初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽教程含例題練習(xí)及答案⑿2

1、初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座第 12 講 抽屜原理把 5 個(gè)蘋(píng)果放到 4 個(gè)抽屜中， 必定有一個(gè)抽屜中至少有2 個(gè)蘋(píng)果，這是抽屜原理的通俗說(shuō)明；一般地，我們將它表述為：第一抽屜原理：把（ mn1）個(gè)物體放入 n 個(gè)抽屜，其中必有一個(gè)抽屜中至少有（ m1）個(gè)物體；使用抽屜原懂得題，關(guān)鍵是構(gòu)造抽屜；一般說(shuō)來(lái)，數(shù)的奇偶性、剩余類(lèi)、數(shù)的分組、染色、線段與平面圖形的劃分等，都可作為構(gòu)造抽屜的依據(jù)；例 1 從 1， 2，3， 100 這 100 個(gè)數(shù)中任意挑出51 個(gè)數(shù)來(lái)，證明在這51個(gè)數(shù)中，肯定：（1）有 2 個(gè)數(shù)互質(zhì)；（2）有 2 個(gè)數(shù)的差為 50；（3）有 8 個(gè)數(shù)，它們的最大公約數(shù)大于1；證明：（ 1）將 1

2、00 個(gè)數(shù)分成 50 組：1 ， 2 ，3 ，4 ， 99 ，100 ；在選出的 51 個(gè)數(shù)中，必有 2 個(gè)數(shù)屬于同一組，這一組中的2 個(gè)數(shù)是兩個(gè)相鄰的整數(shù)，它們肯定是互質(zhì)的；（2）將 100 個(gè)數(shù)分成 50 組：1 ， 51 ，2 ，52 ， 50 ， 100 ；在選出的 51 個(gè)數(shù)中，必有 2 個(gè)數(shù)屬于同一組，這一組的2 個(gè)數(shù)的差為 50；（3）將 100 個(gè)數(shù)分成 5 組（一個(gè)數(shù)可以在不同的組內(nèi)）： 第一組： 2 的倍數(shù)，即 2 ，4， 100 ；其次組： 3 的倍數(shù)，即 3 ，6， 99 ； 第三組： 5 的倍數(shù)，即 5 ，10， 100 ；第四組： 7 的倍數(shù)，即 7 ，14， 98

3、 ；第五組： 1 和大于 7 的質(zhì)數(shù)即 1 ，11，13， 97 ；第五組中有 22 個(gè)數(shù)，應(yīng)選出的 51 個(gè)數(shù)至少有 29 個(gè)數(shù)在第一組到第四組中， 依據(jù)抽屜原理， 總有 8 個(gè)數(shù)在第一組到第四組的某一組中， 這 8 個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)大于 1；例 2 求證：可以找到一個(gè)各位數(shù)字都是4 的自然數(shù)，它是1996 的倍數(shù)； 證明：因 1996÷ 4 499，故只需證明可以找到一個(gè)各位數(shù)字都是1 的自然數(shù)，它是 499 的倍數(shù)就可以了；得到 500 個(gè)余數(shù) r 1，r 2，r 500；由于余數(shù)只能取0，1，2，499 這 499個(gè)值，所以依據(jù)抽屜原理， 必有 2 個(gè)余數(shù)是相同的， 這 2

4、個(gè)數(shù)的差就是 499 的倍數(shù)，這個(gè)差的前如干位是1，后如干位是 0：111000，又 499 和 10 是互質(zhì)的，故它的前如干位由1 組成的自然數(shù)是499 的倍數(shù)，將它乘以4，就得到一個(gè)各位數(shù)字都是 4 的自然數(shù)，它是 1996 的倍數(shù)；例 3 在一個(gè)禮堂中有99 名同學(xué)，假如他們中的每個(gè)人都與其中的66 人相識(shí)，那么可能顯現(xiàn)這種情形： 他們中的任何 4 人中都肯定有 2 人不相識(shí)（假定相識(shí)是相互的）；分析：留意到題中的說(shuō)法“可能顯現(xiàn)”，說(shuō)明題的結(jié)論并非是條件的必定結(jié)果，而僅僅是一種可能性， 因此只需要設(shè)法構(gòu)造出一種情形使之顯現(xiàn)題目中所說(shuō)的結(jié)論即可；解：將禮堂中的 99 人記為 a1， a2，

5、 a99，將 99 人分為 3 組：（a1， a2， ， a33），（ a34，a35， ， a66），（ a67， a68， ， a99），將 3 組同學(xué)作為 3 個(gè)抽屜，分別記為 a，b，c，并商定 a 中的同學(xué)所熟悉的 66 人只在 b，c 中，同時(shí)， b， c 中的同學(xué)所熟悉的 66 人也只在 a， c 和 a，b 中；假如顯現(xiàn)這種局面，那么題目中所說(shuō)情形就可能顯現(xiàn)；由于禮堂中任意 4 人可看做 4 個(gè)蘋(píng)果，放入 a，b，c 三個(gè)抽屜中，必有 2 人在同一抽屜， 即必有 2 人來(lái)自同一組， 那么他們熟悉的人只在另 2 組中， 因此他們兩人不相識(shí)；例 4 如右圖，分別標(biāo)有數(shù)字1， 2，

6、8 的滾珠兩組，放在內(nèi)外兩個(gè)圓環(huán)上，開(kāi)頭時(shí)相對(duì)的滾珠所標(biāo)數(shù)字都不相同；當(dāng)兩個(gè)圓環(huán)按不同方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，必有某一時(shí)刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對(duì)數(shù)字相同的滾珠相對(duì)；分析：此題中沒(méi)有直接供應(yīng)我們用以構(gòu)造抽屜和蘋(píng)果的數(shù)量關(guān)系，需要轉(zhuǎn)換一下看問(wèn)題的角度；解：內(nèi)外兩環(huán)對(duì)轉(zhuǎn)可看成一環(huán)靜止，只有一個(gè)環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)；一個(gè)環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)一周后， 每個(gè)滾珠都會(huì)有一次與標(biāo)有相同數(shù)字的滾珠相對(duì)的局面顯現(xiàn)，那么這種局面共要顯現(xiàn) 8 次；將這 8 次局面看做蘋(píng)果，再需構(gòu)造出少于8 個(gè)抽屜；留意到一環(huán)每轉(zhuǎn)動(dòng)45°角就有一次滾珠相對(duì)的局面顯現(xiàn)，轉(zhuǎn)動(dòng)一周共有8次滾珠相對(duì)的局面， 而最初的 8 對(duì)滾珠所標(biāo)數(shù)字都不相同， 所以數(shù)字相同的滾珠相對(duì)的

7、情形只顯現(xiàn)在以后的7 次轉(zhuǎn)動(dòng)中，將 7 次轉(zhuǎn)動(dòng)看做 7 個(gè)抽屜， 8 次相同數(shù)字滾珠相對(duì)的局面看做8 個(gè)蘋(píng)果，就至少有 2 次數(shù)字相對(duì)的局面顯現(xiàn)在同一次轉(zhuǎn)動(dòng)中，即必有某一時(shí)刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對(duì)數(shù)字相同的滾珠相對(duì)；例 5 有一個(gè)生產(chǎn)天平上用的鐵盤(pán)的車(chē)間，由于工藝上的緣由，只能掌握盤(pán)的重量在指定的20 克到 20.1 克之間；現(xiàn)在需要重量相差不超過(guò)0.005 克的兩只鐵盤(pán)來(lái)裝配一架天平， 問(wèn)：最少要生產(chǎn)多少個(gè)盤(pán)子， 才能保證肯定能從中挑出符合要求的兩只盤(pán)子？解：把 20 20.1 克之間的盤(pán)子依重量分成20 組：第 1 組：從 20.000 克到 20.005 克；第 2 組：從 20.005

8、 克到 20.010 克；第 20 組：從 20.095 克到 20.100 克；這樣，只要有21 個(gè)盤(pán)子，就肯定可以從中找到兩個(gè)盤(pán)子屬于同一組，這2個(gè)盤(pán)子就符合要求；例 6 在圓周上放著100 個(gè)籌碼，其中有41 個(gè)紅的和 59 個(gè)藍(lán)的；那么總可以找到兩個(gè)紅籌碼，在它們之間剛好放有19 個(gè)籌碼，為什么？分析：此題需要爭(zhēng)論“紅籌碼”的放置情形，因而涉及到“蘋(píng)果”的詳細(xì)放 置方法，由此我們可以在構(gòu)造抽屜時(shí)，使每個(gè)抽屜中的相鄰“蘋(píng)果”之間有19個(gè)籌碼；解：依順時(shí)針?lè)较驅(qū)⒒I碼依次編上號(hào)碼：1， 2， 100；然后依照以下規(guī)律將 100 個(gè)籌碼分為 20 組：（1，21，41，61，81）；（2，22

9、，42，62，82）；（20，40， 60，80， 100）；將 41 個(gè)紅籌碼看做蘋(píng)果，放入以上20 個(gè)抽屜中，由于 41=2×201，所以至少有一個(gè)抽屜中有2+1=3（個(gè)）蘋(píng)果，也就是說(shuō)必有一組5 個(gè)籌碼中有 3 個(gè)紅色籌碼，而每組的 5 個(gè)籌碼在圓周上可看做兩兩等距，且每 2 個(gè)相鄰籌碼之間都有 19 個(gè)籌碼，那么 3 個(gè)紅色籌碼中必有2 個(gè)相鄰（這將在下一個(gè)內(nèi)容其次抽屜原理中說(shuō)明），即有2 個(gè)紅色籌碼之間有19 個(gè)籌碼；下面我們來(lái)考慮另外一種情形：如把 5 個(gè)蘋(píng)果放到 6 個(gè)抽屜中， 就必定有一個(gè)抽屜空著；這種情形一般可以表述為：其次抽屜原理：把（ mn-1）個(gè)物體放入n 個(gè)

10、抽屜，其中必有一個(gè)抽屜中至多有（ m-1）個(gè)物體；例 7 在例 6 中留有一個(gè)疑問(wèn)，現(xiàn)改述如下：在圓周上放有5 個(gè)籌碼，其中有 3 個(gè)是同色的，那么這3 個(gè)同色的籌碼必有2 個(gè)相鄰；分析：將這個(gè)問(wèn)題加以轉(zhuǎn)化：如右圖，將同色的 3 個(gè)籌碼 a，b，c置于圓周上，看是否能用另外2 個(gè)籌碼將其隔開(kāi)；解：如圖， 將同色的 3 個(gè)籌碼放置在圓周上， 將每 2 個(gè)籌碼之間的間隔看做抽屜，將其余 2 個(gè)籌碼看做蘋(píng)果， 將 2 個(gè)蘋(píng)果放入 3 個(gè)抽屜中， 就必有 1 個(gè)抽屜中沒(méi)有蘋(píng)果，即有2 個(gè)同色籌碼之間沒(méi)有其它籌碼，那么這2 個(gè)籌碼必相鄰；例 8 甲、乙二人為一個(gè)正方形的12 條棱涂紅和綠2 種顏色；第一

11、，甲任選3 條棱并把它們涂上紅色；然后，乙任選另外3 條棱并涂上綠色；接著甲將剩下的 6 條棱都涂上紅色；問(wèn)：甲是否肯定能將某一面的4 條棱全部涂上紅色？解：不能；如右圖將 12 條棱分成四組：第一組： a 1b1，b2b3， a3a4 ， 其次組： a 2b2，b3b4， a4a1 ，第三組： a 3b3，b4b1， a1a2 ， 第四組： a 4b4，b1b2， a2a3 ；無(wú)論甲第一次將哪3 條棱涂紅，由抽屜原理知四組中必有一組的3 條棱全未涂紅，而乙只要將這組中的3 條棱涂綠，甲就無(wú)法將某一面的4 條棱全部涂紅了；下面我們爭(zhēng)論抽屜原理的一個(gè)變形平均值原理；我們知道 n 個(gè)數(shù) a1，a2

12、， an 的和與 n 的商是 a1，a2， an 這 n 個(gè)數(shù)的平均值；平均值原理：假如n 個(gè)數(shù)的平均值為a，那么其中至少有一個(gè)數(shù)不大于a，也至少有一個(gè)不小于a；例 9 圓周上有 2000 個(gè)點(diǎn)，在其上任意地標(biāo)上0，1，2， 1999（每一點(diǎn)只標(biāo)一個(gè)數(shù)，不同的點(diǎn)標(biāo)上不同的數(shù)）；求證：必定存在一點(diǎn)，與它緊相鄰的兩個(gè)點(diǎn)和這點(diǎn)上所標(biāo)的三個(gè)數(shù)之和不小于2999；解：設(shè)圓周上各點(diǎn)的值依次是a1， a2， a2000，就其和a1a2+ a2000=0+1+2+1999=1999000；下面考慮一切相鄰三數(shù)組之和：（a1 a2a3）+（a2 a3a4）（ a1998+a1999a2000）（ a1999a2

13、000 a1）（ a2000a1a2）=3（ a1a2 a2000）3×1999000；這 2000 組和中必至少有一組和大于或等于但因每一個(gè)和都是整數(shù)，故有一組相鄰三數(shù)之和不小于2999，亦即存在一個(gè)點(diǎn)，與它緊相鄰的兩點(diǎn)和這點(diǎn)上所標(biāo)的三數(shù)之和不小于2999；例 10 一家旅社有 90 個(gè)房間，住有 100 名旅客，假如每次都恰有90 名旅客同時(shí)回來(lái)， 那么至少要預(yù)備多少把鑰匙分給這100 名旅客，才能使得每次客人回來(lái)時(shí)，每個(gè)客人都能用自己分到的鑰匙打開(kāi)一個(gè)房門(mén)住進(jìn)去，并且防止發(fā)生兩人同時(shí)住進(jìn)一個(gè)房間？解：假如鑰匙數(shù)小于990，那么90 個(gè)房間中至少有一個(gè)房間的鑰匙數(shù)少房間就打不開(kāi)，

14、因此90 個(gè)人就無(wú)法按題述的條件住下來(lái)；另一方面，990 把鑰匙已經(jīng)足夠了， 這只要將 90 把不同的鑰匙分給90 個(gè)人，而其余的 10 名旅客，每人各90 把鑰匙（每個(gè)房間一把），那么任何90 名旅客返回時(shí)，都能按要求住進(jìn)房間；最終，我們要指出， 解決某些較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，往往要多次反復(fù)地運(yùn)用抽屜原理，請(qǐng)看下面兩道例題；例 11 設(shè)有 4×28 的方格棋盤(pán)，將每一格涂上紅、藍(lán)、黃三種顏色中的任意一種；試證明：無(wú)論怎樣涂法，至少存在一個(gè)四角同色的長(zhǎng)方形；證明：我們先考察第一行中28 個(gè)小方格涂色情形， 用三種顏色涂 28 個(gè)小方格，由抽屜原理知，至少有10 個(gè)小方格是同色的，不妨設(shè)其為

15、紅色，仍可設(shè)這10 個(gè)小方格就在第一行的前10 列；下面考察其次、三、四行中前面10 個(gè)小方格可能顯現(xiàn)的涂色情形；這有兩種可能：（1）這三行中，至少有一行，其前面 10 個(gè)小方格中，至少有 2 個(gè)小方格是涂有紅色的， 那么這 2 個(gè)小方格和第一行中與其對(duì)應(yīng)的 2 個(gè)小方格， 便是一個(gè)長(zhǎng)方形的四個(gè)角，這個(gè)長(zhǎng)方形就是一個(gè)四角同是紅色的長(zhǎng)方形；（2）這三行中每一行前面的10 格中，都至多有一個(gè)紅色的小方格，不妨設(shè)它們分別顯現(xiàn)在前三列中，那么其余的3×7 個(gè)小方格便只能涂上黃、藍(lán)兩種顏色了；我們先考慮這個(gè)3×7 的長(zhǎng)方形的第一行；依據(jù)抽屜原理，至少有4 個(gè)小方格是涂上同一顏色的，不

16、妨設(shè)其為藍(lán)色，且在第1 至 4 列；再考慮其次行的前四列，這時(shí)也有兩種可能：（1）這 4 格中，至少有 2 格被涂上藍(lán)色，那么這 2 個(gè)涂上藍(lán)色的小方格和第一行中與其對(duì)應(yīng)的 2 個(gè)小方格便是一個(gè)長(zhǎng)方形的四個(gè)角， 這個(gè)長(zhǎng)方形四角同是藍(lán)色；（2）這 4 格中，至多有 1 格被涂上藍(lán)色，那么，至少有3 格被涂上黃色；不妨設(shè)這 3 個(gè)小方格就在其次行的前面3 格；下面連續(xù)考慮第三行前面 3 格的情形；用藍(lán)、黃兩色涂 3 個(gè)小方格， 由抽屜原理知， 至少有 2 個(gè)方格是同色的， 無(wú)論是同為藍(lán)色或是同為黃色， 都可以得到一個(gè)四角同色的長(zhǎng)方形；總之，對(duì)于各種可能的情形，都能找到一個(gè)四角同色的長(zhǎng)方形；例 12

17、 試卷上共有 4 道挑選題，每題有 3 個(gè)可供挑選的答案；一群同學(xué)參與考試，結(jié)果是對(duì)于其中任何 3 人，都有一道題目的答案互不相同；問(wèn)：參與考試的同學(xué)最多有多少人？解：設(shè)每題的三個(gè)挑選分別為a，b，c；（1）如參與考試的同學(xué)有10 人，就由其次抽屜原理知，第一題答案分別為a，b，c 的三組同學(xué)中， 必有一組不超過(guò)3 人；去掉這組同學(xué)， 在余下的同學(xué)中，定有 7 人對(duì)第一題的答案只有兩種； 對(duì)于這 7 人關(guān)于其次題應(yīng)用其次抽屜原理知， 其中必可選出 5 人，他們關(guān)于其次題的答案只有兩種可能；對(duì)于這 5 人關(guān)于第三題應(yīng)用其次抽屜原理知，可以選出4 人，他們關(guān)于第三題的答案只有兩種可能；最終，對(duì)于這

18、 4 人關(guān)于第四題應(yīng)用其次抽屜原理知，必可選出 3 人，他們關(guān)于第四題的答案也只有兩種； 于是，對(duì)于這 3 人來(lái)說(shuō)， 沒(méi)有一道題目的答案是互不相同的，這不符合題目的要求；可見(jiàn)，所求的最多人數(shù)不超過(guò)9 人；另一方面， 如 9 個(gè)人的答案如下表所示， 就每 3 人都至少有一個(gè)問(wèn)題的答案互不相同；所以，所求的最多人數(shù)為9 人；練習(xí) 121. 六（ 1）班有 49 名同學(xué)；數(shù)學(xué)王老師明白到在期中考試中該班英文成果除3 人外均在 86 分以上后就說(shuō)：“我可以肯定，本班同學(xué)至少有4 人成果相同；”請(qǐng)問(wèn)王老師說(shuō)得對(duì)嗎？為什么？2. 現(xiàn)有 64 只乒乓球， 18 個(gè)乒乓球盒，每個(gè)盒子里最多可以放6 只乒乓球，

19、至少有幾個(gè)乒乓球盒子里的乒乓球數(shù)目相同？3. 某校初二年級(jí)同學(xué)身高的厘米數(shù)都為整數(shù)，且都不大于 160 厘米，不小于150 厘米；問(wèn)：在至少多少個(gè)初二同學(xué)中肯定能有4 個(gè)人身高相同？4. 從 1，2， 100 這 100 個(gè)數(shù)中任意選出 51 個(gè)數(shù)，證明在這 51 個(gè)數(shù)中，肯定：（1）有兩個(gè)數(shù)的和為101；（2）有一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)；（3）有一個(gè)數(shù)或如干個(gè)數(shù)的和是51 的倍數(shù)；5. 在 3×7 的方格表中，有 11 個(gè)白格，證明（1）如僅含一個(gè)白格的列只有3 列，就在其余的4 列中每列都恰有兩個(gè)白格；（2）只有一個(gè)白格的列只有3 列；6. 某個(gè)委員會(huì)開(kāi)了40 次會(huì)議，每次會(huì)議有

20、10 人出席；已知任何兩個(gè)委員不會(huì)同時(shí)開(kāi)兩次或更多的會(huì)議； 問(wèn)：這個(gè)委員會(huì)的人數(shù)能夠多于60 人嗎？為什么？7. 一個(gè)車(chē)間有一條生產(chǎn)流水線，由5 臺(tái)機(jī)器組成，只有每臺(tái)機(jī)器都開(kāi)動(dòng)時(shí)，這條流水線才能工作； 總共有 8 個(gè)工人在這條流水線上工作； 在每一個(gè)工作日內(nèi)，這些工人中只有5 名到場(chǎng)；為了保證生產(chǎn)， 要對(duì)這 8 名工人進(jìn)行培訓(xùn)， 每人學(xué)一種機(jī)器的操作方法稱(chēng)為一輪；問(wèn)：最少要進(jìn)行多少輪培訓(xùn)， 才能使任意 5 個(gè)工人上班而流水線總能工作？8. 有 9 名數(shù)學(xué)家， 每人至多能講 3 種語(yǔ)言， 每 3 人中至少有 2 人能通話； 求證：在這 9 名中至少有 3 名用同一種語(yǔ)言通話；練習(xí) 13 答案：1

21、.對(duì)；解：由于49-3=3×（ 100-86+1）+1，即 46=3×15+1，也就是說(shuō)，把從 100 分至 86 分的 15 個(gè)分?jǐn)?shù)當(dāng)做抽屜， 49-3=46（人）的成果當(dāng)做物體，依據(jù)其次抽屜原理，至少有4 人的分?jǐn)?shù)在同一抽屜中，即成果相同；2.4 個(gè)；解： 18 個(gè)乒乓球盒，每個(gè)盒子里至多可以放6 只乒乓球；為使相同乒乓球個(gè)數(shù)的盒子盡可能少，可以這樣放：先把盒子分成6 份，每份有 18÷ 6=3（只），分別在每一份的3 個(gè)盒子中放入 1 只、2 只、3 只、4 只、5 只、6 只乒乓球，即 3 個(gè)盒子中放了 1 只乒乓球， 3 個(gè)盒中放了 2 只乒乓球3 個(gè)盒

22、子中放了 6 只乒乓球；這樣， 18 個(gè)盒子中共放了乒乓球（1+2+3+4+5+6）× 3=63（只）；把以上 6 種不同的放法當(dāng)做抽屜，這樣剩下 64-63=1（只）乒乓球不管放入哪一個(gè)抽屜里的任何一個(gè)盒子里 （除已放滿 6 只乒乓球的抽屜外） ，都將使該盒子中的乒乓球數(shù)增加 1 只，這時(shí)與比該抽屜每盒乒乓數(shù)多 1 的抽屜中的 3 個(gè)盒子里的乒乓球數(shù)相等；例如剩下的 1 只乒乓球放進(jìn)原先有 2 只乒乓球的一個(gè)盒子里， 該盒乒乓球就成了 3 只，再加上原先裝有 3 只乒乓球的 3 個(gè)盒子，這樣就有 4個(gè)盒子里裝有 3 個(gè)乒乓球；所以至少有4 個(gè)乒乓球盒里的乒乓球數(shù)目相同；3.34 個(gè)

23、；解：把初二同學(xué)的身高厘米數(shù)作為抽屜，共有抽屜160-150+1=11（個(gè)）；依據(jù)抽屜原理，要保證有4 個(gè)人身高相同，至少要有初二同學(xué)3×11+1=34（個(gè)）；4.證：（ 1）將 100 個(gè)數(shù)分成 50 組：1，100， 2，99， 50， 51；在選出的 51 個(gè)數(shù)中，必有兩數(shù)屬于同一組，這一組的兩數(shù)之和為101；（2）將 100 個(gè)數(shù)分成 10 組：1,2,4,8,16,32,64, 3,6,12,24,48,96,5,10,20,40,80 , 7,14,28,56,9,18,36,72, 11,22,44,88,13,26,52, 15,30,60,49,98,其余數(shù)；其中第

24、 10 組中有 41 個(gè)數(shù)；在選出的 51 個(gè)數(shù)中，第 10 組的 41 個(gè)數(shù)全部選中，仍有 10 個(gè)數(shù)從前 9 組中選， 必有兩數(shù)屬于同一組， 這一組中的任意兩個(gè)數(shù)， 一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù)；（3）將選出的 51 個(gè)數(shù)排成一列： a1，a2， a3， a51；考慮下面的 51 個(gè)和：a1，a1+a2，a1+a2+a3，a1+a2+a3+a51；如這 51 個(gè)和中有一個(gè)是51 的倍數(shù)，就結(jié)論明顯成立；如這51 個(gè)和中沒(méi)有一個(gè)是 51 的倍數(shù)，就將它們除以51，余數(shù)只能是1，2， 50 中的一個(gè)，故必定有兩個(gè)的余數(shù)是相同的，這兩個(gè)和的差是51 的倍數(shù)，而這個(gè)差明顯是這51 個(gè)數(shù)（ a1， a2， a

25、3， a51）中的一個(gè)數(shù)或如干個(gè)數(shù)的和；5.證：（ 1）在其余 4 列中如有一列含有3 個(gè)白格，就剩下的5 個(gè)白格要放入 3 列中，將 3 列表格看做 3 個(gè)抽屜， 5 個(gè)白格看做 5 個(gè)蘋(píng)果，依據(jù)其次抽屜原理， 5（=2× 3-1）個(gè)蘋(píng)果放入3 個(gè)抽屜，就必有1 個(gè)抽屜至多只有（ 2-1）個(gè)蘋(píng)果，即必有 1 列只含 1 個(gè)白格，也就是說(shuō)除了原先3 列只含一個(gè)白特別仍有1 列含 1 個(gè)白格，這與題設(shè)只有1 個(gè)白格的列只有3 列沖突；所以不會(huì)有1 列有 3個(gè)白格，當(dāng)然也不能再有1 列只有 1 個(gè)白格；推知其余 4 列每列恰好有 2 個(gè)白格；（2）假設(shè)只含 1 個(gè)白格的列有 2 列，那么剩下的9 個(gè)白格要放入 5 列中，而 9=2×5-1，由其次抽屜原理知，必有1 列至多只有 2-1=1（個(gè)）白格，與假設(shè)只有 2 列每列只 1 個(gè)白格沖突；所以只有1 個(gè)白格的列至少有3 列；6.能；解：開(kāi)會(huì)的“人次”有40×10=400（人次）；設(shè)委員人數(shù)為n，將“人次”看做蘋(píng)果，以委員人數(shù)作為抽屜；如 n 60，就由抽屜