不定積分定義實(shí)用教案

1、 要解決這些實(shí)際問題，自然會(huì)想到微分運(yùn)算(yn sun)的逆運(yùn)算(yn sun)，這就是產(chǎn)生積分運(yùn)算(yn sun)的原因。 提出這樣(zhyng)的逆問題，是因?yàn)樗嬖谟谠S多實(shí)際的問題中，例如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲線上每一點(diǎn)處的切線斜率（或斜率所滿足的某一規(guī)律），求曲線方程等等。 回顧: 微分學(xué)的基本問題是“已知一個(gè)(y )函數(shù), 如何求它的導(dǎo)數(shù).” 那么, 如果已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 要求原來的函數(shù), 這類問題, 是微分法的逆問題. 這就產(chǎn)生了積分學(xué). 第1頁/共29頁第一頁，共30頁。 為了更好地理解積分運(yùn)算(yn sun)是導(dǎo)數(shù)（微分）運(yùn)算(yn sun)的逆運(yùn)算(y

2、n sun)，我們在介紹積分運(yùn)算(yn sun)時(shí)，把乘方運(yùn)算(yn sun)（開方）和它作比較：我們熟悉乘方(chngfng)運(yùn)算：) 1 (823也熟悉(shx)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算： )1 (22xx于是提出新問題： )2(8?3 )2(2?x同樣提出問題：這不是乘方運(yùn)算，而是它的逆運(yùn)算開方運(yùn)算。這不是求導(dǎo)運(yùn)算，而是它的逆運(yùn)算積分運(yùn)算。一般來說，在下式里 )3(3ba)3()()(xfxF同樣，在下式里,3,3ababbababaab若已知， 未知，由則稱（ ）式為乘方運(yùn)算，稱 為 的立方。若已知， 未知，由則稱（ ）式為開方運(yùn)算，稱 為 的立方根。( )( )( )( ),3 ( )( )( )(

3、 )( )( ),3 ( )( )F xf xF xf xf xF xf xF xf xF xF xf x若已知，未知，由則稱（） 式為求導(dǎo)運(yùn)算，稱為的導(dǎo)數(shù)。若已知，未知，由則稱（） 式為積分運(yùn)算，稱為的原函數(shù)。第2頁/共29頁第二頁，共30頁。 通過(tnggu)上面的比較，對積分運(yùn)算與原函數(shù)有了初步認(rèn)識(shí)，以下先給出原函數(shù)與不定積分的有關(guān)的定義。一、原函數(shù)與不定積分定定義義( ) ,If xxI 對對于于定定義義在在區(qū)區(qū)間間 上上的的函函數(shù)數(shù)若若對對)()( xfxF 有有 ( ) ( ) F xf xI則則稱稱是是在在 區(qū)區(qū)間間上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)1例例 xxcossin sin

4、cos (,)xx 是是的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù) xx1ln 1ln (0,)xx是是的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)第3頁/共29頁第三頁，共30頁。這樣就給我們提出了問題：原函數(shù)存在的條件？原函數(shù)有多少個(gè)？這些原函數(shù)之間有何關(guān)系(gun x)？如何求出這些原函數(shù)？例如例如(lr) 而而在在 上上 是是 的原函數(shù)的原函數(shù)(,) sinxcos xsin1,sin3xx也是它的原函數(shù)也是它的原函數(shù)即即 加任意加任意(rny)常數(shù)都是常數(shù)都是 的原函數(shù)的原函數(shù).sinxcos xsin1,sin2xx第4頁/共29頁第四頁，共30頁。原原函函數(shù)數(shù)存存在在定定理理2例2)(xxfCR,31)(3xxF)(

5、)(xfxF (1)如果f(x)在某區(qū)間上存在原函數(shù)，那么原函數(shù)不是(b shi)唯一的,且有無窮多個(gè)),()( xfxF若)()( xfCxF則的原函數(shù)，是即若 )( )( xfxF. )( 亦是則CxF 若函數(shù)(hnsh)(x)在區(qū)間I上連續(xù), 則(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)(hnsh)一定存在.第5頁/共29頁第五頁，共30頁。 (2) 若函數(shù) f (x) 在區(qū)間 I 上存在原函數(shù)，則其任意(rny)兩個(gè)原函數(shù)只差一個(gè)常數(shù)項(xiàng).)()(),()( xfxGxfxF設(shè))()(xFxG)()(xFxG0,)()(CxFxGCxFxG)()( 即:結(jié)結(jié)論論),()( xfxF若原函數(shù)都可用的則 )(

6、 xf. )(表示CxF第6頁/共29頁第六頁，共30頁。( )( ),f x dxf x 表表示示函函數(shù)數(shù)的的原原: :函函數(shù)數(shù)的的全全體體定定義義則稱則稱( )f x dx 的的不不定定積積分分為為 )( xf即號號分分積積數(shù)數(shù)函函積積被被被積表達(dá)式被積表達(dá)式項(xiàng)項(xiàng)數(shù)數(shù)常常 dxxf)(積積分分變變量量CxF )(第7頁/共29頁第七頁，共30頁。3例例dxx 5求求解解,)6(56xx 665xdxx 4例例dxx 211求求解解 211arctanxx xdxxarctan112C C 第8頁/共29頁第八頁，共30頁。5例dxx1求解解 , 0 )ln(, 0 lnlnxxxxx當(dāng)當(dāng)1

7、dln (0).xxCxx所所以以)0( lnd1 xCxxx .1)(ln0 xxx 時(shí)，有當(dāng)時(shí)，當(dāng)0 xx )ln(有x1x)() 1(1x,1x)0( )ln(d1 xCxxx第9頁/共29頁第九頁，共30頁。(1) ( )d ( ) d( )d( )df xx f xf xxf xx或或，(2) ( )d( ) d ( )( )F xxF xCF xF xC或或，微分微分(wi fn)(wi fn)運(yùn)算與積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算運(yùn)算與積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算. . 不定積分不定積分(b dn j fn)(b dn j fn)與微分與微分的關(guān)系的關(guān)系先積后微形式(xngsh)不變先微后積差一常數(shù)第1

8、0頁/共29頁第十頁，共30頁。6例.tanseclnsec成立驗(yàn)證等式Cxxxdx解解.是左端的被積函數(shù)即可的導(dǎo)數(shù)只要驗(yàn)證等式右端函數(shù)依據(jù)不定積分的定義，時(shí)，由于）當(dāng)（0tansecxx )tanln(secxx)tanln(sec1xx)sectan(sec2xxx,secx.所以，已給等式成立.0tansec給等式成立時(shí)，類似地可以驗(yàn)證已）當(dāng)（xx.立綜上所述，已給等式成第11頁/共29頁第十一頁，共30頁。7例),2 , 1 (已知某曲線過點(diǎn)處切線點(diǎn)其上),(yx的兩倍，的斜率為x求其方程)( xfy 設(shè)曲線方程則由題意知xxf2)()(xfdxx22xxy0C解解),2 , 1 (曲

9、線過點(diǎn)又,12C1C即. 12 xy故所求曲線為第12頁/共29頁第十二頁，共30頁。 函數(shù)f (x)的原函數(shù)圖形稱為f (x)的積分曲線,不定積分表示(biosh)的不是一個(gè)原函數(shù),而是無窮多個(gè)(全部)原函數(shù),通常說成一族函數(shù),反映在幾何上則是一族曲線,這族曲線稱為f (x)的積分曲線族. 在相同(xin tn)的橫坐標(biāo)處,所有積分曲線的斜率均為k,因此,在每一條積分曲線上,以x為橫坐標(biāo)的點(diǎn)處的切線彼此平行（如圖）.f (x)為積分曲線在(x, f (x)處的切線斜率.不定積分不定積分(b dn j fn)(b dn j fn)的幾何的幾何意義意義第13頁/共29頁第十三頁，共30頁。 21

10、d2所所以以 yx xxC (2,3) 1 C 把把代代入入上上述述方方程程，得得，練習(xí)設(shè)曲線通過點(diǎn)(2,3),且其上任一點(diǎn)的切線斜率等于這點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求此曲線方程.解 設(shè)所求的曲線方程為 ,依題意(t y)可知( ) yf x ，yx因此所求曲線(qxin)的方程為21.2xy第14頁/共29頁第十四頁，共30頁。 二、基本二、基本(jbn)(jbn)積分積分公式公式(6) sin dcosxxxC (1) d kxkxCd(3) ln|.xxCx(5) d.eexxxC1(2) d (1).1xxxC (4) d.lnxxxCaaa第15頁/共29頁第十五頁，共30頁。22d(8) csc

11、 d cot .sinxxxxCx (10) sec tan dsec .xxxxC(7) cos dsin .xxxC22d(9) sec dtan .cosxxxxCx(11) csc cot dcsc .xxxxC 21(12) darcsin .1xxCx21(13) darctan.1xxCx第16頁/共29頁第十六頁，共30頁。Cxdxx11dxxx 2 求求8例解解9例解解dxxx 31 求求dxxx 2dxx 25125125 x.7227Cx dxxx 31dxx 27127127 x.5225Cx C C 第17頁/共29頁第十七頁，共30頁。dxedxxxxx22,113

12、）（）求（解10例dxxx31) 1 (dxx34Cx1343411Cx313dxexx2)2(Cexx 2ln2 dxex)2()2ln()2(eex C 練習(xí)：dxexx2 求 dxaxCaax ln第18頁/共29頁第十八頁，共30頁。 三、不定積分三、不定積分(b dn j fn)(b dn j fn)的運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)2 2 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以(ky)(ky)移到移到積分積分號的前面號的前面. .性質(zhì)性質(zhì)1 1可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)(hnsh)(hnsh)的的情形，即情形，即性質(zhì)性質(zhì)1 函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于

13、不定積分的代數(shù)和，函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于不定積分的代數(shù)和，即即 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf dxxkf)()2(.)( dxxfk)0 ( k常數(shù)常數(shù)dxxfxfxfn)()()(21.)()()(21dxxfdxxfdxxfn注意：不定積分沒有積和商的運(yùn)算法則。第19頁/共29頁第十九頁，共30頁。xxgxxf xxgxxf )d( )d()d()d(，)()( =xgxf證 只要(zhyo)證明上式右端的導(dǎo)數(shù)等于左端的被積函數(shù) 即可.由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則以及不定積分與微分的關(guān)系，有這說明 是函數(shù) 的不定積分，所以欲證的等式成立.xxgxxf)d()d( )()(xg

14、xf性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)1 (xngzh)1 函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于不定積函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于不定積分的代數(shù)和，即分的代數(shù)和，即 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf第20頁/共29頁第二十頁，共30頁。例例11 求求32543)d .(2xxxx32 2d5d4d3 dxxx xxxx3232 543)d 2d5d4 d3d(2xxxxx xxxxxx解解43215 23.23xCxxx 注 逐項(xiàng)積分后，每個(gè)積分結(jié)果中均含有一個(gè)任意(rny)常數(shù)由于任意(rny)常數(shù)之和仍是任意(rny)常數(shù)，因此只要寫出一個(gè)任意(rny)常數(shù)即可 第21頁/共29頁第二十一頁，共

15、30頁。) 1 (21例 dxxx)3( 32求求解解 dxxx)3(32 dxxx)3(25661x 3x 解解.)1213( 22dxxx 求求dxxx)1213(22 xarctan3 xarcsin2 C C 練習(xí)dxxx 23)1(dxxxxx 223133)2(第22頁/共29頁第二十二頁，共30頁。.arctan33Cxxxxxxd 11) 1( 22xxxxxxxd11) 1)(1(d1222224解解xxxxd11 d) 1(22.d1224xxx例例13 13 求求第23頁/共29頁第二十三頁，共30頁。.)1(21 222dxxxx 求求dxxxx )1(21222dxx

16、xxx )1(12222dxxdxx 2211114例解解xxarctan1 C 第24頁/共29頁第二十四頁，共30頁。dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.)1(1 22dxxxxx 求求練習(xí)解解arctanln|xCx第25頁/共29頁第二十五頁，共30頁。15例解解 xdx2cot 求求 xdx2cot dxx)1(csc2xcot x C 16例解解 dxx2sin 2求求 dxx2sin2 dxx)cos1(21x(21 )sinx C 練習(xí)：xdx2tan 求練習(xí)：dxx2cos2第26頁/共29頁第二十六頁，共30頁。小 結(jié)原函數(shù)與不定積分(b dn j fn)的概念基本(jbn)積分公式用直接(zhji)積分法求不定積分要注意對被積函數(shù)變形 )()(xfxF的一個(gè)原函數(shù)是)()(xfxFCxFxf)()(為的所有原函數(shù)可以表示( )f x dx C CF(x)F(x)直接積分法直接積分法: :用用基本積分公式基本積分公式及及積分性質(zhì)積分性質(zhì)求積分的方法求積分的方法直接積分法第27頁/共29頁第二十七頁，共30頁。作作 業(yè)業(yè)P92. A組 2（1）；3（1）（3）（5）（7）（9） B組 1 第28頁/共29頁第二十八頁，共30頁。謝謝您的觀看(gunkn)！第29頁