初一上冊(cè)數(shù)學(xué)有理數(shù)整式知識(shí)點(diǎn)

1、1 / 8 有理數(shù)一、有理數(shù)的分類整數(shù)：正整數(shù)、 0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)；分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)；有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；注意： 0 既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)二、數(shù)軸 三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度1、包含三個(gè)內(nèi)容：第一是數(shù)軸是一條直線，可以向兩方無限延伸；第二是數(shù)軸的三要素原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度，缺一不可；第三是原點(diǎn)的選定、正方向的取向、單位長(zhǎng)度的確定都是規(guī)定的，通常取向右為正方向所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的不都是有理數(shù)2、數(shù)軸的畫法（1）畫直線（一般畫水平的） ；（2）在直線上取一點(diǎn)定為原點(diǎn)“0” （在原點(diǎn)下方標(biāo)上“ 0” ） ；（3）取原點(diǎn)向右的方

2、向?yàn)檎较颍⒂眉^表示出來；（4）選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度作為單位長(zhǎng)度，從原點(diǎn)向右每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)，依次表示 1， 2， 3， 4， ，從原點(diǎn)向左， 每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)依次表示為1，2，3，零用原點(diǎn)表示如圖：三、相反數(shù) ： 只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)（1）代數(shù)意義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫互為相反數(shù)，其中一個(gè)數(shù)叫另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)零的相反數(shù)是零（2）幾何意義：在數(shù)軸上的原點(diǎn)兩旁，離原點(diǎn)的距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)互為相反數(shù). （3）性質(zhì)：互為相反數(shù)的和為0，即ab0a、b 兩數(shù)互為相反數(shù) . （4）符號(hào)：在一個(gè)數(shù)前面加“”號(hào)表示這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，如數(shù)a 的相反數(shù)是

3、a. 強(qiáng)調(diào)： “只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)”中的“只有”指的是除了符號(hào)不同以外完全一樣不能理解為只要符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)就是互為相反數(shù)2 / 8 除零外的兩個(gè)相反數(shù)在數(shù)軸上，位于原點(diǎn)的兩側(cè)，且到原點(diǎn)的距離相等，即一個(gè)正數(shù)的相反數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)；一個(gè)負(fù)數(shù)的相反數(shù)是一個(gè)正數(shù)；0 的相反數(shù)仍是 0四、絕對(duì)值的意義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a 的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù) a 的絕對(duì)值，記作 |a|絕對(duì)值的幾何意義： 一個(gè)數(shù) a 的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a 的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.數(shù) a 的絕對(duì)值記作|a|. 絕對(duì)值的代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0 的絕對(duì)值是0. 注意：取絕對(duì)值也是一種運(yùn)算，

4、 運(yùn)算符號(hào)是“|” ，求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，就是根據(jù)性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào). 五、絕對(duì)值的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)； 0 的絕對(duì)值是0. 絕對(duì)值具有非負(fù)性，取絕對(duì)值的結(jié)果總是正數(shù)或0. 如果若干個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0， 那么這若干個(gè)非負(fù)數(shù)都必為 0. 例如：若 |a|b|c|0，則 a0，b0，c0. 任何一個(gè)有理數(shù)都是由兩部分組成：符號(hào)和它的絕對(duì)值，如： 5 符號(hào)是負(fù)號(hào)，絕對(duì)值是5. 非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身；非正數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)正數(shù) 0負(fù)數(shù)（1）一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值越大，表示這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上表示的點(diǎn)離原點(diǎn)越遠(yuǎn)（2）兩個(gè)正數(shù)，絕對(duì)值大的正數(shù)大；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小

5、有理數(shù)大小比較小結(jié)：能化簡(jiǎn)的先化簡(jiǎn),然后按照有理數(shù)大小比較法則進(jìn)行比較：異號(hào)兩數(shù)比較大小，負(fù)數(shù)總是小于正數(shù)；兩正數(shù)比較大?。?絕對(duì)值大的數(shù)大于絕對(duì)值小的數(shù)；兩負(fù)數(shù)比較大?。航^對(duì)值大的反而?。回?fù)數(shù)小于零；零小于正數(shù). 六、有理數(shù)的加法法則1、同號(hào)兩數(shù)相加，取一樣的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；2、絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；3、互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0；3 / 8 4、任何數(shù)同零相加都等于它本身七、有理數(shù)加法運(yùn)算律1、交換律： abba；2、結(jié)合律：（ab） ca（ bc）. 1有理數(shù)的加減法可統(tǒng)一成加法加減法統(tǒng)一成加法算式，按減法法則減去一

6、個(gè)數(shù)可寫成加上它們的相反數(shù)，這樣便把加減法統(tǒng)一成加法算式幾個(gè)正數(shù)或負(fù)數(shù)的和稱為代數(shù)和2因?yàn)橛欣頂?shù)加減法可統(tǒng)一成加法，所以在加減運(yùn)算時(shí)，適當(dāng)運(yùn)用加法運(yùn)算律，把正數(shù)與負(fù)數(shù)分別相加，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便但要注意交換加數(shù)的位置時(shí)，要連同前面的符號(hào)一起交換3、有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法和步驟（1）將有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法，然后省略括號(hào)和加號(hào)（2）運(yùn)用加法法則、加法運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算4、有理數(shù)加減混合運(yùn)算的技巧方法（1）把正數(shù)、負(fù)數(shù)分別相加（2）把和為零或整數(shù)的分別相加（3）把整數(shù)、分?jǐn)?shù)分別相加（4）把同分母的、易通分的分?jǐn)?shù)分別相加八、有理數(shù)的乘法法則（1）同號(hào)得正；（2）異號(hào)得負(fù)；（3）n個(gè)數(shù)相乘，當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)

7、為奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正；（4）任何數(shù)同0 相乘，都得0；（5）互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)乘積為1九、有理數(shù)乘法的運(yùn)算律(1)乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘 ,交換因數(shù)的位置 ,積不變 .即： ab ba. (2)乘法結(jié)合律： 三個(gè)數(shù)相乘， 先把前兩個(gè)數(shù)相乘或先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積不變. 即： (ab)c a(bc). (3) 分配律：一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘,等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加.即：a(bc)abac. 有理數(shù)的除法法則除法是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算 . 1、除以一個(gè)不等于0 的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，可以表示成： ab=a ，其中 b

8、02、兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除 0 除以任何不等于0 的數(shù)都得 03、0 不能作除數(shù)4 / 8 乘積為 1 的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù). 正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，0 沒有倒數(shù) . 注意： (1)0 沒有倒數(shù) .(2)互為倒數(shù)的兩數(shù)為同號(hào). 十、有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算1、在帶有括號(hào)的運(yùn)算中，先算小括號(hào)，再算中括號(hào)，最后算大括號(hào)2、在沒有括號(hào)的不同級(jí)運(yùn)算中，先算乘方再算乘除，最后算加減，注意運(yùn)算律3、合理運(yùn)用運(yùn)算律合理運(yùn)用運(yùn)算律是提高有理數(shù)運(yùn)算能力的基本保證，在運(yùn)用時(shí)，首先要搞清楚各種運(yùn)算律的名稱和使用的方法 . (1)加法交換律和結(jié)合律通常在加、減運(yùn)算中同時(shí)使用，交換

9、的目的在于結(jié)合，結(jié)合時(shí)一般是按正負(fù)結(jié)合，按相反數(shù)結(jié)合， 總之，將容易計(jì)算的數(shù)進(jìn)行結(jié)合. (2)乘法交換律和結(jié)合律通常在乘、除運(yùn)算中使用，交換的目的同樣是為了結(jié)合，結(jié)合時(shí)一般將能約分的數(shù)結(jié)合 . (3)分配律是乘法對(duì)加法的分配，它既可以正用(即 a(b c)ab ac)，也可以逆用 (即 abaca(bc)，要特別注意除法對(duì)加法沒有分配律，不要出現(xiàn)12 (43)12 412 3347 的錯(cuò)誤 . 4、含多重括號(hào)時(shí)，要注意靈活去括號(hào)，沒必要墨守成規(guī)，總是先去小括號(hào)， 再去中括號(hào)， 最后去大括號(hào)，也可以先去大括號(hào)，再去小括號(hào)有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算，應(yīng)按照“先乘除，后加減”的順序進(jìn)行若有括號(hào)，則應(yīng)先

10、計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)十一、有理數(shù)的乘方一般地， n 個(gè)一樣的因數(shù)a 相乘，即，記作 an，讀作 a 的 n 次方求 n 個(gè)一樣的因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪.在 an中， a叫做底數(shù)， n 叫做指數(shù)，當(dāng)an看作 a 的 n 次方的結(jié)果時(shí)，也可以讀作a 的 n 次冪. 冪的讀法， 關(guān)鍵是分清底數(shù)和指數(shù)如 24讀作“2 的四次方的相反數(shù)”或“2 的四次冪的相反數(shù)” ，不能讀作“ 2 的四次方”或“2 的四次冪” . 注意：一個(gè)數(shù)可以看作這個(gè)數(shù)本身的一次方，指數(shù) 1 通常省略不寫十二、乘方的性質(zhì)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；5 / 8 負(fù)數(shù)的奇數(shù)次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次冪是正數(shù)0 的任何正整數(shù)次冪

11、都是0. 注意：負(fù)數(shù)的乘方，在書寫時(shí)一定要把整個(gè)負(fù)數(shù)（連同負(fù)號(hào)）用小括號(hào)括起來，分?jǐn)?shù)的乘方，在書寫時(shí)，也應(yīng)加小括號(hào)如不加括號(hào)則表達(dá)的是另外一個(gè)意義. 十三、有理數(shù)的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序1、先乘方，再乘除，最后加減；2、同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；3、如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)，中括號(hào)，大括號(hào)依次進(jìn)行. 注意：加法和減法叫做第一級(jí)運(yùn)算；乘法和除法叫做第二級(jí)運(yùn)算；乘方和開方(今后將會(huì)學(xué)到 )叫做第三級(jí)運(yùn)算。 可以應(yīng)用運(yùn)算律， 適當(dāng)改變運(yùn)算順序，使運(yùn)算簡(jiǎn)便有理數(shù)的運(yùn)算律：加法交換律： abba；加法結(jié)合律： (ab)ca(bc)；乘法交換律： ab ba ；乘法結(jié)合律： (ab)c a(bc)

12、；乘法分配律： a(bc)ab ac有理數(shù)的混合運(yùn)算的關(guān)鍵是運(yùn)算的順序，運(yùn)算法則和性質(zhì)，為此，必須進(jìn)一步對(duì)加、減、乘、除、乘方運(yùn)算法則和性質(zhì)的理解與強(qiáng)化，熟練掌握，在此基礎(chǔ)上對(duì)其運(yùn)算順序也應(yīng)熟知，在運(yùn)算過程中，始終遵循四個(gè)方面：一是運(yùn)算法則，二是運(yùn)算律，三是運(yùn)算順序，四是近似計(jì)算.為了提高運(yùn)算適度，要靈活運(yùn)用運(yùn)算律，還要能創(chuàng)造條件利用運(yùn)算律，如拆數(shù)，移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)等，對(duì)于復(fù)雜的有理數(shù)運(yùn)算，要善于觀察，分析，類比與聯(lián)想，從中找出規(guī)律，再運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算，至此，便可在有理數(shù)的混合運(yùn)算中穩(wěn)操勝劵十四、科學(xué)記數(shù)法1、把一個(gè)大于10 的數(shù)表示成a10n的形式（ 其中a 是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n 是正整數(shù)

13、 ） ，叫科學(xué)記數(shù)法2、近似數(shù)：接近真實(shí)數(shù)值的一個(gè)數(shù)產(chǎn)生近似數(shù)的主要原因：“計(jì)算”產(chǎn)生近似數(shù)如除不盡，有圓周率參加計(jì)算的結(jié)果等等；用測(cè)量工具測(cè)出的量一般都是近似數(shù)，如長(zhǎng)度、重量、時(shí)間等等；不容易得到，或不可能得到準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，只能得到近似數(shù)，如人口普查的結(jié)果，就只能是一個(gè)近似數(shù)；由于不必要知道準(zhǔn)確數(shù)而產(chǎn)生近似數(shù)3、有效數(shù)字：從一個(gè)數(shù)的從左邊起第一個(gè)不是0 的6 / 8 數(shù)字起，到它的末位止，所有的數(shù)字都叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字對(duì)于用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)a10n ，規(guī)定它的有效數(shù)字就是a 中的有效數(shù)字在使用和確定近似數(shù)時(shí)要特別注意：（1）一個(gè)近似數(shù)的位數(shù)與精確度有關(guān)，不能隨意添上或去掉末位的零（2）確定有

14、效數(shù)字時(shí)一定要弄清起始位置和終止位置，初學(xué)時(shí)可分別做上記號(hào)，以免出錯(cuò)（3）求精確到某一位的近似值時(shí)，只需把下一位的數(shù)四舍五入，而不看后面各數(shù)位上的數(shù)的大小整式一、單項(xiàng)式：（1）由數(shù)與字母的積組成的式子叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式；（2）單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)；（3）單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù) . 二、多項(xiàng)式：（1）幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式；（2）多項(xiàng)式中每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)；（3）多項(xiàng)式里次數(shù)：最高項(xiàng)的次數(shù)，叫做多項(xiàng)式的次數(shù) . 3、整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式. 在多項(xiàng)式中，所含字母一樣，并且一樣字母的指數(shù)也一樣

15、的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)，幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng). 注意：（1）判斷幾個(gè)單項(xiàng)式(或多項(xiàng)式中的項(xiàng) )是否是同類項(xiàng)有兩個(gè)條件：所含字母一樣；一樣字母的指數(shù)分別一樣，同時(shí)具備這兩個(gè)條件者是同類項(xiàng)，二者缺一不可（2）同類項(xiàng)與系數(shù)無關(guān)，與字母的排列無關(guān)（3）常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng)三、合并同類項(xiàng)把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng). 合并同類項(xiàng)的法則是：同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為結(jié)果的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變注意：只能把同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，不是同類項(xiàng)不能合并；如果兩個(gè)同類項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，合并同類項(xiàng)后，結(jié)果為0；只要不再有同類項(xiàng)，就是最后結(jié)果，結(jié)果可能是單項(xiàng)式，也可能是多項(xiàng)式四、去括號(hào)1、如果括號(hào)外的因數(shù)是

16、正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)每7 / 8 一項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)一樣. 2、如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相反. 3、 （1）a（bc）= abc； （2）a（bc）=abac. 4、去多重括號(hào)含有多重括號(hào)的多項(xiàng)式，去括號(hào)的一般方法是由內(nèi)到外，即依次去掉小、中、大括號(hào)也可由外到內(nèi)去括號(hào)：去大括號(hào)時(shí)，把中括號(hào)看成一項(xiàng)；去中括號(hào)時(shí)，把小括號(hào)看成一項(xiàng)；最后去小括號(hào)不論用哪種方法，都要邊去括號(hào)邊合并同類項(xiàng)注意問題：1、要注意括號(hào)前面的符號(hào)，它是去括號(hào)后括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)是否變號(hào)的依據(jù). 2、去括號(hào)時(shí)應(yīng)將括號(hào)前的符號(hào)連同括號(hào)一起去掉. 3、要注意，括號(hào)前面是“”時(shí)，去掉括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)

17、的各項(xiàng)均要改變符號(hào)，不能只改變括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)或前幾項(xiàng)的符號(hào)，而忘記改變其余的符號(hào). 4、若括號(hào)前是數(shù)字因數(shù)時(shí)，應(yīng)利用乘法分配律先將數(shù)與括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)分別相乘再去括號(hào)，以免發(fā)生錯(cuò)誤. 5、遇到多層括號(hào)一般由里到外，逐層去括號(hào)，也可由外到里 .數(shù)符號(hào) - 的個(gè)數(shù)確定結(jié)果的符號(hào). 6、乘除法去括號(hào)法則的依據(jù)實(shí)際是乘法分配律中的一種五、整式加減計(jì)算整式的運(yùn)算順序是先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng). 1、整式的加減，實(shí)質(zhì)上就是去括號(hào)和合并同類項(xiàng)整式加減運(yùn)算的一般步驟是：（1）根據(jù)去括號(hào)法則去掉括號(hào)；（2）準(zhǔn)確找出同類項(xiàng)，按照合并同類項(xiàng)法則合并同類項(xiàng)2、求多項(xiàng)式的值時(shí)，一般先合并同類項(xiàng)，再求值3、需要注意的幾個(gè)問題整式（既單項(xiàng)式和多項(xiàng)式）中，分母一律不能含有字母不是字母，而是一個(gè)數(shù)字，多項(xiàng)式相加 （減）時(shí)，必須用括號(hào)把多項(xiàng)式括起來，才能進(jìn)行計(jì)算去括號(hào)時(shí)，要