二項式定理在數(shù)列求和中的應用

1、二項式定理在數(shù)列求和中應用班級：數(shù)學1403姓名：王琪學號：14404337二項式定理在數(shù)列求和中的應用【摘要】 本文利用二項式定理和楊輝三角的內(nèi)在聯(lián)系，結(jié)合組合不等式，推導出形如an na(a 2,3,4)的前n項和的公式，并給出求更高次求和公式的一般方 法?！娟P(guān)鍵詞】 二項式定理 組合數(shù) 方程的根 系數(shù)一、項式定理和楊輝三角介紹：1, 二項式定理：(a b)n C0anb0 CRB C；an 2b2 卅 C；an rbr |c；a°bn其中cn叫做二項式系數(shù)。2, 楊輝三角：二項式定理的應用非常廣泛，也很重要，主要表現(xiàn)在兩個方面：一是它所 揭示的方法富有啟發(fā)性；二是它與高等數(shù)學聯(lián)

2、系緊密學習與掌握它，既有利于 培養(yǎng)學生聯(lián)想和抽象思維的能力，也有利于其今后進一步的學習二項式定理在中國被稱為“賈憲三角”或“楊輝三角”，一般認為是北宋數(shù) 學家賈憲所首創(chuàng)它記載于楊輝的詳解九章算法(1261)之中.在阿拉伯數(shù)學 家卡西的著作算數(shù)之鑰(1427)中也給出了一個二項式定理系數(shù)表，他所用 的計算方法與賈憲的完全相同在歐洲，德國數(shù)學家阿皮安努斯在他1527年出版 的算數(shù)書的封面上刻有此圖，但一般稱之為“帕斯卡三角形”.因為帕斯卡在1654 年也發(fā)現(xiàn)了這個結(jié)果而在1664年和1665年間，也就是由于瘟疫流行而迫使牛頓從劍橋躲開的前 夕，牛頓就開始了二項式定理的研究， 值得注意的是，牛頓只處

3、理了二項式的自 乘幕是分數(shù)或負數(shù)的情況.牛頓第一次提到二項式定理是在 1676年6月13日他寫 給奧爾登堡轉(zhuǎn)給萊布尼茲的一圭寸信中，此后牛頓對于該定理進行不斷的推理、猜 想和證明，最終建立了二項式定理.牛頓在建立了二項式定理以后，馬上就拋棄 了他以前用于求積的插值法，而把這個定理當做確定曲線下方面積的一個最簡單 最直接的方法來使用隨著時間的推移，二項式定理被越來越多的人運用， 直到今天，二項式定理 已經(jīng)是中學數(shù)學內(nèi)容的重要部分，也是當今高考的難點之一 .二項式定理是在處理有關(guān)兩個元素和的方幕的問題時常?？紤]到的一個重要公 式，是組合數(shù)學中一個基礎(chǔ)而重要的定理，在微積分、概率論、初等數(shù)論等許多

4、數(shù)學分支中都可見其蹤影二、二項式的性質(zhì)二項式定理：.理解二項式定理應注意：(1) 二項式中，a是第一項，b是第二項，順序不能變；(2) 展開式中有n 1項(比指數(shù)多1);(3) C0,C：,|,Cn 是二項式系數(shù)；(4) a的指數(shù)降幕，b的指數(shù)是升幕，兩者的指數(shù)的和等于 n ；(5) 二項式展開時要注意各項的符號規(guī)律；(6) 注意二項式定理的可逆性.二項式定理除了要注意以上幾點外還具有一些性質(zhì)a b n的二項展開式中，首末兩端“等距離”的兩項的二項式性質(zhì)一二項式系數(shù)表中，除性質(zhì)二以外其余位置的數(shù)都，所有二項式系數(shù)的和等于令a b 1即得系數(shù)相等，即cm c之和，cm cnm1a b n的二項展

5、c° c!性質(zhì)三種計算方法結(jié)果相等來解釋）性質(zhì)四 a b n的二項展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即CnCn|C：川 CC；川C71 川2n1.（令a 1,b1 即得）.三、重要組合恒等式：（1）,cnC： 1Cr 1 Cr(n 1)!(n 1)!證明："1 n 1(r 1)!( nr)! r!(n 1r)!Jr r!( n r)!(n r)n!r!(n r)!C；（證畢）(2), C； C；1 Crr2 川 Cn1 Cn tn r)證明（數(shù)學歸納法）：當n r 1時 上式 左邊=1右邊是C；1，所以是正確的。假設(shè)上式對n k（k r）正確 即C

6、； C； 1 Cl 2川Ck 1 C： 1那么就有c； c； 1 C | C： 1 C： C： 1 C：再有組合不等式（1）可 得c； C； 1 C III C；1 c： c；故綜上所述 對于所有大于r的正整數(shù)n （2）式都是成立的。四、一元n次多項式根與系數(shù)的關(guān)系對于多項式xn a1xn 1 a2Xn 2 |”an必0若x1,x2, x| xn是它的n個根 則有一下等式成立：（1）1a1 X1 X2 川 Xn（1）2a2 X1X2 X1X3 川 Xn 1Xn（1）iaix：1x：2 |x：（所有i個不同的根的乘積的和）（1）n a1a2a|an五、應用舉例為了方便應用，（2）式也可以寫成c：

7、 C： 1 Crr 2卅 C： n 1r 1Cr n( n r)當r=1 , 2, 3, 4的時候上式也就是:11 2 3 川 n n(n 1)六、歸納總結(jié)命題一:證明:nkmk 11m兩式相減有:1015III抽IIIIII3m3m1)1 n(n 1)(n 2)3!(n丄n(n4!nkm11)(n1)(nkmk 12)丄 n(n 1)(n 4!2)( n 3)n 1m2)( n 3)n(n5!1)( n2)(n3)( n 4)n命題二：1k 1由乘法的定義可知:n個1相加的結(jié)果為n。n命題三:kk 12證明：由二項式定理知:1 2 k2 2k1,從而:nk2 2kn即:k2證明：由二項式定理

8、可知:k 1 3 k3 3k2 3k 1，從而 32k 3k3k 1由此可得:nnk 1 2nn2 kk21k 1k 1k 1k 1n1 2 1nn n1n即：kk1n n 12命題四n 1k21n n 1 2n 1k i6即：k1 3k33k23 kk 1k1k1k 1由此可得：nnnnn3 k2k 1 3k33k1k 1k 1k 1k 1k 1“ 3“c n n1n1 13 -n2k 1k1nnnnn1k 11n n 1 2n 12n4即：k2 -n n 1 2n 1k 16命題五：證明：由二項式定理可知:k 1 4 k4 4k3 6k2 4k 1，從而即:k4 4k36k24knk4k3

9、nk2由此可得:nnnnnn4 k3k 14k46k24k1k 1k 1k1k 1k 1k 141n n 1n116nn 12n14n622n n12n即：k3nn1k 12命題六：nk41-nn1 2n13n23n1證明：由二項式定理可知:k55k410k310k25k 1，從而k5 5k410k310k25kn即： kk 1k5k41n10k 1k3n10kk2由此可得:n5 k4k 11n n30k5102nn10k 1k31 3n2 3nF面我們討論一般情況下數(shù)列的和,由二項式定理可知：k 1mm 1 mCm 1 kn而有 kk 11mcm；km1C*1kmn10k 110即:k22n

10、nkm11m mCm 1k1 m 11kmCm1 m1kCm1kCmCm 1k Cm 1，從可得:C：1kmk 1nkmk 1nmCm1 m 11kmCm1 m 11kCm 1kCm1Cm1kCm1即:m 1 m 1Cm 1 kCm 1kkm至此，我們求出了連續(xù)自然數(shù)任意次方的和推論若多項式f(k)k(k 1)(k 2)(k a 1)他的根分別是k10, k2 1,k3 2|ka a 1，貝U他的展開式中ka 1的系數(shù)是a1(0123III a 1) (3 21)aa2k*2k*3M ka 1ka同理 f'(k) k(k 1)(k 2)(k a 2)展開式中ka 2的系數(shù)是：a；(0 1 2 川 a 2)二項式定理有著廣泛的應用，如果不能夠準確把握其本質(zhì)，