導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義_基礎(chǔ)

1、導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)的概念1 導(dǎo)數(shù)的概念設(shè)函數(shù) y=f (x) ，當(dāng)自變量 x從 x0變 x1時(shí)，函數(shù)值從 f x0 變到 f x1 ，函數(shù)值關(guān)于 x的平均變化率為y f x1 f x0 f x0 x f x0 ，=，xx1 x0x當(dāng) x1趨于 x0，即 x趨于 0 時(shí)，如果平均變化率趨于一個(gè)固定的值，那么這個(gè)值就是函數(shù)y=f (x)在 x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，通常用符號(hào) f ' x0 表示，記作f x0 lim yx 0 xlimx0要點(diǎn)詮釋：(1) 導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率如瞬時(shí)速度即是位移在這一時(shí)刻的瞬間 變化率(2) 對(duì)于不同的實(shí)

2、際問(wèn)題，平均變化率富于不同的實(shí)際意義如位移運(yùn)動(dòng)中，位移S從時(shí)間 t1到 t2的平均變化率即為 t1 到 t2 這段時(shí)間的平均速度(3) 增量 x可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0 x 0的意義： x與 0之間距離要多近有多近，即| x 0|可以小于給定的任意小的正數(shù)( 4) x 0時(shí) ，y 在變 化中都 趨 于 0， 但它 們 的比值 卻趨于 一個(gè)確 定的常數(shù) 即存 在一個(gè) 常數(shù)與 y f (x0 x) f(x0) 無(wú)限接近xx(5)函數(shù) y=f (x)在 x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)還可以用符號(hào) y'|x x0 表示 要點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的幾何意義f ' x0 表示曲線 y=f (x)在 x

3、x0處的切線的斜率，即f ' x0 = tan ( 為切線的傾斜角)已知點(diǎn) P(x0,y0)是曲線 y=f ( x)上一定點(diǎn)，點(diǎn) Q(x0 x, y0y)是曲線 y=f (x)上的動(dòng)點(diǎn)，我們知道平均變化率 y表示割線 PQ 的斜率如圖所示： x當(dāng)點(diǎn) Q 無(wú)限接近于點(diǎn)P，PT 叫做曲線在點(diǎn) P 處的切線也就是：當(dāng)x 0 時(shí)，割線 PQ 斜率的極限，就是切線的斜率即：k lim yx 0 xlim f (x0x0x) f ( x) xf (x0) 要點(diǎn)詮釋：（1）曲線上一點(diǎn)切線的斜率值只與該點(diǎn)的位置有關(guān)（2）關(guān)于切線有兩種不同的說(shuō)法，求法也不同，具體求法與步驟參考類型二：曲線在點(diǎn) P處的切

4、線：點(diǎn) P 在曲線上，在點(diǎn) P處作曲線的切線（ P是切點(diǎn)），此時(shí)數(shù)量唯一如圖 1曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn) P 處的切線：點(diǎn) P 位置不確定（在曲線上或曲線外） ，過(guò)點(diǎn) P 作曲線上任意位置的切線（只要切線經(jīng)過(guò)點(diǎn) P即可），數(shù)量不唯一如圖 2，無(wú)論點(diǎn) P 在曲線上還是曲線外， 過(guò)點(diǎn) P都可以作兩條直線 l1 、 l2與曲線相切(3) 直線與曲線相切 直線和曲線有 1 個(gè)公共點(diǎn)；有別于直線和圓，如圖，直線 l2與曲線 C有唯一公共點(diǎn) M ，但我們不能說(shuō)直線 l 2與曲線 C 相切；而直線 l 1盡 管與曲線 C 相切，卻有不止一個(gè)公共點(diǎn)這也是我們用割線的極限位置來(lái)定義切線，而不說(shuō) “與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線叫

5、做切線 ”的原因在物理學(xué)中，如圖物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律是 s=s t ，那么該物體在時(shí)刻 t0的瞬時(shí)速度 v就是 s=s t 在t=t0 時(shí)的導(dǎo)數(shù)，即v= s' t0 ；如果物體運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間變化的規(guī)律是 v v t ，那么物體在時(shí)刻 t0的瞬時(shí)加速度 a就是 v v t 在t =t0時(shí)的導(dǎo)數(shù)，即 a v' t0 要點(diǎn)詮釋： f '(x0) 表示函數(shù) f (x)在 x0處的瞬時(shí)變化率，而在很多物理量中都是借助變化率來(lái)定義的比如，瞬時(shí) 角速度是角度 t 對(duì)時(shí)間 t 的變化率；瞬時(shí)電流是電量 Q t 對(duì)時(shí)間 t 的變化率；瞬時(shí)功率是功 W t 對(duì)時(shí)間 t 的變化 率；瞬時(shí)電動(dòng)勢(shì)是

6、磁通量 t 對(duì)時(shí)間 t 的變化率最常用的是瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度【典型例題】 類型一：導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用例 1 用導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù) y f ( x)1 在 x=1 處的導(dǎo)數(shù)思路點(diǎn)撥】三步法求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值解析】先求增量： y f (1 x) f (1)1xlim f (x0x) f (x0)x011x11x1x(1x1x) 1(1 1x) 1x再求平均變化率：y1x(1 1x) 1x求極限，得導(dǎo)數(shù)：f '(1)lim y1x 0 x2【總結(jié)升華】利用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值，有三步，即三步求導(dǎo)法（1）求函數(shù)的增量：yf (x0x) f (x0)；（2）求平均變化率：yf (x0x) f(x

7、0)；xx；x求極限，得導(dǎo)數(shù)：3），具體步驟如下：f '(x0) lixm0 yx舉一反三：變 式 1】 已 知 函 數(shù)x的圖象上的點(diǎn) A( 1, 2) 及 臨 近 一 點(diǎn) B( 1x, 2 y) ， 則f'1=解析】( 1 x)2 ( 1x)，(1x)2 ( 1 x)x，=3= f '(1) lixm0 yx lixm0 3變式 2】求函數(shù)f （x） 3x2在 x=1 處的導(dǎo)數(shù)解析】f (1 x) f (1) 3(1 x)26x3( x)2 ，6 x 3( x)2lim(6 3x) 6，即 f (1) 6 函數(shù) f (x)3x2在x 1 處的導(dǎo)數(shù)為 6 變式 3】求函

8、數(shù) f xx在 x 1附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)解析】 y f (x0x)f (x0 )( 1 x)2 ( 1 x) 2 3 x ( x)2 ，3 x ( x)2 3x，limxy lim(3 x)0 x x 03例 2 已知函數(shù)x2 ，求 f (x)解析】先求增量：(x4x)24 x(2 xx)22x2 (xx)2再求平均變化率：4(2xx2(xx) x)2求極限，得導(dǎo)數(shù)：y'lixm0 yxlixm04(2 x x)x2 ( xx)【總結(jié)升華】求導(dǎo)數(shù)的步驟和求導(dǎo)數(shù)值的步驟一樣，叫三步法求導(dǎo) 舉一反三：變式 1】求函數(shù)1y x 在 (0,）內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)解析】 y11x x

9、xxxxx x x x( x x x )( x x x x x ( xxx x x x ( x x x)1x x x ( x x x)1 1 1 32x 0 x x x ( x x x ) x 2 x 2 變式 2】已知 f(x) x 2 ，求 f '(x)， f '(2)解析】yxx 2 x 2，所以yxx 2 x 2xx( x x 2) (x 2)x( x x 2 x 2)1x x 2 x 2f '( x) y當(dāng) x 2 時(shí)， f '(2)例 3 若 f '(x0) 2，則 lkim0 f (x0 k2)k f (x0)思路點(diǎn)撥】解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義：

10、mlif(x0) (這時(shí)增量 x k )，所以 lkim0 f(x0 k2)k f (x0)mli)xf1 lim fx0 ( k) f (x0)2 lkim0k1.思路點(diǎn)撥】1) 有一種錯(cuò)誤的解法：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義：mlif (x0 ) (這時(shí)增量x k )，mlix0(f)x0( fm0lik1)x 選擇哪種形式， y 也必須選擇與之相對(duì)應(yīng)的形2) 在導(dǎo)數(shù)的定義中，增量x 的形式是多種多樣的，但不論 式利用函數(shù) f(x)在 x x0處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式恒等變形為導(dǎo)數(shù)定義的形式概念是解決問(wèn)題的重要依據(jù)，只有熟練掌握概念的本質(zhì)屬性，把握其內(nèi)涵與外延，才能靈活地應(yīng)用概念進(jìn)行解題 舉一

11、反三：變式 1】函數(shù) f(x)滿足 f '(1) 2 ，則當(dāng) x無(wú)限趨近于 0時(shí)，f (1 x) f (1)2x2) f (1 2x) f (1) x答案】( 1)(2)lim f (1x0x) f (1)2x1lim f (1x)xf (1)112 f '(1) 1lim f (1x02x)xf (1)2lim f (1x02x)2xf (1)2f '(1) 4變式 2】若 f '( x0) a1)求 lixm0f x0f x0的值；f ( x0x) f ( x0x)2)求 lim0 0 的值x 0 x答案】x0fmli變式 3】設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0

12、 處可導(dǎo)，則)mlix0(fmlifx0 x fx0f ( x0x)f ( x0x)2 limx0xx0xflimx0 xf x0limf ( x0x)f ( x0x)x0xx01x( x)2f ( x0x)f ( x0x)f '(x0 )2 limx02xa2f '(x0)2a1 f '(x0) lim f (x0 h) f (x0)2 0 h 0 h12 f '(x0) f '(x0) f '(x0) 類型二：求曲線的切線方程例 4 求曲線 y x2 1在點(diǎn) P 1，2 處的切線方程P( 1， 2)處的切線的斜率等于函數(shù) y x2 1在 x

13、1 處的導(dǎo)數(shù)值，【思路點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在點(diǎn) 再利用直線的點(diǎn)斜式方程寫出切線方程【解析】先求切線的斜率 f ' 122y 1+ x 1 12 1lim lim lim x+2 =2 ， x 0 x x 0 x x 0由條件可知 f 1 =2 ，由點(diǎn)斜式可得，過(guò)點(diǎn) P 的切線方程為：y 2 2(x 1)，即 y 2x【總結(jié)升華】求曲線 y f x 在 x x0 處切線的步驟：(1)先求 f ' x0 ，即曲線 y f x 在 P(x0，f ( x0 )處切線的斜率( 2)再求 f x0 ，則切線過(guò)點(diǎn) x0，f x0 ；2)最后由點(diǎn)斜式寫出直線方程： y f x0 =f

14、 (x0)(x x0) 特別的，如果 yx 在點(diǎn) (x0，f (x0) 處的切線平行于y 軸(此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在)時(shí)，由切線定義知：切線方程為： x x0 舉一反三：21【變式】求曲線 y x25 上一點(diǎn) x 2處的切線方程x【答案】先求 y'|x 2 ：y(2x)212xy4x1x2(2x)ylimx0yxlim(4x再求 y|x 2212x，22+4 xx22(2 x)1115)4=2(2 x)442 1 19 y|x 2=22 2 5= 2 由點(diǎn)斜式得切線方程：9 15y- x-2 ，即 15x 4y 8 0 24高清課堂： 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 385147 例 2】例 5求曲線 f x

15、 x3 經(jīng)過(guò)點(diǎn) P(1,1)的切線方程思路點(diǎn)撥】本題要分點(diǎn) P(1,1)是切點(diǎn)和 P(1,1)不是切點(diǎn)兩類進(jìn)行求解解析】第一步：先求導(dǎo)函數(shù)lim yx 0 xlim f (xx0x) f (x)xlim (xx033 x )x3 2 2 3 3 x 3x g x +3x g x + x x = limx 0 x22= lim 3 x +3x g x+3 x x0=3x第二步：驗(yàn)證點(diǎn) P(1,1)是否在曲線上由于 f 1 1，所以 P 在曲線上 第三步：分類討論若點(diǎn) P 是切點(diǎn)，則切線的斜率為 f ' 1 3，于是切線方程為 y 1 3(x 1)，即 y 3x 2 ； 若點(diǎn) P 不是切點(diǎn)

16、，設(shè)切點(diǎn)為 x0 , x03 x0 1 2 3 2則切線的斜率為 f ' x0 3x0 2 ，于是切線方程為： y x03 3x02 (x x0) 由于切線經(jīng)過(guò)點(diǎn) P(1,1)，于是有 1 x03 3x02(1 x0) ，整理得：3 2 3 2 2 3 2 2 22x03x0 +1=2x02x0+x0+1=2x02x0x01 =2x0x0 1x0 +1x012 2 1= x012x02x01 =x012x0 +1 =0 ，解得 x0或 x01(舍去)0 0 0 0 0 21 313 1所以切線方程是 y+1 3(x+1)，即 y 3 x 1 8 424 431綜上所述，所求切線方程為

17、y 3x 2或 yx 44思路點(diǎn)撥】求曲線 f x 經(jīng)過(guò)點(diǎn) P x0， y0 的切線方程的一般步驟：1)求導(dǎo)函數(shù) f ' x ；2)驗(yàn)證點(diǎn) P 是否在曲線上：計(jì)算 f x0 ，觀察 f x0 =y0 是否成立；3) 分類討論：若 f x0 =y0 ，則 P 是切點(diǎn)，切線唯一，方程為 y f x0 =f (x0)(x x0 )：若 f x0 y0 ，則 P 不是切點(diǎn)，求切點(diǎn)：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 a，f a ，則切線方程 y f a =f (a)(x a) ，代入點(diǎn) P x0， y0 坐標(biāo)，求出 a 的值(注意a x0 )，可得切線方程舉一反三：【變式 1】 已知函數(shù) f (x) x3 3x ，

18、過(guò)點(diǎn) (2, 2)作函數(shù)圖象的切線 求切線方程 【解析】先求導(dǎo)函數(shù)：f ( x) lim y 3x2 3x 0 x再驗(yàn)證：f (2) 23 3 2=2 ，所以點(diǎn) (2,2)在函數(shù) f (x) 圖象上最后討論：(1)當(dāng)點(diǎn) (2, 2)是切點(diǎn)時(shí)，切線的斜率為 f (2) 9 ，則切線方程為： 9x y 16 0 (2)當(dāng)點(diǎn) (2, 2)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 (x0,x03 3x0) 則切線的斜率為 f(x0)3x023( x02 )，所以切線方程為 y(x033x0)=3x023 (xx0) 代入點(diǎn) (2, 2)得： 2 (x30 3x0)= 3x02 3 (2 x0)x01，3 2 2 整理

19、得： x03 3x02 4 0 (x0 1)(x0 2) 2 0此時(shí)切線方程為 y 2 綜上所述，所求的切線方程為 9x y 16 0或 y 2 1變式 2】已知曲線 y x( 1)求曲線過(guò)點(diǎn) A 1，0 的切線方程；12)求滿足斜率為 的曲線的切線方程3解析】 y'= lim f (x x) f (x) lim 1x 0 x x 0x x x(1)由于點(diǎn) A 不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為a, 1 ，a111則切線的斜率為 y'|x a = 2 ，切線方程為 y2 (x a) ，aaa1將 A 1，0 代入，得 a 21所以所求的切線方程為 y 4x 412)令12x13 ，解得x

20、3所以斜率為 13的切線的切點(diǎn)為3, 3 或33,所以所求的切線方程為 y233或233高清課堂： 導(dǎo)數(shù)的幾何意義385147例 3】變式 3】設(shè)函數(shù) f(x) x3 2ax2 bxa， g(x)x23x2（其中 x R ， a, b為常數(shù)）已知曲線 y f （x）與 y g（x）在點(diǎn)（ 2， 0）處有相同的切線l求 a, b的值，并寫出切線 l 的方程答案】 f '(2) lim f (2+ x) f(2)x03= lim (2 x)3 2a(2x023x)2 b(2 x) a (23 8a 2b a) xlixm0 12 8a b 62( x)2 12 8a bg'(2) limxg(2+ x) g(2)0= lixm0(2 x)2 3(2x)2 (22 3 2 2)lixm0(1x)x0由條件可知： f （2）0且 f '(2) g'(2)