高等數(shù)學(xué)第六版(同濟(jì)版)第十二章復(fù)習(xí)資料

1、 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 引言： 一、無(wú)窮級(jí)數(shù)簡(jiǎn)介：無(wú)窮級(jí)數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要組成部分，是表示函數(shù)，特別是表示非初等函數(shù)的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具，與極限理論并稱(chēng)為數(shù)學(xué)分析兩大理論. 二、分類(lèi)： 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：它是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特殊情況，又是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基礎(chǔ). 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：它是研究函數(shù)性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的重要手段 第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì) 一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的相關(guān)概念 1.引例：關(guān)于圓的面積問(wèn)題：求半徑為的圓的面積 首先作圓的內(nèi)接正六邊形，算出其面積，得到圓面積的一個(gè)近似值：. 然后，以正六邊形的每一邊為底分別作一個(gè)頂點(diǎn)在圓周上的等腰三角形，算出這6個(gè)等腰角形面積之和，得到圓面積的一個(gè)近似值：，即正

2、十二邊形的面積 再次，以正十二邊形的每一邊為底分別作一個(gè)頂點(diǎn)在圓周上的等腰三角形，算出這12個(gè)等腰三角形的積，得到圓面積的一個(gè)近似值：，即正二十四邊形的面積 如此進(jìn)行次，得到圓面積的近似值，即正邊形的面積. 越大，近似的效果越好，自然地認(rèn)為，圓面積是無(wú)窮多個(gè)數(shù)累加的和，即 抽去面積問(wèn)題的具體意義，就得到無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念 2.常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)：設(shè)有數(shù)列，將該數(shù)列的各項(xiàng)依次用加號(hào)連接所成的表達(dá)式稱(chēng)為常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或級(jí)數(shù)，記作 即.其中稱(chēng)為級(jí)數(shù)的通項(xiàng)或一般項(xiàng) 注：1. 級(jí)數(shù)是無(wú)窮多個(gè)數(shù)相加的結(jié)果 2. 級(jí)數(shù)的形成經(jīng)歷了一個(gè)有限到無(wú)限的過(guò)程 3.級(jí)數(shù)的和： 稱(chēng)級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和為級(jí)數(shù)的部分和.稱(chēng)

3、數(shù)列為級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列 若部分和數(shù)列有極限，即，則稱(chēng)級(jí)數(shù)收斂，稱(chēng)為級(jí)數(shù)的和,即 稱(chēng)差值為級(jí)數(shù)的余項(xiàng)，顯然 若數(shù)列的極限不存在，則稱(chēng)發(fā)散 例1.討論等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù)) 的斂散性，其中 解：(1).若，則部分和 . 當(dāng)時(shí)，有，則收斂 當(dāng)時(shí)，有，則發(fā)散 (2).若，則部分和，有，則發(fā)散. (3).若，則部分和，有不存在，則發(fā)散. 綜上，等比級(jí)數(shù)在時(shí)收斂，在時(shí)發(fā)散 例2. 證明等差級(jí)數(shù)發(fā)散 證明：由于部分和，有，從而發(fā)散 例3.判定級(jí)數(shù) 的斂散性 ，因此部分和， 解：由于通項(xiàng) 且收斂，其和為1. ，則 二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)1：若級(jí)數(shù)收斂，和為，則級(jí)數(shù)åkun也收斂，和為，其中 n=

4、 性質(zhì)2：若級(jí)數(shù)與都收斂，其和分別為和，則也收斂，其和為 性質(zhì)3：在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的斂散性 性質(zhì)4：若級(jí)數(shù)收斂，則對(duì)該級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所形成的級(jí)數(shù) 仍收斂 注：1°. 反之不成立，即去掉收斂級(jí)數(shù)各項(xiàng)中的括號(hào)后得到的級(jí)數(shù)未必收斂 例如：收斂于0，但去掉括號(hào)后所形成的級(jí)數(shù) 卻發(fā)散.因?yàn)榈牟糠趾筒淮嬖跇O限 2.若級(jí)數(shù)的項(xiàng)加括號(hào)后所形成的級(jí)數(shù)發(fā)散，則也發(fā)散 性質(zhì)5：若級(jí)數(shù)收斂，則 注：1. 若，則發(fā)散 2.若，則未必收斂 例4.證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散 證明：用反證法 ，假設(shè)級(jí)數(shù)收斂于，再令該級(jí)數(shù)的部分和為，有從而也有， 即.但 ， 這與矛盾，從而調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散 三、級(jí)

5、數(shù)收斂的判別法(柯西審斂原理 ，定理: 級(jí)數(shù)收斂，都有 成立 證明：級(jí)數(shù)收斂數(shù)列收斂，都有 成立 例5.利用柯西審斂原理判定級(jí)數(shù) 的斂散性. 解：，要使不等式 成立，只須 于是， ，都有 由柯西審斂原理知，數(shù) 收斂. 第二節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收斂性 (1).正項(xiàng)級(jí)數(shù)：若級(jí)數(shù)中的通項(xiàng)，則稱(chēng)為正項(xiàng)級(jí)數(shù) (2).正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂：設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列收斂于，則稱(chēng)收斂，其和為 注：正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列是單調(diào)增加的數(shù)列 (3).正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的性質(zhì)： 定理1. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的部分和數(shù)列有界 注：正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散的部分和數(shù)列無(wú)界 2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法(斂散性判別法) (1

6、).比較審斂法 定理2.對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)和，滿(mǎn)足，若收斂，則 若發(fā)散，則發(fā)散.(大的收斂保證小的必收斂；小的發(fā)散導(dǎo)致大的發(fā)散 證明：1.設(shè)收斂于和，則的部分和 ， 即部分和數(shù)列有上界，且單調(diào)增加，于是由單調(diào)有界準(zhǔn)則知收斂，從而也收斂 2. 假設(shè)收斂，由1知也收斂，出現(xiàn)矛盾，故發(fā)散 推論：對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)和，若收斂，且，有 則收斂. 若發(fā)散，且，有，則發(fā)散 例1.討論級(jí)數(shù)(廣義調(diào)和級(jí)數(shù)) 的收斂性. 解：(1). 當(dāng)時(shí)，有，而調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，從而廣義調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散 (2). 當(dāng)時(shí)，由于時(shí)， ，. ，所以 從而級(jí)數(shù)的部分和 . 這表明數(shù)列有界，從而廣義調(diào)和級(jí)數(shù)收斂 綜上，廣義調(diào)和級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)發(fā)散 例2.證明級(jí)

7、數(shù) 是發(fā)散的 證明：由于，從而，而級(jí)數(shù)是調(diào)和級(jí)數(shù)，發(fā)散.故級(jí) 數(shù) 是發(fā)散的 (2).比較審斂法的極限形式 定理3.對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)和,滿(mǎn)足 . (1). 若，與同斂態(tài) (2). 若，且收斂，則收斂 (3). 若，且發(fā)散，則發(fā)散 證明： (1).由 ，則對(duì)，有，或，即 . 若收斂，由于，從而收斂.若發(fā)散，由于，從而發(fā)散 ，即.若收斂，(2).由，則對(duì)， 由于，從而收斂 (3).由知，假設(shè)收斂，則由(2)知收斂，矛盾，故發(fā)散 例3.判定級(jí)數(shù)的收斂性 解：由于，又發(fā)散，從而發(fā)散 (3). 比值審斂法 (dAlembert判別法) 定理4. 對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，滿(mǎn)足 (1).若，則收斂 (2).若或，則發(fā)散 (3)

8、.若，則斂散性待定 證明： (1).由 ，取，使，存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，有 ，即.從而. 由于級(jí)數(shù)收斂，于是根據(jù)比較判別法的推論知收斂 (2). 由 ，取，使，存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，有 或，即，即數(shù)列是單調(diào)增加的，從而，因此發(fā)散 (3).當(dāng)時(shí)，可能收斂也可能發(fā)散，例如：廣義調(diào)和級(jí)數(shù) 滿(mǎn)足 ，但當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散. 例4證明級(jí)數(shù) 的收斂性. 證明：由于收斂. ，故 例5.判定級(jí)數(shù) 的收斂性. 解：由于，故發(fā)散. 例6.判斷級(jí)數(shù)解：由于 的收斂性 ，故比值判別法失效 ，而收斂，從而由于，從而收斂 (4).根值審斂法(柯西判別法 定理5. 對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，滿(mǎn)足 (1).若，則收斂 (2).若或，則發(fā)散 (3).若，

9、則斂散性待定 注：當(dāng)時(shí)，可能收斂也可能發(fā)散，例如：廣義調(diào)和級(jí)數(shù) 滿(mǎn)足 ， 但當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散 例7.判斷級(jí)數(shù)的收斂性. ，解：由于從而 收斂 (5).極限審斂法 定理6.對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)， (1).若，則發(fā)散 (2).若而，則收斂 證明：(1). 在比較審斂法的極限形式中，取，由調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，結(jié)論成立 (2). 在比較審斂法的極限形式中，取，當(dāng)時(shí)，由級(jí)數(shù)收斂，結(jié)論成立 例8.判斷級(jí)數(shù)的收斂性 解：由于，有，故收斂 例9.判斷級(jí)數(shù)的收斂性 解：由于，有 ， 故收斂 二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其收斂法 1.交錯(cuò)級(jí)數(shù)：稱(chēng)各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，記作 或 2.交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法：(萊布尼茲判別法) 定理7.若交錯(cuò)

10、級(jí)數(shù) (2). ，則滿(mǎn)足(1). 收斂，且其和，余項(xiàng)滿(mǎn)足. 簡(jiǎn)記：若交錯(cuò)級(jí)數(shù) 中數(shù)列單調(diào)減少趨近0，則收斂 例10.判斷交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂性 ，(2).,從而收斂. 解：由于(1). 三、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其絕對(duì)絕對(duì)收斂、條件收斂 1. 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)：若級(jí)數(shù)中各項(xiàng)為任意實(shí)數(shù)，則稱(chēng)為任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 2. 絕對(duì)收斂：若級(jí)數(shù)收斂，則稱(chēng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 條件收斂：若級(jí)數(shù)收斂，而級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱(chēng)級(jí)數(shù)條件收斂 例如： 絕對(duì)收斂；條件收斂. 3.級(jí)數(shù)收斂的絕對(duì)審斂法： 定理8. 若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則必定收斂 證明：由已知，有收斂，設(shè)，則有，從而有收斂 又，有，從而收斂 注：1°.反之不成立，即收斂的級(jí)數(shù)未必是絕對(duì)收斂的

11、2.一般來(lái)講，但若不趨近0，則由發(fā)散可知 發(fā)散， 發(fā)散 例11.判定級(jí)數(shù) 的收斂性. 解：由于，而收斂，故收斂，從而也收斂. 例12. 判定級(jí)數(shù) 的收斂性. 解：記，有，從而有不趨近0，因此 發(fā)散. 第三節(jié) 冪級(jí)數(shù) 一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的相關(guān)概念 1.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：設(shè)有區(qū)間上的函數(shù)列，將 ，稱(chēng)為函數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，記作 注：1.若，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)成為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 2°.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)分兩類(lèi)：冪級(jí)數(shù)、三角級(jí)數(shù) 2.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域：若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則稱(chēng)是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 點(diǎn)，收斂點(diǎn)的全體稱(chēng)為它的收斂域. 若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱(chēng) 的發(fā)散點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)的全體稱(chēng)為它的發(fā)散域 3.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)：對(duì)

12、收斂域內(nèi)的任一數(shù)，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ，稱(chēng)之為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)，即 注：和函數(shù)的定義域是的收斂域 4.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的余項(xiàng)：若的部分和為，其和函數(shù)為，有 則稱(chēng)為的余項(xiàng)，有 二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性 1.冪級(jí)數(shù)：稱(chēng)各項(xiàng)都是冪函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為冪級(jí)數(shù)，即 注：冪級(jí)數(shù)在處收斂于.(冪級(jí)數(shù)還在 發(fā)散呢？下面的介紹的冪級(jí)數(shù)的收斂性能回答這些問(wèn)題.) 2.冪級(jí)數(shù)的收斂性 例1.考察冪級(jí)數(shù)的收斂性 解：暫時(shí)固定，則為幾何級(jí)數(shù)，從而當(dāng)時(shí)，收斂，其和為 ；當(dāng) 時(shí)，發(fā)散，即在上收斂，在發(fā)散 由此可見(jiàn)冪級(jí)數(shù)的收斂域是一個(gè)區(qū)間，這個(gè)結(jié)論對(duì)一般的冪級(jí)數(shù)也成立，即： 定理1.(Abel定理)若級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂，則，有絕對(duì)收斂 若級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)發(fā)

13、散，則，有發(fā)散 注：由Abel定理可以看出，冪級(jí)數(shù)的收斂域是以原點(diǎn)為中心的區(qū)間： ； 推論：若冪級(jí)數(shù)既不僅在 確定的正數(shù)存在，使得 1.當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 2.當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散 3.當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)斂散性待定 注：稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 2.冪級(jí)數(shù)收斂半徑的求法 定理2.設(shè)有冪級(jí)數(shù)，若 ，則的收斂半徑 定理3.設(shè)有冪級(jí)數(shù)，若，則的收斂半徑 例2.求冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑與收斂區(qū)間. 解：由 ，則該級(jí)數(shù)的收斂半徑為. 發(fā)散；當(dāng)時(shí)，是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，收斂，從 又當(dāng)時(shí)， 而收斂區(qū)間為 例3.求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間 解：由于 ，從而級(jí)數(shù)的收斂半徑，從而 收斂區(qū)間為 例4.求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間 解：由于，從而級(jí)數(shù)的收斂半徑

14、 級(jí)數(shù)僅在收斂 例5.求冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑. ，又當(dāng)，即時(shí)，級(jí)數(shù) 解：由于 收斂；當(dāng)，即時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，從而級(jí)數(shù)的收斂半 徑 . 例6.求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間 解：令，則有級(jí)數(shù).由于 ，從而級(jí)數(shù) 的收斂半徑. 當(dāng)時(shí)，發(fā)散；當(dāng)時(shí)， 的收斂區(qū)間為. 由，即，于是級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為 三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算 定理4.設(shè)冪級(jí)數(shù)與的收斂半徑分別為和，令，則有 ，為常數(shù)，； ，； ，其中，； ，其中，比和都小， 例如：，其中， ，其中， 這兩個(gè)級(jí)數(shù)的收斂半徑均為，但是 的收斂半徑只是. 四、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì) 定理5.若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，則其和函數(shù)滿(mǎn)足： (1).在收斂區(qū)間上連續(xù)； (2).在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)，且 ，

15、； (3).在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)積分，且， 注: 逐項(xiàng)積分時(shí), 運(yùn)算前后端點(diǎn)處的斂散性不變 例7.求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù) 解：由于 ，所以該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?，設(shè)其函數(shù)為 ，則 ， 兩端乘以，有 .因此.由得，故有 例8.求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù) 解：由于，又時(shí)，級(jí)數(shù) 域?yàn)?，設(shè)其函數(shù)為，則 ，. 例9. 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù) 解：由于又時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，時(shí)，級(jí)數(shù) 收斂，所以該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?，設(shè)其和函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，有 ，及. 而或由和函數(shù)的連續(xù)性得到，于是 . 第四節(jié) 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 一、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的相關(guān)概念 1. 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)：若在區(qū)間上存在冪級(jí)數(shù)收斂于給定的函數(shù)，則稱(chēng) 在上能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，即. 2.泰勒級(jí)數(shù)：

16、若函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù)，則稱(chēng) 為的泰勒級(jí)數(shù)，即 . 當(dāng)時(shí), 泰勒級(jí)數(shù)又叫麥克勞林級(jí)數(shù). 注：泰勒級(jí)數(shù) 在處收斂于. 3.函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)的條件 定理1 .函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，則在該鄰域內(nèi)能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是的泰勒公式的余項(xiàng)滿(mǎn)足 證明：設(shè) 為泰勒級(jí)數(shù)的項(xiàng)余和，的 為拉格朗日余項(xiàng). 階泰勒公式為，其中 必要性：若在鄰域內(nèi)能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù) ，則有 . 充分性：若，則有 . 思考：函數(shù)在處“有泰勒級(jí)數(shù)”與“能展成泰勒級(jí)數(shù)”有何不同 定理2.若能展成的冪級(jí)數(shù)，則這種展開(kāi)式是唯一的，且與它的麥克勞林級(jí)數(shù)相同. 證明：設(shè)所展成的冪級(jí)數(shù)為， ；由可得； 可得 ； ，顯然結(jié)論成立. 二

17、、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的方法：直接展開(kāi)方法利用泰勒公式 以此類(lèi)推，可得 間接展開(kāi)法利用已知級(jí)數(shù)展開(kāi)式 1.直接展開(kāi)法 由泰勒級(jí)數(shù)理論可知，函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的步驟如下： 第一步：求函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)，若在求解的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)有某個(gè)不存在，則不再進(jìn)行，函數(shù)不能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù). 第二步：求出及; 第三步：寫(xiě)出麥克勞林級(jí)數(shù) , 并求出其收斂半徑. 第四步：考察在收斂區(qū)間內(nèi)，是否為零，若 . 例1.將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù) 解：由于，有，從而有冪級(jí)數(shù) ， ，從而在收斂. 其收斂半徑為 .從而,常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)都收斂，從而有，進(jìn)而有 ， 因此 ，. 例2.將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù) 解：由于，有，從 而有冪級(jí)數(shù) ， 由于 ，從而 在 ，而 收斂. ， 從而 ，. 對(duì)上式兩邊求導(dǎo)可推出: ，. 例3. 將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù),其中為任意常數(shù) 解: 易求出， 從而有冪級(jí)數(shù) ， 由于 ，因此對(duì)任意常數(shù)，級(jí)數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)收斂