信息卷一(定稿)

1、信息卷一(定稿) 永州市 2021 年高考信息卷（一） 數(shù)學(xué)（理科） 組卷：申儉生（永州三中） 王勇波（祁陽一中） 郭志成（永州四中） 楊迪虹（永州一中） 審稿：蔣 ?。ㄊ薪炭圃海?注意事項： 1答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上. 2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號. 回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效. 3考試結(jié)束后，只交答題卡. 一、選擇題：（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項的填入答題卷

2、內(nèi)） 1（東安一中陳全偉）設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 1 i z i × = - ，則 z 的共軛復(fù)數(shù)為 a 1 i - + b 1 i + c 1 i - - d 1 i - 2（永州一中屈波）若集合 1 a x y x = = - ， 22 3 b y y x x = = + + ，則 a b = a ) 1,+¥ b ( ) 1,+¥ c ) 2,+¥ d ( ) 2,+¥ 3（永州一中屈波）設(shè)向量1(1 sin )2a x = - ， ，3( sin 1)2b x = + ， ，則" ar br'是"6xp= '

3、;的 a充分非必要條件 b必要非充分條件 c充分必要條件 d既非充分又非必要條件. 4（江華一中汪峰）下列說法中正確的是 a若樣本數(shù)據(jù) x 1 ，x 2 ，x n 的平均數(shù)為 5，則樣本數(shù)據(jù) 2x 1 1，2x 2 1，2x n 1 的平均數(shù)為 10 b用系統(tǒng)抽樣法從某班按學(xué)號抽取 5 名同學(xué)參加某項活動，若抽取的學(xué)號為 5，16，27，38，49，則該班學(xué)生人數(shù)可能為 60 c某種圓環(huán)形零件的外徑服從正態(tài)分布 n（4，0.25）（單位：cm），質(zhì)檢員從某批零件中隨機抽取一個，測得其外徑為 5.6 cm，則這批零件不合格 d對某樣本通過獨立性檢驗，得知有 95%的把握認為吸煙與患肺病有關(guān)系，則

4、在該樣本吸煙的人群中有 95%的人可能患肺病 5（江永一中吳永波）為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4 種顏色的花中任選2 種花種在一個花壇中，余下的 2 種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是 a13 b12 c 23 d56 6（江永一中吳永波）在 abc d 中， ab ac ab ac + = - ， 4,2 ab ac = = ， , e f 為 bc 的三等分點，則 ae af× = a89 b289 c259 d409 7（江華二中蔣團好）已知直線 2 ( 3) 4 0( ) x y m m r + - - = Î 恒過定點 p，若點 p 平分圓

5、2 22 4 4 0 x y x y + - - - = 的弦 mn，則弦 mn 所在直線的方程是 axy50 bxy30 cxy10 dxy10 8（永州一中屈波）數(shù)列 na 的首項為 3， nb 為等差數(shù)列且1( )n n nb a a n n+ += - Î ， 若32 b = - ，1012 b = ，則13a = a60 b63 c66 d69 9（永州一中屈波）定義在 r 上的函數(shù) ( ) f x 滿足 ( ) ( ) f x f x - =- ， ( 1) f x+ 是偶函數(shù)，且當(dāng) 0,1 xÎ 時 ( ) (2 ) f x x x = - ，則15( )2f

6、 = a34- b34 c32- d32 10（江永一中吳永波）已知定義在 1,1 - 上的函數(shù)1( ) 3 ( ) sin3x xf x x = - +，則滿足不等式(2 ) (1 ) 0 f x f x - - > 的 x 的取值范圍是 a1 1 3 2， b1( ,1)2 c1 1 3 2（ ， d13- ，12) 11（江華二中蔣團好）已知拋物線 c：28 y x = 的焦點為 f，準(zhǔn)線為 l，p 是 l 上一點，直線 pf 與曲線 c 相交于 m，n 兩點，若 3 , pf mf = 則|mn| a212 b323 c10 d11 12（祁陽一中王勇波）已知函數(shù)23( ) ln

7、ln 3xf x e x x kxe x x= + - -+有三個不同的零點，則 k 的取值范圍 a3(0, )4 b30, )4 c1 ,1)2 d3(2 3 4, )4- 二、填空題：（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分，請將答案填在答題卷中對應(yīng)題號后的橫線上） 13（祁陽一中王勇波）41( 1) xx- - 的展開式中，x 的系數(shù)為 （用數(shù)字作答） 14（江華二中蔣團好）已知雙曲線2213xy - = 的左、右焦點分別為1 2, , f f 點 p 在雙曲線上，且滿足1 22 5, pf pf + = 則1 2pff d 的面積為 15（祁陽一中王勇波）祖暅（456 年53

8、6 年）提出："冪勢相同，則積不容異'，意思是界于兩個平行平面之間的兩個立體圖形，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等,則這兩個立體的體積相等俗稱祖暅原理實際上早在公元 263 年我國魏晉大數(shù)學(xué)家劉徽在九章算術(shù)中就提及，劉徽為了求球的體積，創(chuàng)造性構(gòu)造了一個立體圖形：兩個底面半徑相同圓柱體（如圖一）垂直相交，它們的公共部分叫做牟合方蓋（如圖二），它的三視圖如圖三，作出此牟合方蓋的內(nèi)切球，并用任意水平平面截牟合方蓋與內(nèi)切球，得到它們的截面分別是正方形與圓（如圖四），且圓恰好是正方形的內(nèi)切圓，由此劉徽得出牟合方蓋的體積與它的內(nèi)切球的體積比是 （圖一） （圖二）

9、（圖三） （圖四） 16（祁陽一中王勇波）函數(shù) ( ) sin( )( 0)6f x xpw w = - > 在區(qū)間 ,2 ) p p 有最大值但無最小值，則 w 的取值范圍是 三、解答題：（本大題共 6 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟） 17（永州四中郭志成）（本小題滿分 12 分）已知數(shù)列 na 前 n 項和 s n 滿足2 2( )n ns a n n * = - Î， nb 是等差數(shù)列，且3 4 1 6 42 , a b b b a = - = （1）求 na 和 nb 的通項公式： （2）求數(shù)列2( 1) nnb - 的前 2n 項和2nt

10、 18（東安一中陳全偉）（本小題滿分 12 分）如圖，四棱錐 p abcd - ， / / ab cd ，90 bcd Ð = ° ， 2 2 4 ab bc cd = = = ， pab 為等邊三角形，平面 pab 平面 abcd ，q 為 pb 中點 （1）求證： aq 平面 pbc； （2）求二面角 b-pc-d 的余弦值 19（永州一中屈波）（本小題滿分 12 分）已知橢圓2 212 2: 1( 0)x yc a ba b+ = > > 的左、右焦點分別為1 2f f ， ，且2f 為拋物線22 :2 ( 0) c y px p = > 的焦點，2

11、c 的準(zhǔn)線交橢圓1c 于a b ， 兩點，且 | | 3 ab = ，2abf d 的周長為 8. （）求1c 和2c 的方程； （）已知直線 l 與拋物線2c 相切（切點異于原點），且 l 與橢圓1c 相交于 n m, 兩 點，若橢圓1c 上存在點 q，使得2 77om on oq + = ，求直線 l 的方程. 20（江永一中吳永波）（本小題滿分 12 分）某客戶準(zhǔn)備在家中安裝一套凈水系統(tǒng)，該系統(tǒng)為三級過濾，使用壽命為十年如圖所示，兩個一級過濾器采用并聯(lián)安裝，二級過濾器與三級過濾器為串聯(lián)安裝 其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn)在使用過程中，一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換（每個濾芯是否

12、需要更換相互獨立），三級濾芯無需更換，若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯，則一級濾芯每個 80 元，二級濾芯每個 160 元若客戶在使用過程中單獨購買濾芯，則一級濾芯每個 200 元，二級濾芯每個 400 元現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的俯視圖側(cè)視圖 正視圖qpcdba（第 18 題圖） 同時購濾芯的數(shù)量，為此參考了根據(jù) 100 套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表，其中圖是根據(jù) 200 個一級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的柱狀圖，表是根據(jù) 100 個二級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的頻數(shù)分布表 二級濾芯更換頻數(shù)分布表 二級濾芯更換的個數(shù) 5 6 頻數(shù) 60 40 以 200 個一級過濾器

13、更換濾芯的頻率代替 個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率，以 100個二級過濾器更換濾芯的頻率代替 個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率 （1）求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為 30 的概率； （2）記 x 表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的一級濾芯總數(shù)，求 x 的分布列及數(shù)學(xué)期望； （3）記 m，n 分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數(shù)若 28 m n + = ，且 5,6 nÎ ，以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據(jù)，試確定 m，n 的值 21（祁陽一中王勇波）（本題滿分 12 分）設(shè)函數(shù) ( ) sin

14、 , 0, 2f x ax x xp= - Î （1）討論 ( ) f x 的最大值； （2）設(shè) ( ) f x 1 3cosx - ,求 a 的取值范圍 請考生在 22、23 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，做答時，請用 2b 鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑 22（東安一中陳全偉）【選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】（本小題滿分 10 分） 在直角坐標(biāo)系 xoy 中，直線 l 的參數(shù)方程為1232x ty a tì= -ïïíï= +ïî（t 為參數(shù)， aÎr ），以坐標(biāo)原點為極點

15、，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 c 的極坐標(biāo)方程為 4cos r q = ，射線( ) 03q rp= ³ 與曲線 c 交于 o，p 兩點，直線 l 與曲線 c 交于 a b ， 兩點 （1）求直線 l 的普通方程和曲線 c 的直角坐標(biāo)方程； （2）當(dāng) ab op = 時，求 a 的值 23（江華一中汪峰）【選修 4-5：不等式選講】（本小題滿分 10 分）已知函數(shù) f（x）|xa|x2|，其中 a 為實常數(shù) （1）若函數(shù) f（x）的最小值為 3，求 a 的值； （2）若當(dāng) x1，2時，不等式 f（x）|x4|恒成立，求 a 的取值范圍 永州市 2021 年高考信息卷（一）

16、數(shù)學(xué)(理科)參考答案 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 a c b c c d a b a c b a 二、填空題：（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分，請將答案填在答題卷中對應(yīng)題號后的橫線上） 138 141 154p 164 5 16 11( , ( , 9 6 9 6 三、解答題：（本大題共 6 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟） 17解：（1） 2 2n ns a = - ， 當(dāng) 1 n= 時，得12

17、 a = ， 1 分 當(dāng) 2 n³ 時，1 12 2n ns a- -= - ， 作差得 12n na a-= ， ( 2) n ³ 所以數(shù)列 na 是以 2 為首項，公比為 2 的等比數(shù)列, 所以 2 nna = . 3 分 設(shè)等差數(shù)列 nb 的公差為 d ， 由3 4 12 a b b = - ，6 4b a = ， 所以18 3d b = - ，116 5d b = + ， 所以 3 d = ，11 b = ， 所以 3 2nb n = - . 6 分 （2）2 2 2 2 2 22 1 2 3 4 2 1 2( ) ( ) ( )n n nt b b b b b b

18、-= - + + - + +×××+ - + 1 2 3 4 2 1 23( ) 3( ) 3( )n nb b b b b b-= + + + +×××+ + 8 分 又因為 3 2nb n = - ， 1 2 3 4 2 1 2 1 2 23( ) 3( ) 3( ) 3( )n n nb b b b b b b b b-= + + + +×××+ + = + +×××+ 所以 21 222 ( )3 3 1 3 (2 ) 2 18 32nnn b bt n n n n+

19、= ´ = + ´ - = - . 12 分 18（本小題滿分 12 分） （1）證明：因為 / ab cd ， 90 bcd Ð = ° ， 所以 ab bc ， 又平面 pab 平面 abcd ， 且平面 pab 平面 abcd ab = ， 所以 bc 平面 pab ， 又 aq Ì 平面 pab ，所以 bc aq ， 因為 q 為 pb 中點，且 pab 為等邊三角形， 所以 pb aq ， 又 pb bc b = i ，所以 aq 平面 pbc 4 分 （2）解法一：取 ab 中點為 o ，連接 po ，因為 pab 為等邊三角形，

20、所以 po ab ， 由平面 pab 平面 abcd ，所以 po 平面 abcd ，所以 po od ， 由 2 2 4 ab bc cd = = = ， 90 abc Ð = ° ，可知 / od bc ，所以 od ab 以 ab 中點 o 為坐標(biāo)原點，分別以 , , oa od op 所在直線為 , , x y z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 o xyz - . 所以 ( ) ( ) ( ) 2,0,0 , 0,2,0 , 2,2,0 , a d c -( ) ( )0,0,2 3 , 2,0,0 p b - ， 所以 ( )( )2,2,0 , 0, 2,2

21、 3 , ad dp = - = - ( ) 2,0,0 cd = ， 由(1)知，可以 aquuur為平面 pbc 的法向量， 因為 q 為 pb 的中點，所以( )1,0, 3 q - ， 由(1)知，平面 pbc 的一個法向量為( )3,0, 3 aq = -uuur， 設(shè)平面 pcd 的法向量為 ( ) , , n x y z = ， 由0,0n cdn dpì× =ïí× = ïî得2 02 2 3 0xy z= ìïí -+ = ïî， 取 1 z = ，則( )

22、0, 3,1 n = ， 所以23 1cos ,43 3 3 1aq naq naq n×< >= = =+ × +uuur ruuur ruuur r ， 因為二面角 b pc d - - 為鈍角， ozyxqpcdbaqpcdba(第 18 題圖) 所以，二面角 b pc d - - 的余弦值為14- 12 分 解法二：過點 b 作 pc 的垂線 bh ，交 pc 于點 h ，連結(jié) dh .由解法一知 po 平面 abcd ， cd Ì 平面 abcd ，所以 po cd .由條件知 od cd ， 又 po od o = ，所以 cd 平面 po

23、d ， 又 pd Ì 平面 pod ，所以 cd pd ， 又 cd cb = ，所以 rt pdc rt pbc ， 所以 dh pc ， 由二面角的定義知，二面角 b pc d - - 的平面角為 bhd Ð . 在 rt pdc 中， 4, 2 pb bc = = ， 2 5 pc = ， 由 pb bc bh pc × = × ，所以4 2 4 55 2 5pb bcbhpc× ´= = = . 同理可得4 55dh = ， 又 2 2 bd = .在 bhd 中， 2 2 2cos2bh dh bdbhdbh dh+ -=

24、2 224 5( ) (2 2)154 4 52( )5+ -= = - . 12 分 19解：（1）由題得2234 8baaì= ïÞíï=î2, 3, =2 2 a b p c = = = ， 故2 221 2: 1, : 44 3x yc c y x + = = 4 分 （2）由題知 l 存在斜率且不為 0，設(shè) ), 0 ( : ¹ + = m n my x l ) , ( ), , ( ), , (0 0 2 2 1 1y x q y x n y x m 聯(lián)立24x my ny x= + ìÞ&#

25、237;=î24 4 0 y my n - - = ，因為 l 與2c 相切，故210 0 m n d = Þ + = hoqpcdba 聯(lián)立2 23 4 12x my nx y= + ìÞí+ =î2 2 2(3 4) 6 3 12 0 m y mny n + + + - = ， 方程的兩根為2 1 , yy ，所以 21 2 1 22 26 3 12,3 4 3 4mn ny y y ym m-+ = - =+ + 2 220 3 4 3 4 ( 4,1) n m n n d > Þ < + = - + &#

26、222; Î - ，又20 m n = - > ， 因此 ) 0 , 4 (- Î n 由2 77om on oq + = Þ1 2 01 2 02 772 77x x xy y yì+ =ïïíï+ =ïî由韋達定理代入， 得02024 73 43 73 4nxmmnymì=ïï +íï= -ï+ î， 而點 ) , (0 0y x q 在橢圓上，即2 20 03 4 12 x y + = ，代入得 2 2 22 22

27、 2 2 248 7 36 712 7 3 4, ( 4,0)(3 4) (3 4)n m nn m nm m´ ´+ = Þ = + Î -+ +，解得 1 n=- 或47n = （舍去） 故直線方程為 1 0 x y - + = 或 1 0 x y + + = 12 分 20解：（1）由題意可知，若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為30，則該套凈水系統(tǒng)中的兩個一級過濾器均需更換 12 個濾芯，二級過濾器需要更換 6 個濾芯設(shè)"一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為 30'為事件 因為一個一級過濾器需要

28、更換 12 個濾芯的概率為 04，二級過濾器需要更換 6 個濾芯的概率為 04， 所以 ( ) 0.4 0.4 0.4 0.064 p a = ´ ´ = （2）由柱狀圖可知，一個一級過濾器需要更換的濾芯個數(shù)為 10,11,12 的概率分別為02,02,04 由題意， 可能的取值為 20,21,22,23,24，并且 ( 20) 0.2 0.2 0.04 p x = = ´ =， ( 21) 0.2 0.4 2 0.16 p x = = ´ ´ =， ( 22) 0.4 0.4 0.2 0.4 2 0.32 p x = = ´ + &

29、#180; ´ =， ( 23) 0.4 0.4 2 0.32 p x = = ´ ´ =， ( 24) 0.4 0.4 0.16 p x = = ´ = 所以 的分布列為 x 20 21 22 23 24 p 0.04 0.16 0.32 0.32 0.16 20 0.04 21 0.16 22 0.32 23 0.32 24 0.16 22.4 ex = ´ + ´ + ´ + ´ + ´ = （3）【解法一】 因為 28, 5,6 m n n + = Î ，若 22, 6 m n = =

30、， 則該客戶在十年使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用的期望值為 22 80 200 0.32 400 0.16 6 160 2848 ´ + ´ + ´ + ´ =； 若23, 5 m n = = 則該客戶在十年使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用的期望值為 23 80 200 0.16 5 160 400 0.4 2832 ´ + ´ + ´ + ´ = 故, m n 的值分別為 23，5 【解法二】因為 28, 5,6 m n n + = Î ，若 22, 6 m n = = ， 設(shè)該客戶在十年使用期內(nèi)購買一級

31、濾芯所需總費用為 y 1 （單位：元），則 y 1 1760 1960 2160 p 0.52 0.32 0.16 11760 0.52 1960 0.32 2160 0.16 1888 ey = ´ + ´ + ´ = 設(shè)該客戶在十年使用期內(nèi)購買二級濾芯所需總費用為2y （單位：元），則 2 26 160 960, ( ) 1 960 960 y e y = ´ = = ´ = ， 所以該客戶在十年使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用的期望值為 1 2( ) ( ) 1888 960 2848 e y e y + = + = 若 23, 5 m n

32、 = = 。 設(shè)該客戶在十年使用期內(nèi)購買一級濾芯所需總費用為 z 1 （單位：元），則 z 1 1840 2040 p 0.84 0.16 1( ) 1840 0.84 2040 0.16 1872 e z = ´ + ´ = 設(shè)該客戶在十年使用期內(nèi)購買二級濾芯所需總費用為 z 2 （單位：元），則 z 2 800 1200 p 0.6 0.4 2( ) 800 0.6 1200 0.4 960 e z = ´ + ´ = 所以該客戶在十年使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用的期望值為 1 2( ) ( ) 1872 960 2832 e z e z + =

33、+ = 故, m n 的值分別為 23，5 21解：（1） "( ) cos f x a x = - ， 當(dāng) a1 時， "( ) cos f x a x = - 0， ( ) f x 在 0, 2p上單調(diào)遞增，x2p時， ( ) f x 的最大值是 12ap- ； 當(dāng) a0 時， "( ) cos f x a x = - 0， ( ) f x 在 0, 2p上單調(diào)遞減，x0 時， ( ) f x 的最大值是 0； 當(dāng) 0a1 時，存在 x 0 0, 2p有0 0"( ) cos 0 f x a x = - = ，當(dāng)0(0, ) x x Î 時

34、，"( ) 0 f x < ， ( ) f x 單調(diào)遞減；當(dāng)0( , )2x xpÎ 時， "( ) 0 f x > ， ( ) f x 單調(diào)遞增則 ( ) f x 的最大值是 (0) f 與 ( )2fp的較大者，若 12ap- 0，即2pa1， ( ) f x 有最大值12ap- ；若 0a2p， ( ) f x 有最大值 0 綜上所述，當(dāng) a2p時， ( ) f x 有最大值是 12ap-； 當(dāng) a2p時， ( ) f x 有最大值是 0 （2）由 ( ) 1 3cos f x x ³ - ，得 sin 3cos 1 ax x x ³ - +， 若 x=0 不等式顯然成立， 當(dāng) 0x2p，得sin 3cos 1 x xax- +³ ，令sin 3cos 1( )x xg xx- += ， 2( 3 1)sin ( 3)cos 1"( )x x x xg xx- + + -= ， 令 ( ) ( 3 1)sin ( 3)cos 1 h x x x x x = - + + - ， "