7-2全微分方程ppt課件

1、微分方程微分方程1全微分方程 第二節(jié)第二節(jié) 第七章 一、全微分方程及其求法一、全微分方程及其求法1.1.定義定義: :0),(),( dyyxQdxyxP則則dyyxQdxyxPyxdu),(),(),( 若有全微分形式若有全微分形式例如例如, 0 ydyxdx),(21),(22yxyxu 全微分方程全微分方程或恰當(dāng)方程或恰當(dāng)方程,),(ydyxdxyxdu 所以是全微分方程所以是全微分方程.xQyP 全微分方程全微分方程2微分方程微分方程2.2.解法解法: :0),(),( dyyxQdxyxP應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān)應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān).xQyP 通解為通解為 yyxxdyyxQxdyx

2、Pyxu00),(),(),(0,),(),(000 xdyxPdyyxQxxyy ;),(Cyxu 用直接湊用直接湊全微分的方法全微分的方法.全微分方程全微分方程3微分方程微分方程.0)3()3(2323的的通通解解求求方方程程 dyyxydxxyx解解,6xQxyyP 是全微分方程是全微分方程, yxdyyxdxyxyxu03023)3(),(.42344224Cyyxx 原方程的通解為原方程的通解為,42344224yyxx 例例1 14微分方程微分方程例例2. 求解求解0d1d)(2yxxxyx解解:21xyP 這是一個全微分方程這是一個全微分方程 .用湊微分法求通解用湊微分法求通解.

3、將方程改寫為將方程改寫為0ddd2xxyyxxx即即, 0d21d2xyx故原方程的通解為故原方程的通解為021d2xyx或或Cxyx221,xQ機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 5微分方程微分方程觀察法觀察法: :憑觀察湊微分得到憑觀察湊微分得到),(yx 常見的全微分表達(dá)式常見的全微分表達(dá)式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xydyxydxxdyarctan22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln21226微分方程微分方程二、積分因子法二、積分因子法思考思考: 如何解方程如何解方

4、程?0dd)(3yxxyx這不是一個全微分方程這不是一個全微分方程 ,12x就化成例就化成例2 的方程的方程 .,0),(yx使使0d),(),(d),(),(yyxQyxxyxPyx為全微分方程為全微分方程,),(yx則稱在簡單情況下在簡單情況下, 可憑觀察和經(jīng)驗根據(jù)微分倒推式得到可憑觀察和經(jīng)驗根據(jù)微分倒推式得到為原方程的積分因子為原方程的積分因子.但若在方程兩邊同乘但若在方程兩邊同乘0d),(d),(yyxQxyxP若存在連續(xù)可微函數(shù)若存在連續(xù)可微函數(shù) 積分因子積分因子.例例2 2 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 7微分方程微分方程常用的積分因子有常用的積分因子有.,1,

5、1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx 8微分方程微分方程例例3. 求解求解0d)1(d)1(yxyxxyyx解解: 分項組合得分項組合得)dd(yxxy即即0)dd()(d22yyxxyxyx選擇積分因子選擇積分因子,),(221yxyx同乘方程兩邊同乘方程兩邊 , 得得0dd)()d(2yyxxyxyx即即0)lnd()lnd(1dyxyx因此通解為因此通解為,lnln1Cyxyx即即yxeCyx1因因 x = 0 也是方程的解也是方程的解 , 故故 C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) . 0)dd(yxxyyx機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 9微分方程微分方

6、程.0)1(222的通解的通解 dyyxdxyxx解解將方程左端重新組合將方程左端重新組合,有有例例4 求微分方程求微分方程, 02222 dyyxdxyxxxdx, 0)()(2222 dyyxxdyxxd, 0)()(222 yxdyxxd原方程的通解為原方程的通解為.)(322322Cyxx 10微分方程微分方程.132的的通通解解求求微微分分方方程程xyxxdxdy 解解1整理得整理得,112xyxdxdy A A 常數(shù)變易法常數(shù)變易法: :B B 公式法公式法: :.4343Cxxxyy 通解為通解為.1xCy 對對應(yīng)應(yīng)齊齊方方通通解解.1)(xxCy 設(shè)設(shè).43)(43CxxxC

7、,11211Cdxexeydxxdxx 例例511微分方程微分方程解解2 2整理得整理得, 0)1()(32 dyxdxyxx,1xQyP .是全微分方程是全微分方程A A 用曲線積分用曲線積分法法: :,)(),(0032 yxdydxyxxyxuB B 湊微分法湊微分法: :, 0)(32 dxxdxxydxxdydy，043)(43 xdxdxyddy. 0)43(43 xxxyyd12微分方程微分方程一階微分方程小結(jié)一階微分方程小結(jié)分離變量法分離變量法常數(shù)變易法常數(shù)變易法全微分方程全微分方程一階微分方程一階微分方程13微分方程微分方程思考題思考題方程方程0324223 dyyxydxy

8、x是否為全微分方程？是否為全微分方程？14微分方程微分方程思考題解答思考題解答 32yxyyP,64yx 4223yxyxxQ,64yx xQyP 原方程是全微分方程原方程是全微分方程.15微分方程微分方程一、一、 判別下列方程中哪些是全微分方程判別下列方程中哪些是全微分方程, ,并求全微分方并求全微分方程的通解程的通解: :1 1、0)2( dyyxedxeyy；2 2、0)(22 xydydxyx；3 3、02)1(22 dede. .二、二、 利用觀察法求出下列方程的積分因子利用觀察法求出下列方程的積分因子, ,并求其通并求其通解解: :1 1、02 xdxyxdyydx；2 2、dxy

9、xydyxdx)(22 ； 3 3、0)1()1( xdyxyydxxy. .練練 習(xí)習(xí) 題題16微分方程微分方程三、三、 驗證驗證)()(1xygxyfxy 是微分方程是微分方程 0)()( dyxyxgdxxyyf的積分因子的積分因子, ,并求方程并求方程0)22()2(2222 dyyxxdxyxy的通解的通解 . .四、四、 已知已知21)0( f, ,試確定試確定)(xf, ,使使0)()( dyxfydxxfex為全微分方程為全微分方程, ,并求此并求此全微分方程的通解全微分方程的通解 . .17微分方程微分方程練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、Cyxey 2； 2 2、不是全微分方程；、不是全微分方程；