高考數(shù)學(xué)二輪變式復(fù)習(xí)——二次函數(shù)

1、二、二次函數(shù)1（人教A版第27頁A組第6題）解析式、待定系數(shù)法若，且，求的值變式1：若二次函數(shù)的圖像的頂點坐標(biāo)為，與y軸的交點坐標(biāo)為(0,11)，則 A B C D變式2：若的圖像x=1對稱，則c=_變式3：若二次函數(shù)的圖像與x軸有兩個不同的交點、，且，試問該二次函數(shù)的圖像由的圖像向上平移幾個單位得到？w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2（北師大版第52頁例2）圖像特征將函數(shù)配方，確定其對稱軸，頂點坐標(biāo)，求出它的單調(diào)區(qū)間及最大值或最小值，并畫出它的圖像xyO變式1：已知二次函數(shù)，如果(其中)，則 A B C D變式2：函數(shù)對任意的x均有，那么、的大小關(guān)系是 A B C D變式3：已知函數(shù)的

2、圖像如右圖所示，請至少寫出三個與系數(shù)a、b、c有關(guān)的正確命題_3（人教A版第43頁B組第1題）單調(diào)性已知函數(shù)，(1)求，的單調(diào)區(qū)間；(2) 求，的最小值變式1：已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是 A B C D變式2：已知函數(shù)在區(qū)間(,1)上為增函數(shù)，那么的取值范圍是_變式3：已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍4（人教A版第43頁B組第1題）最值已知函數(shù)，(1)求，的單調(diào)區(qū)間；(2) 求，的最小值變式1：已知函數(shù)在區(qū)間0,m上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是 A B C D變式2：若函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則M + m的值等于_變式3：已知函數(shù)在區(qū)間0,2上的最小值為

3、3，求a的值5（人教A版第43頁A組第6題）奇偶性已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)0時，畫出函數(shù)的圖像，并求出函數(shù)的解析式 變式1：若函數(shù)是偶函數(shù)，則在區(qū)間上是 A增函數(shù) B減函數(shù) C常數(shù) D可能是增函數(shù)，也可能是常數(shù) 變式2：若函數(shù)是偶函數(shù)，則點的坐標(biāo)是_變式3：設(shè)為實數(shù)，函數(shù)，(I)討論的奇偶性；(II)求的最小值6（北師大版第64頁A組第9題）圖像變換已知(1)畫出函數(shù)的圖象；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)求函數(shù)的最大值和最小值變式1：指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間變式2：已知函數(shù)給下列命題：必是偶函數(shù)； 當(dāng)時，的圖像必關(guān)于直線x=1對稱； 若，則在區(qū)間a，上是增函數(shù)；有最大值 其中正確的序號是_變

4、式3：設(shè)函數(shù)給出下列4個命題： 當(dāng)c=0時，是奇函數(shù)； 當(dāng)b=0，c>0時，方程只有一個實根； 的圖象關(guān)于點（0，c）對稱；方程至多有兩個實根 上述命題中正確的序號為 7（北師大版第54頁A組第6題）值域求二次函數(shù)在下列定義域上的值域：(1)定義域為；(2) 定義域為變式1：函數(shù)的值域是 A B C D 變式2：函數(shù)y=cos2x+sinx的值域是_變式3：已知二次函數(shù) f (x) = a x 2 + bx（a、b 為常數(shù)，且 a 0），滿足條件 f (1 + x) = f (1x)，且方程 f (x) = x 有等根(1)求 f (x) 的解析式；(2)是否存在實數(shù) m、n（m <

5、; n），使 f (x) 的定義域和值域分別為 m,n 和 3m,3n，如果存在，求出 m、n 的值，如果不存在，說明理由8（北師大版第54頁B組第5題）恒成立問題當(dāng)具有什么關(guān)系時，二次函數(shù)的函數(shù)值恒大于零？恒小于零？變式1：已知函數(shù) f (x) = lg (a x 2 + 2x + 1) (I)若函數(shù) f (x) 的定義域為 R，求實數(shù) a 的取值范圍；(II)若函數(shù) f (x) 的值域為 R，求實數(shù) a 的取值范圍變式2：已知函數(shù)，若時，有恒成立，求的取值范圍變式3：若f (x) = x 2 + bx + c，不論 a、b 為何實數(shù)，恒有 f (sin a )0，f (2 + cos b

6、)0(I) 求證：b + c = 1；(II) 求證： c3；(III) 若函數(shù) f (sin a ) 的最大值為 8，求 b、c 的值9（北師大版第54頁B組第1題）根與系數(shù)關(guān)系右圖是二次函數(shù)的圖像，它與x軸交于點和，試確定以及，的符號變式1：二次函數(shù)與一次函數(shù)在同一個直角坐標(biāo)系的圖像為 DCxyOxyOOOxyxyAB 變式2：直線與拋物線中至少有一條相交，則m的取值范圍是變式3：對于函數(shù) f (x)，若存在 x0 Î R，使 f (x0) = x0 成立，則稱 x0 為 f (x) 的不動點如果函數(shù) f (x) = a x 2 + bx + 1（a > 0）有兩個相異的不

7、動點 x1、x2(I)若 x1 < 1 < x2，且 f (x) 的圖象關(guān)于直線 x = m 對稱，求證m > ；(II)若 | x1 | < 2 且 | x1x2 | = 2，求 b 的取值范圍10（北師大版第52頁例3）應(yīng)用綠緣商店每月按出廠價每瓶3元購進一種飲料根據(jù)以前的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，若零售價定為每瓶4元，每月可銷售400瓶；若每瓶售價每降低0.05元，則可多銷售40瓶在每月的進貨量當(dāng)月銷售完的前提下，請你給該商店設(shè)計一個方安：銷售價應(yīng)定為多少元和從工廠購進多少瓶時，才可獲得最大的利潤？變式1：在拋物線與x軸所圍成圖形的內(nèi)接矩形(一邊在x軸上)中(如圖)，求周長最長的

8、內(nèi)接矩形兩邊之比，其中a是正實數(shù)變式2：某民營企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖一；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖二（注：利潤和投資單位：萬元）(I) 分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(II) 該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少元（精確到1萬元）？變式3：設(shè)a為實數(shù)，記函數(shù)的最大值為g(a) （）求g(a)；（）試求滿足的所有實數(shù)a二次函數(shù)答案1（人教A版第27頁A組第6題）解析式、待定系數(shù)法變式1： 解：由題意可知，

9、解得，故選D變式2： 解：由題意可知，解得b=0，解得c=2變式3：解：由題意可設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為，展開得，即，解得所以，該二次函數(shù)的圖像是由的圖像向上平移 單位得到的，它的解析式是，即2（北師大版第52頁例2）圖像特征變式1： 解：根據(jù)題意可知， ，故選D變式2： 解：，拋物線的對稱軸是，即，xyO，、，故有，選C變式3： 解：觀察函數(shù)圖像可得： a>0(開口方向)； c=1(和y軸的交點)； (和x軸的交點)；()； (判別式)； (對稱軸)3（人教A版第43頁B組第1題）單調(diào)性變式1： 解：函數(shù)圖像是開口向上的拋物線，其對稱軸是，由已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減可知區(qū)間應(yīng)在直線的左

10、側(cè)，解得，故選D變式2：解：函數(shù)在區(qū)間(,1)上為增函數(shù)，由于其圖像(拋物線)開口向上，所以其對稱軸或與直線重合或位于直線的左側(cè)，即應(yīng)有，解得，即變式3：解：函數(shù)的圖像是開口向下的拋物線，經(jīng)過坐標(biāo)原點，對稱軸是，已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，區(qū)間應(yīng)在直線的左側(cè)或右側(cè)，xyO即有或，解得或4（人教A版第43頁B組第1題）最值變式1： 解：作出函數(shù)的圖像，開口向上，對稱軸上x=1，頂點是(1，2)，和y軸的交點是(0，3)，m的取值范圍是，故選C變式2： 解：函數(shù)有意義，應(yīng)有，解得， Þ Þ ，M=6，m=0，故M + m=6變式3： 解：函數(shù)的表達式可化為 當(dāng)，即時，有最小值，依題

11、意應(yīng)有，解得，這個值與相矛盾當(dāng)，即時，是最小值，依題意應(yīng)有，解得，又，為所求當(dāng)，即時，是最小值，依題意應(yīng)有，解得，又，為所求綜上所述，或5（人教A版第43頁A組第6題）奇偶性變式1： 解：函數(shù)是偶函數(shù) Þ Þ ，當(dāng)時，是常數(shù)；當(dāng)時，在區(qū)間上是增函數(shù)，故選D變式2：解：根據(jù)題意可知應(yīng)有且，即且，點的坐標(biāo)是變式3： 解：（I）當(dāng)時，函數(shù)，此時，為偶函數(shù)；當(dāng)時，此時既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)（II）（i）當(dāng)時，若，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而函數(shù)在上的最小值為若，則函數(shù)在上的最小值為，且（ii）當(dāng)時，函數(shù)，若，則函數(shù)在上的最小值為，且，若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而函數(shù)在上的最小值為綜

12、上，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為；當(dāng)時，函數(shù)的最小值為；當(dāng)時，函數(shù)的最小值為6（北師大版第64頁A組第9題）圖像變換變式1： 解：函數(shù)可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，作出函數(shù)圖像，由圖像可得單調(diào)區(qū)間xyxO當(dāng)時，當(dāng)時，作出函數(shù)圖像，由圖像可得單調(diào)區(qū)間在和上，函數(shù)是增函數(shù)；在和上，函數(shù)是減函數(shù)變式2： 解：若則，顯然不是偶函數(shù)，所以是不正確的；若則，滿足，但的圖像不關(guān)于直線x=1對稱，所以是不正確的；若，則，圖像是開口向上的拋物線，其對稱軸是，在區(qū)間a，上是增函數(shù)，即是正確的；顯然函數(shù)沒有最大值，所以是不正確的變式3： 解：，(1)當(dāng)c=0時，滿足，是奇函數(shù)，所以是正確的；(2)當(dāng)b=0，c>0時，方程即 或

13、，顯然方程無解；方程的唯一解是 ，所以 是正確的；(3)設(shè)是函數(shù)圖像上的任一點，應(yīng)有，而該點關(guān)于（0，c）對稱的點是，代入檢驗即，也即，所以也是函數(shù)圖像上的點，所以是正確的； (4)若，則，顯然方程有三個根，所以 是不正確的7（北師大版第54頁A組第6題）值域變式1： 解：作出函數(shù)的圖象，容易發(fā)現(xiàn)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，求出，注意到函數(shù)定義不包含，所以函數(shù)值域是變式2：解： y= cos2x+sinx=2sin2x+sinx+1，令t= sinx Î 1,1，則y=2t2+t+1，其中tÎ 1,1，y Î 2, ，即原函數(shù)的值域是2, 變式3： 解：(I) f

14、 (1 + x) = f (1x)， = 1，又方程 f (x) = x 有等根 Û a x 2 + (b1) x = 0 有等根， = (b1) 2 = 0 Þ b = 1 Þ a = ， f (x) = x 2 + x(II) f (x) 為開口向下的拋物線，對稱軸為 x = 1，1° 當(dāng) m1 時，f (x) 在 m,n 上是減函數(shù)，3m = f (x)min = f (n) = n 2 + n(*)， 3n = f (x)max = f (m) = m 2 + m，兩式相減得：3 (mn) = (n 2m 2) + (nm)，1m < n，

15、上式除以 mn 得：m + n = 8，代入 (*) 化簡得：n 28n + 48 = 0 無實數(shù)解2° 當(dāng) n1 時，f (x) 在 m,n 上是增函數(shù)，3m = f (x)min = f (m) = m 2 + m， 3n = f (x)max = f (n) = n 2 + n，m = 4，n = 03° 當(dāng) m1n 時，對稱軸 x = 1 Î m,n，3n = f (x)max = f (1) = Þ n = 與 n1 矛盾綜合上述知，存在 m = 4、n = 0 滿足條件8（北師大版第54頁B組第5題）恒成立問題變式1： 解：(I) 函數(shù) f

16、(x) 的定義域為 R，即不等式a x 2 + 2x + 1 > 0 的解集為 R，應(yīng)有 Þ a > 1，實數(shù) a 的取值范圍是(1,+¥) (II) 函數(shù) f (x) 的值域為 R，即a x 2 + 2x + 1 能夠取 (0,+¥) 的所有值1° 當(dāng) a = 0 時，a x 2 + 2x + 1 = 2x + 1滿足要求；2° 當(dāng) a 0 時，應(yīng)有 Þ 0 < a1實數(shù) a 的取值范圍是0,1 變式2： 解法一：(轉(zhuǎn)化為最值)在上恒成立，即在上恒成立， ；，綜上所述解法二：（運用根的分布） 當(dāng)，即時，應(yīng)有， 即，

17、不存在；當(dāng)，即時，應(yīng)有，即，；當(dāng)，即時，應(yīng)有，即 ， 綜上所述變式3： 證明：(I) 依題意，f (sin ) = f (1)0，f (2 + cos p) = f (1)0，f (1) = 0 Þ 1 + b + c = 0 Þ b + c = 1，(II)由 (I) 得： f (x) = x 2(c + 1) x + c (*)f (2 + cos b )0 Þ (2 + cos b ) 2(c + 1) (2 + cos b ) + c0Þ (1 + cos b ) c(2 + cos b )0，對任意 b 成立1 + cos b 0 Þ

18、 c2 + cos b ，c(2 + cos b )max = 3(III) 由 (*) 得：f (sin a ) = sin 2a(c + 1) sin a + c，設(shè) t = sin a ，則g(t) = f (sin a ) = t 2(c + 1) t + c，1t1，這是一開口向上的拋物線，對稱軸為 t = ，由 (II) 知：t= 2， g(t) 在 1,1 上為減函數(shù) g(t)max = g(1) = 1 + (c + 1) + c = 2c + 2 = 8， c = 3 b = c1 = 49（北師大版第54頁B組第1題）根與系數(shù)關(guān)系變式1： 解：二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象交于兩點

19、、，由二次函數(shù)圖象知同號，而由中一次函數(shù)圖象知異號，互相矛盾，故舍去又由知，當(dāng)時，此時與中圖形不符，當(dāng)時，與中圖形相符變式2： 解：原命題可變?yōu)椋呵蠓匠?，中至少有一個方程有實數(shù)解，而此命題的反面是：“三個方程均無實數(shù)解”，于是，從全體實數(shù)中除去三個方程均無實數(shù)解的的值，即得所求解不等式組得 ，故符合條件的取值范圍是或變式3： 解：(I) 由 f (x) 表達式得 m = ，g(x) = f (x)x = a x 2 + (b1) x + 1，a > 0，由x1，x2 是方程 f (x) = x的兩相異根，且 x1 < 1 < x2，g(1) < 0 Þ a +

20、 b < 0 Þ > 1 Þ > ，即 m > (II) = (b1) 24a > 0 Þ (b1) 2 > 4a， x1 + x2 = ，x1x2 = ，| x1x2 | 2 = (x1 + x2) 24x1x2 = () 2= 2 2，(b1) 2 = 4a + 4a 2(*)又| x1x2 | = 2， x1、x2 到 g(x) 對稱軸 x = 的距離都為1，要 g(x) = 0 有一根屬于 (2,2)，則 g(x) 對稱軸 x = Î (3,3)， 3 < < 3 Þ a > | b

21、1 |，把代入 (*) 得：(b1) 2 > | b1 | + (b1) 2，解得：b < 或 b > ， b 的取值范圍是：(¥, )( ,+¥)10（北師大版第52頁例3）應(yīng)用變式1： 解：設(shè)矩形ABCD在x軸上的邊是BC，BC的長是x(0<x<a)，則B點的坐標(biāo)為，A點的坐標(biāo)為設(shè)矩形ABCD的周長為P，則P=2(0<x<a) 若a>2，則當(dāng)x=2時，矩形的周長P有最大值，這時矩形兩邊的長分別為2和，兩邊之比為8:；若0 <a2，此時函數(shù)P=無最大值，也就是說周長最大的內(nèi)接矩形不存在綜上所述，當(dāng)a>2時，周長最大的內(nèi)接矩形兩邊之比為8:；當(dāng)0 <a2時，周長最大的內(nèi)接矩形不存在變式2： 解：(I) 依題意設(shè) A、B 兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式分別為 f (x) = kx，g(x) = m，由f (1) = k = 0.25， g(4) = 2m = 2.5 Þ m = ，f (x) = x（x0），g