空間直角坐標(biāo)系,曲面方程,空間曲線方程

1、教學(xué)課題：§11 空間直角坐標(biāo)系，曲面方程，空間曲線方程教學(xué)目的：1. 將學(xué)生的思維由平面引導(dǎo)到空間，明確空間解析幾何的意義和目的；2. 理解空間直角坐標(biāo)系、空間一點(diǎn)的坐標(biāo)的概念。3 理解曲面方程的概念；4 掌握常見的曲面及其方程；5 理解空間曲線的方程；6 掌握空間曲線在坐標(biāo)面上的投影。教學(xué)重點(diǎn)：1空間直角坐標(biāo)系的概念；2曲面方程、空間曲線方程的概念3空間曲線在坐標(biāo)面上的投影教學(xué)難點(diǎn)：1. 空間思想的建立，空間一點(diǎn)的坐標(biāo)。2曲面方程、空間曲線方程的概念3掌握空間曲線在坐標(biāo)面上的投影。教學(xué)時(shí)間：4學(xué)時(shí)教學(xué)過程：一、學(xué)科教育（一）為什么我們要重視學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)1數(shù)學(xué)觀數(shù)學(xué)與語文兩大學(xué)科代表著

2、人類兩大文化：科學(xué)文化與人文文化，數(shù)學(xué)是一門特殊的科學(xué)，數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法中充分顯示著一般科學(xué)精神、科學(xué)思想、科學(xué)方法。數(shù)學(xué)是一門特殊的科學(xué)，數(shù)學(xué)充分顯示著一般科學(xué)精神、思想和方法；數(shù)學(xué)是一種文化，它屬于甚至代表科學(xué)文化；數(shù)學(xué)是最富創(chuàng)新性的科學(xué)，數(shù)學(xué)的研究被視為人類智力的前鋒；數(shù)學(xué)是推動(dòng)人類進(jìn)步的最重要的思維學(xué)科之一。現(xiàn)代社會(huì)，數(shù)學(xué)的技術(shù)作用日益突出，學(xué)校教育隨之強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的技術(shù)作用，數(shù)學(xué)教師也習(xí)慣于數(shù)學(xué)教育就是數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法的教育。但許多學(xué)生卻認(rèn)為學(xué)大量復(fù)雜的數(shù)學(xué)以后沒有用，因而學(xué)數(shù)學(xué)興趣不大、動(dòng)力不足。日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國藏指出：學(xué)生進(jìn)入社會(huì)后，幾乎沒有機(jī)會(huì)應(yīng)用他們?cè)趯W(xué)校所

3、學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)，因而這種作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，通常在學(xué)生出校門不到一兩年就忘掉了。他認(rèn)為學(xué)數(shù)學(xué)的意義在于：不管人們從事什么業(yè)務(wù)工作，那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，卻長期的在他們的生活和工作中發(fā)揮著重要作用。實(shí)際上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義、價(jià)值不僅在于數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的學(xué)習(xí)，還在于通過數(shù)學(xué)知識(shí)、方法的學(xué)習(xí)來促進(jìn)人腦發(fā)育發(fā)展、培養(yǎng)人的科學(xué)文化素質(zhì)，發(fā)展包括思維能力、創(chuàng)新能力在內(nèi)的人的聰明智慧，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能為人一生的可持續(xù)發(fā)展提供動(dòng)力。 2 知識(shí)技術(shù)數(shù)學(xué)知識(shí)已滲透于各種自然科學(xué)、及許多社會(huì)科學(xué)之中，數(shù)學(xué)知識(shí)是我們學(xué)習(xí)各門科學(xué)的基礎(chǔ)和工具，語言、符號(hào)、圖象、計(jì)算、估計(jì)、推理、建模等基本內(nèi)容已滲透與我們?nèi)粘Ｉ?/p>

4、與工作之中，數(shù)學(xué)成了我們的基本技能 。高等數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)其它學(xué)科的基礎(chǔ)和前題，是學(xué)習(xí)其它學(xué)科必不可少的工具，特別是工程類和管理類的學(xué)科。數(shù)學(xué)用于工程領(lǐng)域和經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域：數(shù)學(xué)的知識(shí)、原理、原則、方法。 enginering：the application of scientific and mathematical principles to practical use(工程：科學(xué)和數(shù)學(xué)原理在實(shí)踐中的應(yīng)用)（二） 我們應(yīng)該如何學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)1. 大學(xué)的學(xué)習(xí)與中學(xué)的學(xué)習(xí)的區(qū)別（1）自主性：不會(huì)有家長和老師來嚴(yán)格監(jiān)督，但學(xué)籍管理制度將起制約作用。（2）成績要求：中學(xué)教育是升學(xué)教育，以高考為指揮棒。大學(xué)教育

5、是就業(yè)教育，以掌握知識(shí)、方法、技能來培養(yǎng)人的素質(zhì)，發(fā)展能力。要取得學(xué)分必須要達(dá)到相應(yīng)的要求。學(xué)生的成績要進(jìn)入學(xué)生個(gè)人檔案和上網(wǎng)。（3）學(xué)習(xí)的知識(shí)內(nèi)容上：大學(xué)以學(xué)習(xí)知識(shí)、培養(yǎng)能力、提高素質(zhì)并重。知識(shí)部分是面廣而不去深究偏題怪題和很難的題，以掌握知識(shí)點(diǎn)為主。2高等數(shù)學(xué)課的特點(diǎn)（1）課時(shí)數(shù)少, 知識(shí)內(nèi)容點(diǎn)多，一次課涵蓋的知識(shí)內(nèi)容就多，記憶量較大，但我們對(duì)習(xí)題的難度要求不是很高，主要是知識(shí)點(diǎn)的直接應(yīng)用。（2）知識(shí)內(nèi)容理論與實(shí)踐聯(lián)系較緊密，學(xué)科間的滲透較多。（3） 思維方式的變化：由有限變無限。3. 高等數(shù)學(xué)課的學(xué)習(xí)方法（1）課堂聽課要作筆記，記在書上或筆記本上均可。要完成課堂上的練習(xí)，每一個(gè)同學(xué)要準(zhǔn)備

6、一個(gè)課堂練習(xí)本，專門用于課堂練習(xí)之用。（2）不能缺課，數(shù)學(xué)的前后連貫性很強(qiáng)，邏輯性也很強(qiáng)，沒有前面的基礎(chǔ)，就難于學(xué)習(xí)后面的內(nèi)容。（3）要注意預(yù)習(xí)，預(yù)習(xí)不是要你完全學(xué)懂，預(yù)習(xí)是要搞清楚下一次課的主要內(nèi)容有哪些，有哪些問題，在書上的什么位置?？梢园褧匆槐?。（4）課后的復(fù)習(xí)與作業(yè)。課后應(yīng)把書與筆記通看一遍，找出本次課的重點(diǎn)及自己存在問題的地方，不懂的就要問清楚。作業(yè)一定要獨(dú)立完成（一是不抄別人的，二是要不對(duì)照書上例題和公式來做，做不起時(shí)重新去看書記憶題型的步驟、記憶公式與法則，然后脫離書本再做）。1大學(xué)的學(xué)習(xí)與中學(xué)的學(xué)習(xí)的區(qū)別（1）自主性：不會(huì)有家長和老師來嚴(yán)格監(jiān)督，但學(xué)籍管理制度將起制約作用。（

7、2）成績要求：大學(xué)教育是就業(yè)教育，不是長學(xué)教育。中學(xué)教育是升學(xué)教育，的學(xué)習(xí)目的是升學(xué)，以高考為指揮棒。對(duì)成績分?jǐn)?shù)沒有嚴(yán)格的限制，但大學(xué)不同。大學(xué)是要你掌握知識(shí)為主，要取得學(xué)分必須要達(dá)到基本要求（60分以上）。但并不是60分萬歲，學(xué)校很多激勵(lì)措施，如獎(jiǎng)學(xué)金制度、學(xué)生綜合素質(zhì)評(píng)定制度、優(yōu)秀先進(jìn)學(xué)生的評(píng)選制度、推薦就業(yè)制度。另外學(xué)生的成績要進(jìn)入學(xué)生個(gè)人檔案和上網(wǎng)，供用人單和社會(huì)查詢。（3）學(xué)習(xí)的知識(shí)內(nèi)容上：大學(xué)以學(xué)習(xí)知識(shí)和培養(yǎng)能力并重。知識(shí)部分是面廣而不去深究偏題怪題和很難的題，以掌握知識(shí)點(diǎn)為主。1. 數(shù)學(xué)的重要性（1） 數(shù)學(xué)用于工程領(lǐng)域和經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域：數(shù)學(xué)的知識(shí)、原理、原則。enginering：

8、the application of scientific and mathematical principles to practical use.(工程：科學(xué)和數(shù)學(xué)原理在實(shí)踐中的應(yīng)用)（2） 數(shù)學(xué)的思維方法在各種領(lǐng)域：現(xiàn)在有很多有名的大學(xué)招收文科類研究生就喜歡要理工科的學(xué)生?，F(xiàn)在要從事計(jì)算機(jī)高級(jí)研究的機(jī)構(gòu)更喜歡要數(shù)學(xué)專業(yè)的人才，因?yàn)閷W(xué)數(shù)學(xué)的人來計(jì)算機(jī)的知識(shí)很容易，現(xiàn)在的很多計(jì)算機(jī)方面的專家都是學(xué)數(shù)學(xué)出生的。數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)、管理更是必不可少，離開數(shù)學(xué)就談不上學(xué)習(xí)經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)，同樣很多大學(xué)的經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)方面的專家也是學(xué)數(shù)學(xué)出生的。以前有段時(shí)間數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生就業(yè)不很好，但現(xiàn)在發(fā)生了轉(zhuǎn)變。管理系主

9、任介紹說，你寫的文章數(shù)學(xué)符號(hào)少了就一定不是一篇好的文章。（3）數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)其它學(xué)科的基礎(chǔ)和前題，是學(xué)習(xí)其它學(xué)科必不可少的工具，特別是工程類和管理類的學(xué)科。（4）數(shù)學(xué)已經(jīng)從后臺(tái)走上了前臺(tái)，通過數(shù)學(xué)建?？蓪?duì)很多領(lǐng)域（如交通、環(huán)境、軍事、農(nóng)業(yè)等）進(jìn)行定量的分析研究。全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽介紹。2. 大學(xué)數(shù)學(xué)課的特點(diǎn)（1） 課時(shí)數(shù)少（14×5）, 知識(shí)內(nèi)容點(diǎn)多，一次課涵蓋的知識(shí)內(nèi)容就多，記憶量較大，但我們對(duì)習(xí)題的難度要求不是很高，主要是知識(shí)點(diǎn)的直接應(yīng)用。（2）知識(shí)內(nèi)容理論與實(shí)踐聯(lián)系較緊密，學(xué)科間的滲透較多。我們本學(xué)期的內(nèi)容是一元微積分學(xué)，即教材上的前六章。（3） 思維方式的變化：由有限變無限。

10、3. 數(shù)學(xué)課的學(xué)習(xí)方法（1）課堂聽課要作筆記，記在書上或筆記本上均可。要完成課堂上的練習(xí)，每一個(gè)同學(xué)要準(zhǔn)備一個(gè)課堂練習(xí)本，專門用于課堂練習(xí)之用。（2）不能缺課，數(shù)學(xué)的前后連貫性很強(qiáng)，邏輯性也很強(qiáng)，沒有前面的基礎(chǔ)，就難于學(xué)習(xí)后面的內(nèi)容。（3）要注意預(yù)習(xí)，預(yù)習(xí)不是要你完全學(xué)懂，預(yù)習(xí)是要搞清楚下一次課的主要內(nèi)容有哪些，有哪些問題，在書上的什么位置?？梢园褧匆槐椤＃?）課后的復(fù)習(xí)與作業(yè)。課后應(yīng)把書與筆記通看一遍，找出本次課的重點(diǎn)及自己存在問題的地方，不懂的就要問清楚。作業(yè)一定要獨(dú)立完成（一是不抄別人的，二是要不對(duì)照書上例題和公式來做，做不起時(shí)重新去看書記憶題型的步驟、記憶公式與法則，然后脫離書本再做

11、）。二、空間直角坐標(biāo)系1. 空間直角坐標(biāo)系 坐標(biāo)原點(diǎn)O; 坐標(biāo)軸（軸，軸，軸）相互垂直，其方向如圖所示； 長度單位. 這樣就組成了空間直角坐標(biāo)系. 稱為坐標(biāo)原點(diǎn)， 每兩個(gè)坐標(biāo)軸確定的平面稱為坐標(biāo)平面，簡稱為坐標(biāo)面.軸與軸所確定的坐標(biāo)面稱為坐標(biāo)面，類似地有坐標(biāo)面,坐標(biāo)面.這些坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分，每一個(gè)稱為一個(gè)卦限. 軸的正半軸的卦限稱為第 I 卦限，從第 I 卦限開始，從軸的正向向下看， 按逆時(shí)針的方向，先后出現(xiàn)的卦限依次稱為第 、 卦限; 第、 、 、 卦限下面的空間部分依次稱為第 、 卦限。2. 空間一點(diǎn)的坐標(biāo)（1）點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)定過空間的一點(diǎn)分別作三條坐標(biāo)軸的垂面，這三個(gè)垂面與三條坐標(biāo)軸

12、的三個(gè)垂足分別在軸、軸、軸上，它們對(duì)應(yīng)的數(shù)分別稱為點(diǎn)的坐標(biāo),坐標(biāo)和坐標(biāo)。有序數(shù)組就稱為點(diǎn)的坐標(biāo)，記為（2）兩個(gè)問題已知空間一點(diǎn)確定其坐標(biāo)由坐標(biāo)確定點(diǎn)的位置。3兩點(diǎn)之間的距離 設(shè)空間兩點(diǎn) M 1 ( x 1, y 1, z 1)、M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ), 求它們之間的距離 d = |M 1 M 2|. 過點(diǎn) M1 M2 各作三張平面分別垂直于三個(gè)坐標(biāo)軸，形成如圖的長方體。(M 1QM 2 是直角三角形) (M 1PQ 是直角三角形)所以特別地，點(diǎn) M ( x , y , z) 與原點(diǎn)O ( 0 , 0 , 0 ) 的距離三、曲面方程的概念若曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程

13、 (或 )， 而不在曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程 (或 ) 則稱方程 (或 )為曲面 S 的方程. 而曲面 S 就稱為方程 (或 )的圖形.四 幾種特殊的曲面（一） 球面方程球心在，半徑為 R 的球面方程球心在原點(diǎn)時(shí)，半徑為 R 的球面方程為例1: 表示怎樣的曲面?解: 原方程兩邊同時(shí)除以 2 ， 并將常數(shù)項(xiàng)移到等式右端，得配方得 所以， 原方程表示球心在半徑為 1 的球面.注：球面方程中項(xiàng)的系數(shù)是相同的。（二） 柱面及其方程 1柱面的概念： 動(dòng)直線 L 沿給定曲線 C 平行移動(dòng)形成的曲面，稱為柱面，動(dòng)直線 L 稱為柱面的母線，定曲線 C 稱為柱面的準(zhǔn)線.如圖：2母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方

14、程以坐標(biāo)面上的曲線 C : 為準(zhǔn)線，平行于 z 軸的直線 L為母線的柱面方程.關(guān)鍵是建立柱面上任一點(diǎn)的座標(biāo)（滿足某種條件）的方程 如圖：設(shè)為柱面上的任一點(diǎn)， 過作平行于軸的直線交坐標(biāo)面于點(diǎn)由柱面定義可知必在準(zhǔn)線 C 上.所以 的坐標(biāo)滿足曲線 C 的方程. 由于方程不含 z，所以點(diǎn)也滿足方程 . 而不在柱面上的點(diǎn)作平行于 z 軸的直線與坐標(biāo)面的交點(diǎn)必不在曲線 C 上，也就是說不在柱面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足方程. 所以，不含變量 z 的方程在空間表示以坐標(biāo)面上的曲線為準(zhǔn)線， 平行于 z 軸的直線為母線的柱面.類似地 不含變量的方程在空間表示以坐標(biāo)面上的曲線為準(zhǔn)線， 平行于 x 軸的直線為母線的柱面.而

15、不含變量的方程在空間表示以坐標(biāo)面上的曲線為準(zhǔn)線， 平行于軸的直線為母線的柱面.判定下列方程所表示的曲面：xyzO xyzO2xyzO（三） 旋轉(zhuǎn)曲面及其方程1旋轉(zhuǎn)曲面的概念 平面曲線 C 繞同一平面上定直線 L 旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，稱為旋轉(zhuǎn)曲面，定直線 L 稱為旋轉(zhuǎn)軸.2. 以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程建立面上曲線 C：繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成 的旋轉(zhuǎn)曲面的方程,如圖：設(shè)為旋轉(zhuǎn)曲面上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作平面垂直于 z 軸，交 z 軸于點(diǎn)， 交曲線 C 于點(diǎn). 由于點(diǎn)可以由點(diǎn)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)得到，因此有由于 (1)所以 (2)又因?yàn)樵谇€ C 上，所以 將代(1)、(2)代入理 即得所求旋轉(zhuǎn)曲面方程: 說

16、明：平面曲線 C：繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為： 同理：平面曲線 C：繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：例2: 將下列平面曲線繞指定坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，試求所得旋轉(zhuǎn)曲面方程:(1) 坐標(biāo)面上的直線 ( )，繞軸. (2) 坐標(biāo)面上的拋物線 ( )，繞 z 軸. (3) 坐標(biāo)面上的橢圓分別繞軸.解: (1) 坐標(biāo)面上的直線 ( )，繞軸. 故保持不變，將換成則得 即:所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為 如圖：表示的曲面稱為圓錐面， 點(diǎn) O 稱為圓錐的頂點(diǎn).(2) 坐標(biāo)面上的拋物線 ( )，繞 z軸旋轉(zhuǎn)所得的曲面方程為： 該曲面稱為旋轉(zhuǎn)拋物面. 其特征是: 當(dāng)時(shí)，旋轉(zhuǎn)拋物面的開口向下.xyzO一般地，方程所表示的曲面稱為

17、橢 圓拋物面。(3) 坐標(biāo)面上的橢圓分別繞 軸旋轉(zhuǎn)，故保持不變，而將換成得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 xyzO該曲面稱為旋轉(zhuǎn)橢球面.該橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而得的旋轉(zhuǎn)橢球面的方程為 一般地方程所表示的曲面稱為橢球面.其特征是: 用坐標(biāo)面或平行于坐標(biāo)面的平面 截曲面所得到的交線均為橢圓.當(dāng)中有或或時(shí)，即為旋轉(zhuǎn)橢球面，當(dāng) 時(shí)，即為球面.五、空間曲線的方程（一）空間曲線的一般方程 稱為空間曲線的一般方程判定下列方程組所表示的曲線? 注：同解方程組所表示的曲線是相同的。（二）空間曲線的參數(shù)方程空間曲線 G上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)也可以用另一個(gè)變量的函數(shù)來表示，即形如上的方程組稱為曲線 G 的參數(shù)方程,為參數(shù). 例3:設(shè)質(zhì)點(diǎn)在圓柱面上

18、以均勻的角速度 w繞軸旋轉(zhuǎn)，同時(shí)又以均勻的線速度向平行于軸的方向上升.運(yùn)動(dòng)開始，即時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在處，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程.解: 設(shè)時(shí)間時(shí)， 質(zhì)點(diǎn)的位置為，由作坐標(biāo)面的垂線垂足為 Q (x, y , 則從到所轉(zhuǎn)過的角q = wt， 上升的高度 ，即質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：此方程稱為螺旋線方程.六、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè) G為已知空間曲線，則以 G為準(zhǔn)線， 平行于軸的直線為母線的柱面， 稱為空間曲線 G 關(guān)于坐標(biāo)面的投影柱面. 而投影柱面與坐標(biāo)面的交線 C稱為曲線 G 在坐標(biāo)面的投影曲線.類似地， 可以定義曲線 G關(guān)于坐標(biāo)面、坐標(biāo)面的投影柱面及投影曲線.設(shè)空間曲線 G 的方程為消去 ，得.可知滿足曲線 G 的方程一定滿足方程 ，而是母線平行于軸的柱面方程，因此，柱面就是曲線 G 關(guān)于坐標(biāo)面的投影柱面.而就是曲面G 在坐標(biāo)面上的投影曲線的方程.同理， 從曲線 G 的方程中消去或者，就可得到 G 關(guān)于坐標(biāo)面或者坐標(biāo)面的投影柱面方程，從而也可得到在相應(yīng)的投影曲線的