2010-2019高考數學真題分類匯編第30講排列與組合

1、專題十計數原理第三十講排列與組合、選擇題1.（2018 全國卷n）我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果哥德巴赫猜想是 每個大于 2 的偶數可以表示為兩個素數的和”如30 = 7+23在不超過 30 的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于30 的概率是1A .121B .14C1.151D .182. （ 2017 新課標n）安排 3 名志愿者完成完成，則不冋的安排方式共有4 項工作， 每人至少完成1 項,每項工作由 1 人A . 12 種B . 18 種C . 24 種D . 36 種3. （ 2017 山東）從分別標有1,2，9的9張卡片中不放回地隨機抽取2 次，每次

2、抽取1 張則抽到的 2 張卡片上的數奇偶性不同的概率是5457A.B.C. D.-189994.（2016 年全國 II）如圖，小明從街道的 E 處出發(fā)，先到 F 處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為5.（ 2016 四川）用數字 1 , 2, 3, 4, 5 組成沒有重復數字的五位數，其中奇數的個數為A . 24B . 48C . 60D . 726.（ 2015 四川）用數字 0, 1 , 2, 3, 4, 5 組成沒有重復數字的五位數，其中比40000 大的偶數共有A . 144 個B . 120 個C . 96 個D . 72

3、 個7.（2014 新課標 1） 4 位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為1357A .B .C .D . 一8888A. 24.二口K J1-B . 18C. 128 . （2014 廣東）設集合A x1,x2,x3,x4,x5XiT,0冷，i =1,2,3,4,5f，那么集合 A 中滿足條件“1蘭音+X2+ X3+|刈+卜5蘭3”的元素個數為A.60B. 90 C. 120D . 1309. （ 2014 安徽）從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60的共有A . 24 對 B . 30 對 C . 48 對 D .

4、 60 對10 .（ 2014 福建）用a代表紅球，b代表藍球，C代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個紅球和 1 個籃球中取出若干個球的所有取法可由1 a 1 b的展開式1 a b ab表示出來，如：“ 1 ”表示一個球都不取、“a”表示取出一個紅球，面“ab”用表示把 紅球和籃球都取出來以此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從5 個無區(qū)別的紅球、從 5 個無區(qū)別的藍球、5 個有區(qū)別的黑球中取出若干個球，且所有的籃球都取出或 都不取出的所有取法的是A .1 +a +a2+a3+a4+a5創(chuàng) +b5（1+c5B.1a51 b b2b3b4b51c5C .1 a51 b b2b3b4b51c5

5、D .1 a51 b51 c c2c3c4c511 . （2013 山東）用 0, 1，9 十個數學，可以組成有重復數字的三位數的個數為A. 243B. 252C. 261D. 27912 . （2012 新課標）將 2 名教師，4 名學生分成 2 個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由 1 名教師和 2 名學生組成，不同的安排方案共有則不同的取法共有14 . （2012 山東）現有 16 張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4 張，從中任取 3 張，要求這 3 張卡片不能是同一種顏色，并且紅色卡片至多 1 張，不同取法的種數是A. 12 種B. 10 種C . 9

6、 種D . 8 種13 . （2012 浙江）若從1, 2, 3，9 這 9 個整數中同時取4 個不同的數，其和為偶數,A. 60 種B. 63 種C.65 種D. 66 種A . 232B. 252C . 472D. 48415 . （2010 天津）如圖，用四種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F 六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法用固定.每個彩燈閃亮只能是紅、橙、黃、綠、藍中的一種顏色，且這5 個彩燈閃亮的顏色各不相同，記這 5 個彩燈有序地閃亮一次為一個閃爍.在每個閃爍中，每秒鐘有且只有一個彩燈閃亮，而相鄰兩個閃爍的時間間隔均為5

7、秒。如果要實現所有不同的閃爍，那么需要的時間至少是18 . （2010 湖北）現安排甲、乙、丙、丁、戌5 名同學參加上海世博會志愿者服務活動，每人從事翻譯、導游、禮儀、司機四項工作之一，每項工作至少有一人參加。甲、乙不會 開車但能從事其他三項工作，丙丁戌都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數是A . 152 B. 126 C. 90 D. 54、填空題19 . （2018 全國卷I）從 2 位女生，4 位男生中選 3 人參加科技比賽，且至少有 1 位女生入選，則不同的選法共有種.（用數字填寫答案）20 . （2018 浙江）從 1, 3, 5, 7, 9 中任取 2 個數字，從 0, 2, 4

8、, 6 中任取 2 個數字，一共可以組成 _個沒有重復數字的四位數.（用數字作答）21 . （2017 浙江）從 6 男 2 女共 8 名學生中選出隊長 1 人，副隊長 1 人，普通隊員 2 人組成4 人服務隊，要求服務隊中至少有1 名女生，共有_種不同的選法.（用數字作A. 288 種B. 264 種16.（2010 山東） 某臺小型晚會由 兩位、節(jié)目乙不能排在第一位, 排方案共有A. 36 種B. 42 種C. 240 種D . 168 種6 個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前節(jié)目丙必須排在最后一位，該臺晚會節(jié)目演出順序的編C. 48 種17 . （2010 廣東）為了迎接

9、2010 年廣州亞運會，某大樓安裝D . 54 種5 個彩燈，它們閃亮的順序不A . 1205 秒B. 1200 秒C. 1195 秒D. 1190 秒答）22.（2017 天津）用數字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 組成沒有重復數字，且至多有一個數字是偶數的四位數，這樣的四位數一共有 _ 個.（用數字作答）23.（2015 廣東）某高三畢業(yè)班有40人，同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那 么全班共寫了 _ 條畢業(yè)留言.（用數字作答）24 （ 2014 浙江）在 8 張獎券中有一、二、三等獎各1 張，其余 5 張無獎.將這 8 張獎券分配給 4 個人，每人 2 張，

10、不同的獲獎情況有 _種（用數字作答）.25.（2014 北京）把 5 件不同產品擺成一排， 若產品A與產品B相鄰，且產品A與產品C不相鄰，則不同的擺法有 _ 種.26.（2014 廣東）從 0,123,4,5,6,7,8, 9 中任取七個不同的數，則這七個數的中位數是6 的概率為_ .27._（2014 江西）10 件產品中有 7 件正品、3 件次品，從中任取 4 件，則恰好取到 1 件次品 的概率是.28._ （2013 北京） 將序號分別為 1, 2, 3, 4, 5 的 5 張參觀券全部分給 4 人，每人至少一張， 如果分給同一人的兩張參觀券連號，那么不同的分法種數是 _ .29.（20

11、12 湖北） 回文數是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數.如22, 121, 3443,94249 等.顯然 2 位回文數有 9 個：11, 22, 33,，99. 3 位回文數有 90 個：101, 111, 121,，191, 202,，999.則（I）4 位回文數有_ 個；（H）2n 1（n N .）位回文數有_ 個.30.給n個自上而下相連的正方形著黑色或白色.當n一4時，在所有不同的著色方案中， 黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示：M.1 ,H B E由此推斷，當n=6時，黑色正方形互不相鄰.的著色方案共有 _ 種，至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有 _ 種，（結果用數值

12、表示）31.（2013 新課標 2）從n個正整數 1 , 2,，n中任意取出兩個不同的數，若取出的兩數一_一1之和等于 5 的概率為一，則 n =_.1432. （2013 浙江）將A, B,C,D,E,F六個字母排成一排，且 代B均在C的同側，則不同的排法共有_ 種（用數字作答）.33.（ 2010 浙江）有 4 位同學在同一天的上、 下午參加 身高與體重”、立定跳遠”、肺活量”、握力”、臺階”五個項目的測試，每位同學上、下午各測試一個項目，且不重復若上午不測 握力”項目，下午不測 臺階”項目，其余項目上、下午都各測試一人 則不同的 安排方式共有_ 種（用數字作答）.專題十計數原理第三十講排

13、列與組合答案部分1.C【解析】不超過 30 的素數有 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29，共 10 個，從中隨機選取兩個不同的數有C20種不同的取法，這 10 個數中兩個不同的數的和等于30 的31有 3 對，所以所求概率P二肓1，故選 C.C10152.D【解析】由題意可得，一人完成兩項工作，其余兩人每人完成一項工作，據此可得，只要把工作分成三份：有C2種方法，然后進行全排列，由乘法原理，不同的安排方式23共有C4A3=36種.故選 D.1 13.C【解析】不放回的抽取 2 次有C9C8=9 8 =72，如圖2, 3, 4, 5, 6,乙8, 91, 3,

14、4, 5, 6, 7, 8, 9可知（1,2）與（2,1）是不同，所以抽到的 2 張卡片上的數奇偶性不同有2C；C4=40,所求405概率為7281、3、5 中任選一個,一4 54B【解析】由題意可知E F有 6 種走法，F G有 3 種走法，由乘法計數原理知，共有6 3=18種走法，故選 B .5D【解析】由題意，要組成沒有重復的五位奇數，則個位數應該為數為(1 a a2a3a4a5) (1 b5) (1 c)5.有A3種方法，其他數位上的數可以從剩下的4 個數字中任選，進行全排列，有A4種方法，所以其中奇數的個數為A3A4=72，故選 D .6.B【解析】據題意，萬位上只能排4、5若萬位上

15、排 4，則有2 A：個；若萬位上排 5,333則有3代 個.所以共有2 A43 A4=5 24 =120個，選 B.24-277.D【解析】P 2 8& D【解析】易知I人I I X2I |X3| | X4| | X51 或 2 或 3,下面分三種情況討論. 其一：| X!| |X2| I X3I|X4II X51，此時，從X1,X2, X3.X4.X5中任取一個讓其等于1或-1，其余等于 0,于是有c；c；=10種情況；其二：IX1I IX2I IX3I IX4I IX52, 此時，從X1,X2, X3,X4, X5中任取兩個讓其都等于 1 或都等于-1 或一個等于 1、另一個 等于

16、-1，其余等于 0，于是有2C；+C；c2=40種情況；其三：I X1I IX2I I X31 IX4I I X53，此時，從X1.X2, X3.X4.X5中任取三個讓其都等于1 或都等于-1 或兩個等于 1、另一個等于-1 或兩個等于-1、另一個等于 1,其余等于0,于是有2C；+cfc3+c55cf=80種情況由于10+40+80 = 130.(1 a a2a3a4a5)種不同的取法；第二步，5 個無區(qū)別的籃球都取出或都不取9. c【解析】直接法：如圖，在上底面中選BD1，四個側面中的面對角線都與它成60,共 8 對，同樣AC!對應的也有 8 對,有32對； 左右側面與前后側面中共有 對.

17、間接法：正方體的 12 條面對角線中,成角為60，所以成角為60的共有C|2 -12-6 =48.10. A【解析】分三步：第一步5 個無區(qū)別的紅球可能取出0 個，1 個，5 個，則有下底面也有 16 對，這共16 對，所以全部共有 48任意兩條垂直、平行或數為(1 a a2a3a4a5) (1 b5) (1 c)5.5出，則有(1 b )種不同的取法；第三步，5 個有區(qū)別的黑球看作 5 個不同色，從 5 個不同色的黑球任取 0 個，1 個，5 個，有(1 c)5種不同的取法，所以所求的取法種11.B【解析】能夠組成三位數的個數是9X10X10=900,能夠組成無重復數字的三位數的個數是 9X

18、9X8 =648.故能夠組成有重復數字的三位數的個數為900一648二252.12.A【解析】先安排 1 名教師和 2名學生到甲地，再將剩下的1 名教師和 2 名學生安排到 乙地，共有C；C：=12種.13.D【解析】和為偶數，則 4 個數都是偶數，都是奇數或者兩個奇數兩個偶數，則有C44C54C2C5-1 5 666種取法.14.C 【解析】 若沒有紅色卡片，則需從黃、藍、綠三色卡片中選3 張，若都不同色則有111 2 12 1C4漢C4漢C4=64,若 2 張同色， 則有C3漢C2漢C4匯C4=144， 若紅色 1 張， 其余 2 張不同色，則有c4C4 =192，其余 2 張同色則有c4

19、xc；xc2=72，所以 共有64+144+192+72=472 .332116x：15x：14另解 1：C；6-4C：-C：C；216 72 = 560 88 = 472,答案應選 C.612 11 10 12 11另解 2：C0G：-3C：C1C2 =-12 4 =220 264 12 = 472.6 2415.B【解析】B , D , E, F 用四種顏色，則有A41 1=24種涂色方法；B , D , E, F 用33三種顏色，則有A42 2 A42 1 2=192種涂色方法；B, D, E, F 用兩種顏色，則有A 2 2=48種涂色方法；所以共有 24+192+48=264 種不同

20、的涂色方法.16.B【解析】分兩類：一類為甲排在第一位共有A4=24種，另一類甲排在第二位共有A3A|=18種，故編排方案共有24+18 = 42種，故選 B .17.C.【解析】共有 5! =120 個不同的閃爍，每個閃爍要完成5 次閃亮需用時間為 5 秒，共 5 120=600 秒；每兩個閃爍之間的間隔為5 秒，共 5 （120 1）=595 秒。那么需要的時間至少是 600+ 595=1195 秒.18.C【解析】由于五個人從事四項工作，而每項工作至少一人，那么每項工作至多兩人，因為甲、乙不會開車，所以只能先安排司機，分兩類：（1）先從丙、丁、戊三人中任選一人開車；再從其余四人中任選兩人

21、作為一個元素同其他兩人從事其他三項工作，共123有C3C4A3種.（2）先從丙、丁、戊三人中任選兩人開車：其余三人從事其他三項工作，共有C3A3種.所以，不同安排方案的種數是C3C4A3+C3A3=126 （種）.故選 C .219.16【解析】通解 可分兩種情況：第一種情況，只有1 位女生入選，不同的選法有1 2 2 1C2C4=12（種）；第二種情況，有 2 位女生入選，不同的選法有C2C4 =4（種）. 根據分類加法計數原理知，至少有I 位女生人選的不同的選法有 16 種.優(yōu)解 從 6 人中任選 3 人，不同的選法有C；=20（種），從 6 人中任選 3 人都是男生， 不同的選法有C4=

22、4 （種），所以至少有 1 位女生入選的不同的選法有20-4 =16 （種）.20.1260【解析】若取的 4 個數字不包括 0，則可以組成的四位數的個數為C5C3A4；若取的 4 個數字包括 0,則可以組成的四位數的個數為C；C；C3A3.綜上，一共可以組成的沒有重復數字的四位數的個數為C2C2A：+C；C3C；A3=720+ 540 =1 260 .4421.660【解析】分兩步，第一步，選出 4 人，由于至少 1 名女生，故有C8-C6= 55種不同的選法；第二步，從 4 人中選出隊長、副隊長各一人，有A4=12種不同的選法，根據分步乘法計數原理共有55 12二660種不同的選法.134

23、422.1080【解析】分兩種情況，只有一個數字為偶數有C4C5A4個，沒有偶數有A5個，所 以共有 岸+。4。5 =1080個.23.1560【解析】由題意A =1560，故全班共寫了 1560 條畢業(yè)留言.24.60【解析】分情況：一種情況將有獎的獎券按2 張、1 張分給 4 個人中的 2 個人，種數2 123為C3C1A4-36；另一種將 3 張有獎的獎券分給 4 個人中的 3 個人，種數為A4-24, 則獲獎情況總共有 36 +24 =60 （種）.225.36 !解析】將 A、B 捆綁在一起，有A種擺法，再將它們與其他 3 件產品全排列，有A44種擺法，共有A22A4=48 種擺法，

24、而 A、B、C 3 件在一起，且 A、B 相鄰，A、C 相鄰 有 CAB、BAC兩種情況，將這 3 件與剩下 2 件全排列，有2 A3=12種擺法，故 A、 B 相鄰，A、C 不相鄰的擺法由 48-12=36 .C3C326.1【解析】6 之前 6 個數中取 3 個，6 之后 3 個數中取 3 個，P=6 =1；6C06；127.【解析】從 10 件產品中任取 4 件共有C：0=210 種不同取法，因為 10 件產品中有 7件正品、3 件次品，所以從中任取4 件恰好取到 1 件次品共有C；C/=1O5種不同的取法，故所求的概率為p = I05=丄.210 228.96【解析】5 張參觀券分成 4 堆，有 2 個聯號有 4 種分法，每種分法分給 4 個人有A種 方法，總共有4A：=96.29.解析】(I)4 位回文數只用排列前面兩位數字，后面數字就可以確定，但是第一位不能為 0,有 9( 19)種情況，第二位有 10(09)種情況，所以 4 位回文數有9 10 = 90種.答案：90(n)法一、由上面多組數據研究發(fā)現，2n 1位回