2(x)=cos2q=2x2-1T3(x)=cos3q=4x3-3xT4(x)=cos4q=8x4-8x2+1解：P(x)= 2x2-1/4(5). 求f(x)=2x4在0,2上的3次最佳一致逼近多項(xiàng)式P(x)。已知T0(x)=cos0=1T1(x)=cosq=xT2(x)=cos2q=2x2-1T3(x)=cos3q=4x3-3xT4(x)=cos4q=8x4-8x2+1解：令x=t+1, tÎ-1,1, f(x)=g(t)=(t+1)4故g(t)的3次最佳一致逼近多項(xiàng)式為P3(t)=4t3+7t2+4t+7/8故f(x)的3次最佳一致逼近多項(xiàng)式為P(x)=

42、P3(x-1)= 4x3-5x2+2x-1/8(6). 設(shè)f(x)ÎCa,b, ,證明f(x)的最佳零次一致逼近函數(shù)為s(x)=(M+m)/2 ,其中M和m分別為f(x)在a,b上的最大與最小值。(7). 證明a,b上的正交函數(shù)系H=h1(x), h2(x), hm(x)是線性無關(guān)的函數(shù)系。證：寫出線性組合式子 2分作內(nèi)積求系數(shù)2分(8). （10分）求f(x)=lnx ,xÎ1,2上的二次最佳平方逼近多項(xiàng)式的法(正規(guī))方程組。（要求精確表示，即不使用小數(shù)）解：取F=span1,x,x2,a,b=1,2 法方程組為 計(jì)算知解之得：a0=-1.142989, a1=1.382

43、756,a2=-0.233507最佳平方逼近多項(xiàng)式為P2(x)=-1.42+1.38x-0.233x2平方誤差為|f-P2|22=(f,f)-a0(f,j0) a1(f,j1) a2(f,j2)»0.4´10-5 (9). 設(shè)f(x)在有限維內(nèi)積空間Fspanj0,jn上的最佳平方逼近為p(x),試證明，f(x)-p(x)與F中所有函數(shù)正交。證明：查(f(x)-p(x), jj)=(f, jj)- (p(x), jj)注意到ak是法方程組的解。而法方程組兩邊的j-th 分量為 (jj,j0) (jj,j1) (jj,jn) =(p(x), jj)ok!(10). 設(shè)是在空間

44、Fspanj0,jn中對f(x)ÎCa,b的最佳平方逼近,證明：(f-p, f-p)=(f,f)- 證：注意到ak是法方程組的解。而法方程組故"k=1,n, (f(x)-p(x), jk)=0, -(5分)(p-f),p)=0 -(5分)(f-p, f-p)=(f,f)-2(f,p)+(p,p)=(f,f)-(f,p)+(p-f),p)=(f,f)-(f,p) -(5分)(11). 求下列矛盾方程組的最小二乘解解：x1=-29/12, x2=-39/12寫出相應(yīng)的法方程組ATAx=ATb 5分求解x1=-29/12, x2=-39/12 5分(12). 推導(dǎo)用最小二乘法解矛

45、盾方程組Ax=b 的法方程組ATAx=ATb解：給出目標(biāo)函數(shù)h (x)=|Ax-b|2 -5=xTATAx-2xTATb+bTb -5求偏導(dǎo)得到駐點(diǎn)方程組ATAx-ATb=0 -5(13). 證明：j0,jn為點(diǎn)集ximi=1上的線性無關(guān)族Û法方程GTGa=GTy有唯一解。其中證：充分性）。首先注意到若a0,a1,.,an為方程組a0j0+a1j1+anjn=0 （9）的解，則必為方程組(j0,j0) a0+ (j1,j0)a1 +(jn,j0)an=0(j0,j1) a0+ (j1,j1)a1 +(jn,j1)an=0.(j0,jn) a0+ (j1,jn)a1 +(jn,jn)a

46、n=0(10)的解。事實(shí)上，令j0, j1,jn 分別與(9)兩端作內(nèi)積得(10)，知也！設(shè)|GTG|¹0Þ（10）僅有0解Þ(9) 也僅有0解故j0,jn無關(guān)。證必要性）。 j0,jn無關(guān)Þ (9)僅有0解 即 "a =(a0,a1,.,an)¹0ÞGa¹0ÞaTGTGa=(Ga)T(Ga)=|Ga|22>0ÞGTG正定Þ|GTG|>0|GTG|¹0.(14). 若j0(x), j1(x), jn(x)是點(diǎn)集x1,x2,xm上的離散正交族。為給定數(shù)據(jù)對(xi,y

47、i) (i =1,2,m)的最小二乘擬和函數(shù)。證明：證：法方程系數(shù)矩陣為QTQ= 此時(shí)法方程為故(15). 若j0(x), j1(x), jn(x)是a,b上的正交族。為f(x)的最佳平方逼近。證明：證：法方程系數(shù)矩陣為QTQ= 此時(shí)法方程為故(16). 求函數(shù)f(x)=|x| 在-1,1上求關(guān)于函數(shù)族span1,x2,x4的最佳平方逼近多項(xiàng)式。解：由內(nèi)積(f,g)= , 令j0=1，j1=x2, j2=x4, 計(jì)算知法方程得 解之得：a0=15/185=0.117a1=105/64=1.64a2=-105/128=-0.820最佳平方逼近多項(xiàng)式為: 0.117+1.64x2-0.820x4(

48、17). 求函數(shù)f(x)= 在1,3上求關(guān)于函數(shù)族span1,x的最佳平方逼近多項(xiàng)式。解：由內(nèi)積(f,g)= , 令j0=1，j1=x, 計(jì)算法方程得解之得：a0=(13/2)ln3-6=1.14a1=3-3ln3=0.295最佳平方逼近多項(xiàng)式為: 1.14-0.295x(18). 求a,b,c的值，使達(dá)到最小解：就是求f(x)=sinx關(guān)于函數(shù)族span1,x,x2 在0,p上的最佳平方逼近。由內(nèi)積(f,g)= , 令j0=1，j1=x, j2=x2 計(jì)算知法方程為解之得：a0=-14/p, a1=72/p2, a2=-60/p3(19). 求a,b,c的值，使達(dá)到最小解：由唯一性知，a=0

49、,b=0,c=3(20). 什么是非線性最小二乘擬合問題？(21). 回答下列問題：（1） 求解線性最小二乘問題遇到的主要困難是什么？（2） 用離散正交多項(xiàng)式進(jìn)行擬合的主要優(yōu)點(diǎn)是什么？(22). 回答下列問題：（1） 什么叫最佳多項(xiàng)式平方逼近？（2） 什么叫最佳多項(xiàng)式一致逼近？(23). 回答下列問題：（1） 最佳平方逼近多項(xiàng)式與最小二乘擬合多項(xiàng)式在計(jì)算方法上有何相似之處？（2） 二者區(qū)別是什么？(24).5. 數(shù)值積分6. 微分方程數(shù)值解答案 (2). (3). 插值節(jié)點(diǎn)函數(shù)值相等最小二乘擬和乃綜合偏差最小。(4). 法方程組病態(tài)(5). (6). (7). 3(8). (9). -17/4

50、正誤題(1). ( Ö ) 線性方程組的條件數(shù)與其解法無關(guān)。(2). (Ö ) 設(shè)A 為可逆矩陣，a Î R 則 cond (a A) = cond (A) 。(3). (Ö ) Rn 上一切向量范數(shù)都等價(jià)。(4). (Ö ) 矩陣A的譜半徑不超過|A|1 。 (5). (´) 在等式中, 系數(shù)ak與函數(shù)f(x)有關(guān)。(6). ( ´ ) 說微分方程初值問題的數(shù)值方法是p階的，指的是其局部截?cái)嗾`差是與hp同階的無窮小,其中h為步長。(7). ( ´ ) Gauss點(diǎn)與積分區(qū)間無關(guān)但與被積函數(shù)有關(guān)。(8). ( &#

51、214; ) 微分方程初值問題的Euler方法第一步的局部截?cái)嗾`差等于第一步的整體截?cái)嗾`差。1. （1）.設(shè)，則關(guān)于的 1 , , 。(2) 設(shè)A是正定矩陣，則A的cholesky的分解 唯一 (唯一,不唯一)(3) 用梯形公式計(jì)算積分 9.219524E-003:此值比實(shí)際值 小 (大,小)(4) 用Euler方法解初值問題 的近似解的最終表達(dá)式 (取步長)；當(dāng)時(shí)， 。 (5) 令f(x)=3x7+ x4+3x+1, 則f20, 21,27= 3 ；f20, 21,28= (5) 在以為內(nèi)積的空間C0,1中，與非零常數(shù)正交的一次多項(xiàng)式是 例4-2 證明在0,1內(nèi)有一個(gè)根，使用二分法求誤差不大于的根要迭代多少次？ 解答 設(shè)，則；又因，故在0，1上單減，因此f(x)在0,1上有且僅有一個(gè)根。 使用二分法時(shí)，誤差限（按例4-1的編號方式）