2008IMO中國(guó)國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)平面幾何練習(xí)題解析

1、歡迎光臨中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)zxsx127 163 .com中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料WWW. Z X S X .COM版權(quán)所有中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)幾何講義1 1. 一圓o切于兩條平行線i1,i2,第二個(gè)圓LO1切i1于A,外切LIO于C,第三個(gè)圓LO2切12于B，外切LIO于D，外切LOi于E，AD交BC于Q，求證Q是CDE的外心。（3535 屆 IMOIMO 預(yù)選題）證明 由AO1/BO2，知.AO1 BO2E，從而有AEO1- BEO2，即A, E,B三點(diǎn)共線。冋理由OF/BO2,可得B,D,F三點(diǎn)共線。又因?yàn)?1EDB =180 - EO2B =180 - AOE二EAF,所以 代E,D,F四點(diǎn) 共圓

2、，22BELBA=BD_BF，即點(diǎn)B在L O1與LO的根軸上。又因?yàn)镃在L。1與LO的根軸上，所以BC是LQ與LO的根軸。同理AD是L O2與LIO的根軸，因此Q為根心，且有QC=QD=QE,即Q是CDE的外心。2 2.非等腰ABC的內(nèi)切圓圓心為I,其與BC,CA,AB分別相切于點(diǎn)A B1Q,AA1, BB1分 別交圓于A2,B2,AABQ中.GAB C1B1A的角平分線分別交B1G,AC1于點(diǎn)A3, B3,證明（1 1）A2A3是B1A2C1的角平分線；（2 2）如果P,Q是AAA和B1B2B3的兩個(gè)外接圓的交點(diǎn)， 則點(diǎn)I在直線PQ上。（0101 年保加利亞）證明（1 1 ） 因?yàn)?厶AGA

3、2s. AA1C1,AB1A2S.AA1B1，所 以有GA2AAAA2B1A2C1A2GAC1A322，從而有上2g佇，即A2A是.3A2G的角平分線。GAiACiABiBiAiBiA2BiAiBiA3A歡迎光臨中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)zxsx127 163 .com中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料WWW. Z X S X .COM版權(quán)所有中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)（2 2）設(shè).AA2A3的外心為O，連OI , IA2,OA2,OAi，則01 _ AiA2。由于.AiA3A2=iACiACiA2A3. GAA=AiCiACiA,Bi. CiAiBi=90ACiA2，所以1A2OIA2OA =i80 - AA3A2=90 -

4、ACA =90 - AJO，于是有 她0 = 90，2即IA2與LIO相切于A?。同理IB2與-BiB2B3的外接圓相切于B2，從而I在LIO與-BiB2B3的外接圓的根軸上，即I ,P,Q三點(diǎn)共線。3 3已知圓O外一點(diǎn)X，由X向圓O引兩條切線，切點(diǎn)分別為 代B，過點(diǎn)X作直線，與圓O交于兩點(diǎn)C,D，且滿足CA_ BD，若CA,BD交于點(diǎn)F,CD, AB交于點(diǎn)G,BD與GX的中垂線交于點(diǎn)H，證明X,F,G, H四點(diǎn)共圓。（0505 年日本）歡迎光臨中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)zxsx127 163 .com中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料WWW. Z X S X .COM版權(quán)所有中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)。設(shè)UGC的外接圓與BF交

5、于點(diǎn)H，則有= XH,即H在GX的中垂線上，從而有H丄H，因此X,F,G, H四點(diǎn)共圓。4 4若P,Q到ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C的距離的比都是l:m:n，且l,m, n互不相等，則直線PQ過ABC的外接圓的一條直徑DE。若設(shè)ABC的外接圓圓心為O圓上。連FG, FX，有.GD二DCL G上, 其中證明證明法歡迎光臨中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)zxsx127 163 .com中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料WWW. Z X S X .COM版權(quán)所有中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)AG與LI G的交點(diǎn)為K, L,且代K,C, L為調(diào)和點(diǎn)列。設(shè)L O與LI G交于點(diǎn)FGALGc =GK2=GF2，因此GF與LI O相切于點(diǎn)F，于是OF也與

6、L G相切于點(diǎn)F。同理,歡迎光臨中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)zxsx127 163 .com中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料WWW. Z X S X .COM版權(quán)所有中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)由于P,Q到B,C的距離之比為m: n，貝UPQ在阿波羅尼斯圓M上，設(shè)LIO與LM交于點(diǎn)H，于是OH與LM相切于點(diǎn)H。因?yàn)镺H =OF，所以O(shè)在LG與LM的根軸上，從而有O,P,Q三點(diǎn)共線。設(shè)PQ與L O交于點(diǎn)D, E，則OD2=OF2=OPLOQ，即D,P,E,Q為調(diào) 和點(diǎn)列。APBP CP法二 由于，則ABC的外接圓就是關(guān)于點(diǎn)P,Q的阿波羅尼斯圓，從而AQ BQ CQO在直線PQ上，且有OPLOQ=OD2。5 5已知圓心分別為Q ,。2

7、的圓1,2外切于點(diǎn)D，并內(nèi)切于圓，切點(diǎn)分別為E, F，過點(diǎn)D作1,匕的公切線I。設(shè)圓的直徑AB垂直于I，使得A,E,O1在I的同側(cè)，證明AO1,BO2, EF三線交于一點(diǎn)。（第 4747 屆 IMOIMO 預(yù)選題）證明 設(shè)AB的中點(diǎn)為O,E為圓與圓的位似中心， 由于半徑OBOjD分別垂直于I, 所以O(shè)B/OQ，且有E, D, B三點(diǎn)共線。同理F, D,A三點(diǎn)共線。設(shè)AE, BF交于點(diǎn)C,由于AF _ BC, BE _ AC，所以D是ABC的垂心，于是CD _ AB, 這表明C在直線l上。設(shè)EF與直線I交于點(diǎn)P,下面證明點(diǎn)P在直線AO1上。設(shè)AC與圓 r 的第二個(gè)交點(diǎn)為N, 則ND是圓的直徑，由

8、梅涅勞斯定理的逆定理，要證A,O1,P三點(diǎn)共線，只要證CALNO1_DP =1。因?yàn)镹Oj=OjD，所以只要證_CA = _CP。設(shè)I與AB交于點(diǎn)K，則AN O1D PCAN PD歡迎光臨中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)zxsx127 163 .com中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料WWW. Z X S X .COM版權(quán)所有中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)-CK，從而只要證-CK，即證C,P,D,K是調(diào)和點(diǎn)列。連AN KDPD KDC, X, F, B是調(diào)和點(diǎn)列，因此有C,P,D,K是調(diào)和點(diǎn)列。AB/CD,在其兩腰AD, BC上分別存在點(diǎn)P,Q,使得 APB =. CPD,. AQB = CQD,證明點(diǎn)P,Q到梯形兩對(duì)角線的交點(diǎn)的距離相等

9、。（2020 屆全俄）證明設(shè).APB與CPD的外接圓交于點(diǎn)Q1,貝U有CQfBQf = 180 -/CDP 180 -/BAP = 180，所以點(diǎn)Q1在BC上。又因?yàn)镃QrD - CPD - APB = AQ1B，所以Qr=Q。設(shè)二APB與二CPD的外接圓半徑分別為AB 2Rsin a R.R1, R2，乙APB =，貝V-,因此AC與BD的交點(diǎn)O是CD 2R2sin a R2APB的外接圓與CPD的外接圓的位似中心，設(shè)APB與厶CPD的外接圓的圓心分別為01,。2，貝y O在。1。2上，且。1。2是PQ的中垂線，于是有OP =OQ。7 7圓S,S2,S3均與圓S外切，切點(diǎn)分別為A,B1,C1

10、，并且它們還分別與ABC的兩條邊相切，證明AA1,BB1,CC1三線共點(diǎn)。（2020 屆全俄）AP交BC于點(diǎn)X，則6 6 .設(shè)ABCD是梯形，歡迎光臨中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)zxsx127 163 .com中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料WWW. Z X S X .COM版權(quán)所有中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)證明 設(shè):ABC的內(nèi)切圓的圓心為I，半徑為R,L S,_ S1J S2S3的半徑分別為L(zhǎng)I* - S，從而有A, Ai, P在一條直線上。同理B, Bi, P與C,Ci, P均三點(diǎn)共線，即AA, BBi,CCi三線共點(diǎn)。& &給定一個(gè)半圓周，其直徑為AB，圓心為0，直線與半圓周相交于點(diǎn)C, D，且與AB的延長(zhǎng)

11、線交于點(diǎn)M，其中MB cMA,MD cMC。設(shè)AAOC,ABOD的外接圓O1,O2的第二個(gè)且K在PQ上，所以只要證P,Q,M三點(diǎn)共線。由于0P是L O1的直徑，因此PA與LO相切。同理PC,QB,QD也均與L0相切。過P作QD的平行線，與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,則-CEP二-MDQ二-ECP,所以PE二PC二PA，即PAE與QBD均是等腰三角形，且對(duì)r, ri,PSrS。設(shè)P為SI上的一點(diǎn)，且滿足亍R，則H2,3，則L I-交點(diǎn)為K，證明歡迎光臨中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)zxsx127 163 .com中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料WWW. Z X S X .COM版權(quán)所有中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)應(yīng)邊平行，因此對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線

12、交于一點(diǎn)，即P,Q,M三點(diǎn)共線。法二 設(shè)AC, BD交于點(diǎn)N,AD, BC交于點(diǎn)H，則H為NAB的垂心。連MH，分別 交AC,BD于點(diǎn)X,Y，則NC,XA及N,D,Y,B為調(diào)和點(diǎn)列，所以MH是N關(guān)于L O的極線， 于是ON _ MH。同理0M _ NH，且0是.HMN的垂心。由蒙日定理得0K過點(diǎn)N，于是 有MH _OK。設(shè)NH與AB交于點(diǎn)T,則NH NT二NC NA NK NO，所以K,O,T,H四 點(diǎn)共圓，.HKO =/HTO=9O，于是有M,K,H三點(diǎn)共線。法三 延長(zhǎng)OK至S,則.MKO = 90二.SKD . DKM二90二.DBO . DKM =90二.DKM二.DAM二K, A, M

13、 , D四點(diǎn)共圓 二.KAB二.CDK。因 為C, A關(guān) 于PO對(duì) 稱， 所 以 有CDK =/CDB- KDB h180 - CAB - 180 - KOB j=/KOB- CAB設(shè)：AOB, .：BOC,：COD,：AOD的 垂 心 分 另U為K丄,M,N則代k ,N ; C, M：L ; B,均三點(diǎn)共線L且四邊形MKLM N是平行四邊形，并滿 足K L , K N分別垂直于AC,BD。設(shè).AOB二,不妨假設(shè)：90，則.OEL = 90 -:,行四邊形，并滿足KL, KN分別平行于AC, BD,KL =M,KN二BD，從而有33KLKN BD= /KCA- CABOCA OCK - CAB

14、 OAC KAO-. CAB KAB。9 9設(shè)點(diǎn)O是凸四邊形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，過厶AOB的重心與COD的重心引一條直 線，過BOC的垂心與.AOD的垂心引一條直線，證明這兩條直線互相垂直。（6 6 屆全蘇）歡迎光臨中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)zxsx127 163 .com中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料WWW. Z X S X .COM版權(quán)所有中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)所以有K L cos 90-巒1= AC cos，即K L = AC cot:。同理K N = BD cot:，于是有歡迎光臨中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)zxsx127 163 .com中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料WWW. Z X S X .COM版權(quán)所有中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)旋轉(zhuǎn)9

15、0，那么不僅它們的對(duì)應(yīng)邊而且它們對(duì)應(yīng)的對(duì)角線都互相平行，因此有K M _ LN丄N _ KM。1010.已知四邊形ABCD是等腰梯形，ADAD / BCBC,把厶ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)某一角度得到A B C, 證明線段AD,BC,BC的中點(diǎn)在同一條直線上。（2323 屆全蘇）證明 將.BCB平移DC得；EFG，則A D,BC,BC的中點(diǎn)經(jīng)位似變換H D,2變?yōu)锳EG =90一FEG=90180一.EFG=12 2角梯形ADFE的腰DF的中點(diǎn)到兩個(gè)直角頂點(diǎn)的距離相等,1以C為圓心，以CA為半徑的圓上，從而有2ACAEA，于是可得A,E,G三點(diǎn)共線。1111已知M為ABC內(nèi)一點(diǎn)，由M分別向BC,CA,

16、AB作垂線，垂足分別為A , B ,C。由A, B,C分別向BC ,CA, AB作垂線，證明這三條垂線交于一點(diǎn)M 若ABC的外心為O, 則M ,O,M三點(diǎn)共線，且O是線段MM的中點(diǎn)。KL二KL。因此平行四邊形K N BD KNKLMN與KLM N相似，若把其中的一個(gè)平行四邊形A；E,G連EB交AD于K,由于BE = BK = BA,因此有EA_ AD,EA_ EF,從而11EFGBCACAI為直22歡迎光臨中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)zxsx127 163 .com中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料WWW. Z X S X .COM版權(quán)所有中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)證明 法一 連M0，并延長(zhǎng)至M，使得0是線段MM的中點(diǎn)。設(shè)AM的中

17、點(diǎn)為0,則0為由代C , M , B所確定的四邊形的外接圓的圓心，因此001 BCI又因?yàn)锳M II00，所以有AM _ BC。同理可得BM _ CA：CM _ A B。法二 分別延長(zhǎng)MA；MB ,MC至D,E,F，使得BC,CA, AB分別是MD,ME,MF的中垂 線，所以AE二AM二AF,即A是.MEF的外心。同理，B,C分別是.MDF , AMDE的外心。 由于由 代B,C分別向BC,CA,AB作的垂線就是由A,B,C分別向EF,FD,DE作的垂線，因 此也就是EF,FD,DE的中垂線，而EF, FD ,DE的中垂線交于一點(diǎn)，且就是DEF的外心，即 點(diǎn)M仁又因?yàn)镸是ABC與DEF的位似中

18、心，且位似比為2，所以M ,0,M三點(diǎn)共線，且0是線段MM的中點(diǎn)。1212.已知P,Q分別是ABC的邊AC, AB上的點(diǎn)，BP,CQ相交于點(diǎn)D，證明ABD和ACD的內(nèi)切圓外切的充分必要條件是四邊形APDQ有內(nèi)切圓。（9999 年保加利亞）歡迎光臨中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)zxsx127 163 .com中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料WWW. Z X S X .COM版權(quán)所有中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)證明 充分性：由ABD和ACD的內(nèi)切圓外切，可得DB_DC=AB_AC。作ACQ的內(nèi)切圓，過B作該圓的切線BM，交CQ于D1。由于AB - AC = DjB - DjC，因此有DB - DC = D1B - D1C，即D = D1

19、。必要性：設(shè)ABD和ACD的內(nèi)切圓與AD分別切于點(diǎn)NN，因?yàn)镈 B- D GA-B，所以有DN = DN1。1313.已知單位面積的凸四邊形ABCD及其內(nèi)一點(diǎn)P，證明這 5 5 個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形中必有一 個(gè)的面積不超過2已，并證明這個(gè)上界是最小的。2證明 假設(shè)兩條對(duì)角線交于點(diǎn)O,不妨假設(shè)P點(diǎn)在O B C中o假設(shè)P A C- PBD P, B C的面積分別為S,S2,S3,S4,PA, PB,PC,PD分別為a,b,c,d,APB=、，BPC= ?,CPD=耳APD，因?yàn)?sin：sin -sin : sincos： - cost；亠亠cos亠,！ cos : - 門21 .cos： -cos

20、- sin二亠心sin,2所以有S.PABLS.PCD二S1S2 S3S4。若3,S2,S3,S4均大于亍1，則1 = SABCD =SPABS.PCDS3S4 -2=S.PABUPCDS3S41,歡迎光臨中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)zxsx127 163 .com中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料WWW. Z X S X .COM版權(quán)所有中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)矛盾。歡迎光臨中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)zxsx127 163 .com中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料WWW. Z X S X .COM版權(quán)所有中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)L1C LC LC L1CABJAL-ABJALACLAKACLAL_a2. AN AN _ b2M1A MA c2;N1NB a2

21、由塞瓦定理，可得芝誥培，于是有爭(zhēng)箴鴛二1，由塞瓦定理的逆定理可得AL1,BM1, CN1交于一點(diǎn)。當(dāng)?shù)妊菪蜛BCD滿足AD平行于BC,AD-1,BC =1，高為、2,P在對(duì)稱軸上,所以上乙是最小的。21414.已知LABC的重心為G,1證明AG, BG,CG分別關(guān)于.A,. B,. C的角平分線對(duì)稱的三條直線交于一點(diǎn)P;2若P在三條邊BC,CA, AB上的投影分別為D,E,F，證明P為|_DEF的重心。證明1設(shè)L ABC的三條中線分別為AL,BM,CN,AG,BG,CG關(guān)于.A,. B,. C的角平分線對(duì)稱的三條直線分別與BC,CA, AB交于點(diǎn)L1,M1,N1，設(shè)BC =a,CA =b,A

22、B = c，則且到AD的距離為 1 1。此時(shí)S.pAD = SPBC-S.pAC-S PBDABCDSABL,SACL歡迎光臨中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)zxsx127 163 .com中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料WWW. Z X S X .COM版權(quán)所有中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)歡迎光臨中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)zxsx127 163 .com中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料WWW. Z X S X .COM版權(quán)所有中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)戲LC=BL二Sin A，由于A,E,P,F;B,D,P,F;C,D, P,E均四點(diǎn)共圓，所以sin C AL ALsi n BFEP二PAF二：，EFP二PAE二A ：, FPK二B, EPK二C，由正弦定理得FK

23、=sin FPK=si nNEFPsi n(NA -asin/Bsin BPKPK = =_ _sin(NA a ) sin ZCsin-KE = KE，于是K是EF的注 用塞瓦定理的三角表示（角元塞瓦定理）更容易得到。2設(shè)DP與EF交于點(diǎn)K，. CAL二，由正弦定理可得歡迎光臨中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)zxsx127 163 .com中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料WWW. Z X S X .COM版權(quán)所有中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)中點(diǎn)，進(jìn)而可得P是L DEF的重心。1515已知ABC的邊AB上有兩個(gè)點(diǎn)P,Q，證明APC與BQC的內(nèi)切圓半徑相等的充分必要條件是AQC與BPC的內(nèi)切圓半徑相等。證明 先證明一個(gè)引理：設(shè)ABC的邊

24、BC上的高為h,內(nèi)切圓半徑為 r,r,則h_2r丄B Ctantan h22DE與圓I相切，且分別與AB,AC交于點(diǎn)D,E,則設(shè)ABC的內(nèi)心為I,作BC的平行線h -2rhDEBCr cotanr cotrcotcotcotNB=t an歡迎光臨中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)zxsx127 163 .com中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料WWW. Z X S X .COM版權(quán)所有中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)h2*h2r2厶AZAPCZB NBQCri=r2tan tantan tanhh2222丄ZA /AQC丄ZB NBPCh 2r3h 2r4二tan tantan tan-一 二r32222hh31616.已知圓內(nèi)接五邊形ABC

25、DE滿足ABC的內(nèi)切圓半徑等于AED的內(nèi)切圓半徑,ABD的內(nèi)切圓半徑等于AEC的內(nèi)切圓半徑，證明ABC AED。（9898 年保加利亞）A則歡迎光臨中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)zxsx127 163 .com中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料WWW. Z X S X .COM版權(quán)所有中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)證明 設(shè)也ABC,AAED,AABD,AAEC的內(nèi)切圓半徑分別為r1,r2,r3,r4，外接圓半徑為為R,不含其它頂點(diǎn)的弧AB, BC,CD,DE, EA分另U為2a,2 b,2c,2d,2e,貝U有cosa cosbcos a b =1計(jì)Rsgcos e dcosa cos b c cos e d =1=cose cos d

26、 c cos a b。R歡迎光臨中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)zxsx127 163 .com中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料WWW. Z X S X .COM版權(quán)所有中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)兩式相減得cosb cos d c = cosd cos b c，從而有cosb-d= cosd_；_b，舍去一種情況后可得b二d。代入第一個(gè)式子得cosa - cos b e = cose - cos a b，類似地可得a =e。因此有:ABC也厶AED。ABCD,AB, DC交于點(diǎn)P,AD ,BC交于點(diǎn)Q,O為四邊形ABCD二/DOQ，證明.AOB . COD =180。（0505 年保加利亞 BMOBMO 選拔）sin COD一二QL

27、OB_PD。設(shè)AC與PQ交于點(diǎn)L,由梅涅勞斯定理，sin BOC -：PC OD QBAQDP CL _1CQ BPAL于是有Sind七AODyCODxL。積化和差QD PC LA QB PA LCsin,AOB sin律BOC-：并化簡(jiǎn)后得cos AOD - COD 2：=cos AOB - BOC 2：，于是可得AODCODAOB（其中另一種情況不存在），從而有AOBCOD =180。1717.已知凸四邊形內(nèi)一點(diǎn)，且有.BOP證明設(shè).BOPQD sAOD AQ ,從而有-DOQ =：，貝U竺sin ZOQD OD sin NOQDOAsjn:ZAOD AQ| OD si noOA QD類似

28、地，有sinAOB二竺日，因此有sinOA BPsinAOD斗旦耳理，由sin AOB APOB Q Dsin BOQ BQ sin COD：QC苛 ，可sin OQB OB sin OQBOC空：.ZCOD-:sin BOQQC | OBOC BQsin : Z BOC一：si n DOPOC PD歡迎光臨中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)zxsx127 163 .com中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料WWW. Z X S X .COM版權(quán)所有中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)1818.D為AG的中點(diǎn)，在AG的同側(cè)作全等的四邊形ABCD,DEFG，使它們都有內(nèi)切圓，圓心分別為0,1，證明AO,CE,GI三線共點(diǎn)。（3030 屆加拿大訓(xùn)練題）

29、證明 作位似變化ABCD-A2AMNG，則有GFED-l GNMA，于是C是1AN的中點(diǎn)，E是MG的中點(diǎn)。設(shè)AO,GI交于點(diǎn)K,由OD GK，且OD/GK，可得K2是四邊形AMNG的內(nèi)切圓的圓心。由牛頓定理，可得C,K,E三點(diǎn)共線。1919已知圓O1,O2,O3,O4按順時(shí)針的順序內(nèi)切于圓O,設(shè)圓Oj,Oj1G：j 4的外公切線長(zhǎng)為lij,證明依次以112, 123,34,14為邊長(zhǎng)，以113,24為對(duì)角線構(gòu)成的凸四邊形是圓內(nèi)接四邊形。證明 設(shè)圓O,O1,O2,O3,O4的半徑分別為R,r1,r2,r3,r4，圓O1,O2,O3,O4與圓O的切點(diǎn)分別為A, B,C, D,OOi= a,OO2二

30、b,OO3二c, OO4= d,乙O1OO : , O2OO3二-,O3OO4=巧O1OO4 =，因?yàn)閍 r b r2，所以有2222222I12=OQ2 -A - a i二a b -2abcos：- a - bi =2ab 1 - cos：二4absin, 即2l12=2jaSsin。同理可得123,134,1312的表達(dá)式。由托勒密定理的逆定理知，只要證2l12l34l23l14=l13l24。代入Iij的表達(dá)式，只要證歡迎光臨中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)zxsx127 163 .com中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料WWW. Z X S X .COM版權(quán)所有中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)a V P d a + P P + Y,

31、-,sin sin sin sin sin sin，即ABLCD BC AD二AC BD。2 2 2 2 2 2 - -2020.設(shè)M是=ABC內(nèi)一點(diǎn)，D,E,F分別是ABCMCAM JABM的外心，證明SDEF- SABC，并確定等號(hào)成立的條件。證明 設(shè)MA,MB,MC與EF, FD,DE分別交于點(diǎn)A1,B1,C1，DEF的外心為O,外接圓歡迎光臨中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)zxsx127 163 .com中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料WWW. Z X S X .COM版權(quán)所有中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)半徑為R，OM -d。因?yàn)镸在圓O的內(nèi)部，由歐拉關(guān)于垂足三角形的面積公式，有歡迎光臨中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)zxsx127 163 .com中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)系列資料WWW. Z X S X .COM版權(quán)所有中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)為DEF的外心。此