(完整版)導(dǎo)數(shù)講義(學(xué)生新版)(2)

1、1 / 8、導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù) y=f(x),如果自變量 x 在 x0處有增量 x，那么函數(shù) y 相應(yīng)地有增量y=f(Xo+ x ) -f (x。)，比值 丄叫做函數(shù) y=f (x)在 X。到 Xo+ x 之間的平均變x化率，即丄=x) f(x。)。如果當 X。時，有極限，我們就說函XXX數(shù)y=f(x)在點Xo處可導(dǎo)， 并把這個極限叫做f (x在點 Xo處的導(dǎo)數(shù)，記作 f(X。)或 y丨X X。f (x0)=limX。1A . 2k B . k C .丄kD .以上都不是2變式訓(xùn)練： 設(shè)函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)，試求下列各極限的值.3若f(X。)2，則limf(X k)仏)=?k 02k二、導(dǎo)數(shù)

2、的幾何意義函數(shù) y=f (x)在點 x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線 y=f (x)在點 p (x0, f (x0) 處的切線的斜率。也就是說，曲線 y=f (x)在點 p(x0，f (x0)處的切線的 斜率是 f(X。)。切線方程為 y-yo=fz(x。) (x-x。)。三、導(dǎo)數(shù)的運算1 .基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：C 0;( C 為常數(shù))導(dǎo)數(shù)f (XoX)f (Xo)- 。X例、 若 lim血X。X)f(X。)Xk，則 limX。f(x。2 x) f(x。)等于XX 22 / 83(sin x) cosx;4(cosx) si nx;5(ex) ex；6(ax) axlna;7In x -;1 lo

3、gae.x2、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則:f(x)g(x)f (x)g(x)f(x)g(x)f (x)g(x)f(x)g(x) f (x)g(x) f(x)g(x)f(x) f (x)g(x) f(x)g(x) g(x) g2(x)練習: 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y2xx 2；（2）y、x ln x；（3）y.xsin x；（4）yxln xo（5）ysin x（6）y2xo(1)f(x)( 2)f(x)4x（3）f(x),x(4)f (x) sin x(5)f (x)cosx（6）f(x)3x（7）f(x) ex(8)f (x) log2x(9)f (x) ln x（10）f(x)1（11）y31c

4、osxx4 4(12）y產(chǎn)（13)ylg xxe（14）y3x cosx1 x習題：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):（8分鐘獨立完成）Xnn 1nxI ogaX3 / 8xln x3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo):如果函數(shù)（x）在點 x 處可導(dǎo)，函數(shù) f （u）在點 u=（x）處可導(dǎo)，則復(fù)合函4 / 8數(shù)yf ( u) =f (x)在點 x 處也可導(dǎo)，并且?？碱}型：類型一、求導(dǎo)數(shù)相關(guān)問題例 1、若曲線 y 二 ex上點 P 處的切線平行于直線 2X+ y+ 1 二 0,則點 P 的坐標是例 2、曲線 y = xexT 在點(1 , 1)處切線的斜率等于()A. 2e B . eC. 2 D . 1例 3、2014 新課標全

5、國卷U設(shè)曲線 y = ax- ln( x + 1)在點(0 , 0)處的切線方 程為 y = 2x，則 a=()A. 0 B . 1 C . 2 D . 3類型二、求切線方程(一) 已知切點坐標，求切線方程例 1.曲線y x33x21在點(1, 1)處的切線方程(二) 已知切點斜率，求切線方程例 2.與直線2x y 4 0的平行的拋物線y x2的切線方程(三) 已知曲線外一點，求切線方程例 3.求過點(2,0)且與曲線y丄相切的直線方程.x(四)已知曲線上一點，求過該點的切線方程例 4.求過曲線y x32x上的點(1, 1)的切線方程.變式訓(xùn)練：1、 2014 廣東卷曲線 y 二一 5ex+

6、3 在點(0，- 2)處的切線方程為 _ .b2、2014 江蘇卷在平面直角坐標系 xOy 中，若曲線 y = ax2+-(a, b 為常數(shù))x(例、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) y=1 2xcos x 練習：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y=(3x 1)f (x) / =f (x)(x)(2) y=ln ( x+ . 1 x2)(2)y=sin (3x+)45 / 8過點 P(2 , - 5)，且該曲線在點 P 處的切線與直線 7x + 2y+ 3= 0 平行，則 a+ b的值是_.23、與直線x y 1= 0 平行,且與曲線 y= 1相切的直線方程3類型三、求單調(diào)區(qū)間及極值、最值考點一求不含參數(shù)的函數(shù)的

7、單調(diào)區(qū)間例 1.求函數(shù) y=x2(1 x)3的單調(diào)區(qū)間.變式訓(xùn)練：1. 函數(shù)y xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. (e1,) B. ( ,e1)C. (0,e1)D. (e,)2. (05 年廣東高考題)函數(shù)f (x) x33x21是減函數(shù)的區(qū)間為()(A)(2,)(B)(,2)(C)(,0)(D)(0,2)考點二 求含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1考例 1、已知函數(shù) f(x) - x2ml nx (m 1)x , m R .當 m 0 時，討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性.例 2、設(shè)函數(shù) f(x)=2x33(a 1)x21,其中 a 1.求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；例 3、設(shè)函數(shù) f(x)=ax (a+1)l

8、n( x+1)，其中 a -1 ,求 f (x)的單調(diào)區(qū)間。變式訓(xùn)練：x 一 11、2014 山東卷設(shè)函數(shù) f (x) = aln x+ ,其中 a 為常數(shù).x十 I(1) 若 a= 0,求曲線 y= f(x)在點(1 , f(1)處的切線方程；(2) 討論函數(shù) f(x)的單調(diào)性.2、【2014 安徽卷】設(shè)函數(shù) f (x) = 1 + (1 + a)x x2 x3,其中 a0.(1)討論 f(x)在其定義域上的單調(diào)性；考點三：利用單調(diào)區(qū)間求未知參數(shù)取值范圍：例 1、2014 新課標全國卷U若函數(shù) f (x) = kx ln x 在區(qū)間(1 , +)單調(diào)遞增，貝 U k 的取值范圍是()6 /

9、8A. (x,2 B.(x,1C. 2, +x) D.1, +x)例 2、2014 全國新課標卷I已知函數(shù) f (x) = ax3 3x2+ 1,若 f (x)存在唯一的零點 xo,且 x0,則 a 的取值范圍是()A. (2,+x)B.(1,+x)C. (x,2) D.(x,1)例 3、2014 遼寧卷當 x 2, 1時，不等式 ax3 x2+ 4x + 30 恒成立， 則實數(shù) a 的取值范圍是()9A. 5, 3 B.6,8C.6,2D 4,3變式訓(xùn)練：(山東省煙臺市 2011 屆高三上學(xué)期期末考試試題(數(shù)學(xué)文)已知函數(shù)f (x) ax3bx2的圖像經(jīng)過點M(1,4)，曲線在點 M 處的切

10、線恰好與直線x 9y 0垂直.(I)求實數(shù)a,b的值；(U)若函數(shù)f (x)在區(qū)間m, m 1上單調(diào)遞增，求 m 的取值范圍.考點四：結(jié)合單調(diào)性求極值問題求函數(shù)的極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)f(x).求方程f(x)0的根.用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 0 的點，順次將函數(shù)的定義域分成若干小開區(qū)間，并列成表 格.檢查f(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號， 那么f(x)在這個根處無極值.注：可導(dǎo)函數(shù)y f(x)在xX。處取得極值是 fix。)0的充分不必要條件.例 1、已知函數(shù)f(x) 2

11、axb4lnx在x 1與x1處都取得極值.x3(1)求a、b 的值；變式訓(xùn)練：設(shè)x 1,x 2是 f x al nx bx x 函數(shù)的兩個極值點.(1) 試確定常數(shù) a 和 b 的值；7 / 8(2) 試判斷x 1，x 2是函數(shù)f x的極大值點還是極小值點，并求相應(yīng)極值.例 2、(06 安徽卷)設(shè)函數(shù) f x x3bx2cx(x R)，已知g(x) f (x) f (x)是8 / 8奇函數(shù)。(I)求 b、c的值。(U)求g(x)的單調(diào)區(qū)間與極值。例 3、已知函數(shù)f (x) ax3bx2(c 3a 2b)x d的圖象如圖所示.(I )求c,d的值；(II )若函數(shù)f(x)在x 2處的切線方程為3

12、x y 11 0，求函數(shù)f(x)的解析式;(III )在(II )的條件下， 函數(shù)y f(x)與y的交點，求m的取值范圍. R).(1)當 b= 4 時，求 f(x)的極值;變式訓(xùn)練：1、 已知函數(shù)f(x) x b的圖象與函數(shù)g(x) x23x 2的圖象相切，記F(x) f(x)g(x).(I)求實數(shù) b 的值及函數(shù)F(x)的極值；(U)若關(guān)于x的方程F(x) k恰有三個不等的實數(shù)根，求實數(shù) k 的取值范圍322、 (2011 全國U文 20)已知函數(shù)f(x) x3ax (3 6a)x12a4(a R)(I)證明：曲線y f (x)在 x 0 的切線過點(2,2);(U)若f(x)在xxo處取

13、得極小值，xo(1,3),求 a 的取值范圍考點五：結(jié)合單調(diào)性求最值問題求函數(shù)在a,b上最值的步驟：(1)求出f(x)在(a,b)上的極值.(2) 求出端點函數(shù)值f(a), f(b).(3)比較極值和端點值，確定最大值或最小值. 例1、(2010 年重慶卷)已知函數(shù) f(x) = ax3+ x2+ bx(其中常數(shù) a，b R)，g(x)=f(x) + f (x)是奇函數(shù).(1)求 f(x)的表達式；討論 g(x)的單調(diào)性，并求 g(x)在區(qū)間1,2上的最大值與最小值.例 2、設(shè)函數(shù) f(x) = ax3+ bx+ c(a 工 0)為奇函數(shù)，其圖象在點(1，f(1)處的切 線與直線 x 6y 7

14、= 0 垂直，導(dǎo)函數(shù) f (x)的最小值為12.(1)求 a，b，c 的值；求函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù) f(x)在1,3上的最大值和最小值.1例 4、2014 江西卷已知函數(shù) f(x)=(2)若 f(x)在區(qū)間 0，3 上單調(diào)遞增,1-f (x)5x m9 / 8例 3、已知函數(shù)f (x)x2aln x, g(x) (a 1)x ,a 1.2(I )若函數(shù)f (x), g(x)在區(qū)間1,3上都是單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同，求實數(shù)a的取值范圍；(II )若a (1,e(e 2.71828L )，設(shè)F(x) f (x) g(x)，求證：當x,x21,a時，不等式| F(xJF(X2)

15、| 1成立.例 4、2014 安徽卷設(shè)函數(shù) f(x) = 1+ (1 + a)x-x2 x3，其中 a 0.(1) 討論 f(x)在其定義域上的單調(diào)性；(2) 當 x 0 , 1時，求 f(x)取得最大值和最小值時的 x 的值.四、導(dǎo)數(shù)與不等式恒成立問題：可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。兩個基本思想解決“恒成立問題”思路 1、mf (x)在 x D 上恒成立mf(x)max思路 2、mf (x)在 x D 上恒成立mf (x)min例 1.設(shè)函數(shù)f (x)2x33ax23bx 8c在 x1 及x 2 時取得極值.求 a、b 的值；若對于任意的x0,3，都有f(x) c成立, 求 c 的

16、取值范圍.例 2、已知函數(shù) fa332.xxx a 132x1,其中a為實數(shù)。已知不等式fxx2x a 1對任意a0,都成立，求實數(shù)x的取值范圍例 3、設(shè)函數(shù)f xx4ax32x2b, (xR), 其中a,b R。若對于任意的a2,2，不等式f x1在1,1上恒成立，求 b 的取值范圍。例 4、若實數(shù) a 0 且 a 2，函數(shù) f x13ax312a 2 x22x1。2(1)證明函數(shù)f x在 x 1 處取極值，并求出函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間(2)若在區(qū)間0,上至少存在一點X。，使得f X。1，求實數(shù)a的取值范圍變式訓(xùn)練：1、(2010 遼寧文)已知函數(shù)f (x) (a 1)lnx ax21.(I)

17、討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性；(U)設(shè) a 2，證明：對任意為風(0,)，| f (xj f (x2) | 4 | x1x21.2、已知函數(shù) f (x) = x + 3| x a|( a0).若 f (x)在1,1上的最小值記為 g(a). (1)求 g(a)；證明：當 x 1，1時，恒有 f(x) g( a) + 4.10 / 83、設(shè)函數(shù)f (x) (x a)2x, a R.11 / 8(I)若 x 1 為函數(shù)y f (x)的極值點，求實數(shù) a ；-x32ax23a2x b (0 a 1, b R). 3(I)求函數(shù) f x 的單調(diào)區(qū)間和極值;存在性問題:(1)對任意x3,3，都有fX g X)成立，求實數(shù)c的取值范圍;(2)存在x3,3，使fX g X成立，求實數(shù)c的取值范圍；