2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題五第1講直線與圓案文

1、第 1 講直線與圓高考定位1.直線方程、圓的方程、兩直線的平行與垂直、直線與圓的位置關(guān)系是本講高考的重點(diǎn)；2.考查的主要內(nèi)容包括求直線 (圓)的方程、點(diǎn)到直線的距離、直線與圓的位置關(guān)系 判斷、簡單的弦長與切線問題，多為選擇題、填空題真題S1BI考點(diǎn)整合I明若向扣要點(diǎn)真題感悟2 21.(2016 全國 n 卷)圓x+y-2x 8y+13= 0 的圓心到直線ax+y 1 = 0 的距離為 1，貝 UaA.3C. 3D.2解析 圓x2+y2 2x 8y+ 13= 0 化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x 1)2+ (y 4)2= 4,故圓心為(1 , 4).答案 A2.(2016 山東卷)已知圓M x2+y2 2ay

2、=0(a 0)截直線x+y= 0 所得線段的長度是22, 則圓M與圓 N：(x 1)2+ (y 1)2= 1 的位置關(guān)系是()A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離2 2 2 2 2解析 圓M x+y 2ay= 0(a0)可化為x+ (ya) =a,2a2a由題意，d= ，所以有a= + 2，解得a= 2.所以圓M x2+ (y 2)2= 22,圓心距為_2,半徑和為 3，半徑差為 1,所以兩圓相交.答案 B2 23. (2016 全國I卷)設(shè)直線y=x+ 2a與圓 C：x+y 2ay 2 = 0 相交于A B兩點(diǎn)，若|AB=2 萌，則圓C的面積為 _ .解析 圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+ (ya)2=a

3、2+ 2,圓心為C(0 ,a)，點(diǎn)C到直線y=x+B.4由題意得,a2+1=1,解得a= 3.a2= 2,所以圓C曇又由 IAB= 2 需，得+|a22=a2+ 2,解得-2 -2a的距離 為d=10a+2a|=V2的面積為n(a+ 2) = 4n.答案 4n4. (2017 天津卷)設(shè)拋物線y2= 4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為I.已知點(diǎn)C在I上，以C為圓心的圓-3 -與y軸的正半軸相切于點(diǎn)A若/FAC=120,則圓的方程為 _.解析 由題意知該圓的半徑為 1，設(shè)圓心C( 1,a)(a0)，則A(0 ,a).又F(1 , 0)，所以AC=( 1, 0) ,AF= (1 , a).由題意知AC與AF的

4、夾角為 120,得 cos 120 = - = 1，解得a= J3.1xTT?2v所以圓的方程為(x+ 1)2+ (y 3)2= 1.答案(x+ 1)2+ (y 3)2= 1考點(diǎn)整合1. 兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線丨1,丨2的斜率k1,k2存在，則I1/I2?k1=k2,I1丄丨2?k1k2= 1.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在2. 兩個距離公式3. 圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)2+ (yb)2=r2(r0)，圓心為(a, b)，半徑為r.圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F= 0(D2+E2 4F 0)，圓心為 iD,E，半徑為r=D+E2

5、4F2.4. 直線與圓的位置關(guān)系的判定(1)幾何法：把圓心到直線的距離d和半徑r的大小加以比較：dr?相離.(2)代數(shù)法：將圓的方程和直線的方程聯(lián)立起來組成方程組，利用判別式 0?相交； = 0?相切； 0,b0).點(diǎn)P(2 , 3)在直線I上.2 3a+b= 1，貝Vab= 3a+ 2b2/6ab,故ab24,當(dāng)且僅當(dāng) 3a=2b(即a=4,b= 6)時取等號.1因此SAAOB=2ab12,即卩SAAOB的最小值為 12.答案 (1)A12探究提高1.求解兩條直線平行的問題時，在利用A Ba AB= 0 建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗(yàn)，排除兩條直線重合的可能性2.求直線方程時應(yīng)根據(jù)條

6、件選擇合適的方程形式利用待定系數(shù)法求解，同時要考慮直線斜率 不存在的情況是否符合題意.【訓(xùn)練 1】(1)(2017 貴陽質(zhì)檢)已知直線I仁 m+y+ 1 = 0,I2： (m 3)x+ 2y 1 = 0,則“m=1”是“丨1丄I2”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件已知I1,丨2是分別經(jīng)過A(1 , 1) ,B(0， 1)兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)I1,丨2間的距離最大時，則直線11的方程是_.解析(1) “I1丄12”的充要條件是“mmr3) + 1X2= 0?n= 1 或m= 2”，因此“m= 1”是“I1丄I2”的充分不必要條件.當(dāng)直線AB與丨1,

7、丨2垂直時，丨1,丨2間的距離最大.1 1 A(1,1),B(0，1) , kAB=-03=2.1兩平行直線的斜率k=勺1-5 -直線I1的方程是y 1 = (x 1)，即x+ 2y 3 = 0.答案(1)A(2)x+ 2y 3= 0熱點(diǎn)二圓的方程【例 2 1】(1)(2016 天津卷)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)M0, ,5)在圓C上,-6 -且圓心到直線 2xy= 0 的距離為 響，則圓C的方程為 _2 2x y(2015 全國I卷)一個圓經(jīng)過橢圓 花+才=1 的三個頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_ .解析(1) 圓C的圓心在x的正半軸上，設(shè)C(a, 0)，且a0.

8、圓C的半徑r= |CM=(2 0)2+( 05)2= 3，因此圓C的方程為(x 2)2+y2= 9.由題意知，橢圓頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 (0 , 2) , (0， 2) , ( 4, 0) , (4 , 0).由圓心在x軸的正半軸上知圓過頂點(diǎn)(0 , 2) , (0， 2) , (4 , 0). 設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xm)2+y2=r2,m+ 4=r2, 則有S4-m)2=r2,一f 32225所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ix+y= 4.答案(1)(x 2)2+y2= 9(2)x I +y2=25探究提高1.直接法求圓的方程，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程2.待定系數(shù)法求圓的方程：(1)

9、若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程， 依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b,r的方程組，從而求出a,b,r的值；(2)若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D, E,F的方程組，進(jìn)而求出D, E, F的值溫馨提醒解答圓的方程問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)【訓(xùn)練 2】(1)(2017 河南部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)圓心在直線x= 2 上的圓與y軸交于兩點(diǎn)A(0 ,4) ,B(0， 2)，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 _.圓心在直線x 2y= 0 上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得的弦的長為 2 ,3,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 _ .解析(1)易知圓心的

10、縱坐標(biāo)為 一4_2= 3，所以圓心坐標(biāo)為(2 , 3).則半徑r= , (2 0)2+ ( 3) ( 2) 2= .5,則圓心C到直線 2xy= 0 的距離d=，解得a= 2.解得25才|2a 0|-7 -故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x 2)2+ (y+ 3)2= 5.-8 -設(shè)圓心 ja, 2 (ao)，半徑為a.由勾股定理得(西)2+=a2,解得a= 2.所以圓心為(2 , 1)，半徑為 2, 所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X 2)2+ (y 1)2= 4.2 2 2 2答案(1)(x 2) + (y+ 3) = 5(2)(X 2) + (y 1) = 4.熱點(diǎn)三直線與圓的位置關(guān)系 命題角度 1 圓的切

11、線問題【例 3 1】(2017 鄭州調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)A(1 , 0)為圓心且與直線mxy 2m-1= 0(me R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 _.解析 直線mx- y 2m-1 = 0 恒過定點(diǎn)R2, 1)，當(dāng)AP與直線mx- y 2m-1 = 0 垂直，即 點(diǎn)P(2 , 1)為切點(diǎn)時，圓的半徑最大，半徑最大的圓的半徑r= :(1 2)2+(0 + 1)2=；2.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x 1)2+y2= 2.答案(x 1)2+y2= 2命題角度 2 圓的弦長相關(guān)計算2【例 3 2】(2017 全國川卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y=x+mx-2 與x軸交于A

12、,B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0 , 1).當(dāng)m變化時，解答下列問題：(1)能否出現(xiàn)ACBC的情況？說明理由；證明過A,B,C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值.(1)解 不能出現(xiàn)ACL BC的情況，理由如下:設(shè)A(X1, 0),B(X2, 0)，貝UX1,X2滿足方程x2+mx2= 0, 所以X1X2= 2.又C的坐標(biāo)為(0 , 1),所以不能出現(xiàn)ACLBC的情況.由(1)可得X1+X2= m,所以AB的中垂線方程為x= m故AC的斜率與BC的斜率之積為1X11X2證明BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為X2i,1 1X22，可得BC的中垂線方程為y- =X2X2 .-9 -mx= 2， 聯(lián)立丿1/ X2、y-2=x2

13、x-,又x2+mx 2=0,m1由解得x= 2，y=2即過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值探究提高1.研究直線與圓的位置關(guān)系最常用的解題方法為幾何法，將代數(shù)問題幾何化，利用數(shù)形結(jié)合思想解題2.與弦長有關(guān)的問題常用幾何法，即利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d，及半弦長 2，構(gòu)成直角三角形的三邊，利用其關(guān)系來處理【訓(xùn)練 3】（1）（2017 泉州質(zhì)檢）過點(diǎn) R 3，1），Qa，0）的光線經(jīng)x軸反射后與圓x2+y2=1相切，則a的值為_.（2016 全國川卷）已知直線I:x3y+ 6= 0 與圓x2+y2= 12 交于 A,B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C, D兩點(diǎn)，貝 U |C

14、D=_ .解析點(diǎn)P（ 3, 1）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為P（ 3, 1）,所以直線P Q的方程為x（a+ 3）ya= 0. 依題意，直線P Q與圓x2+y2= 1 相切.2.12+( a+ 3)3由圓x2+y2= 12 知圓心 Q0, 0)，半徑r= 2 3,6圓心(0 , 0)到直線X. 3y+ 6= 0 的距離d-= 3, IAB= 2 12 32= 2 3.過C作C巳BD于E如圖所示，則|CE= 1AB= 2 3.所以過A,B,C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為pm+ 92| a|-m，故圓在y軸上截得的弦長為-10 -直線l的方程為x 3y+ 6 = 0,直線l的傾斜角/BP亠 30,從而/BDP=60

15、,因此 |CD=sinl6 =爲(wèi) 03 = 4. 答案-5(2)4-11 -舊納總結(jié)思維升華I場規(guī)律陸失誤1. 解決直線方程問題應(yīng)注意：要注意幾種直線方程的局限性點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式要求直線不能與x軸垂直而截距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線，也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線.(2) 求直線方程要考慮直線斜率是否存在.(3) 求解兩條直線平行的問題時，在利用ABAzB= 0 建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗(yàn)，排除兩條直線重合的可能性2. 求圓的方程兩種主要方法：(1) 直接法：利用圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合直接求出圓心坐標(biāo)、半徑，進(jìn)而求出圓的方程(2) 待定系數(shù)法：先設(shè)出圓的

16、方程，再由條件構(gòu)建系數(shù)滿足的方程(組)求得各系數(shù)，進(jìn)而求出圓的方程3.直線與圓相關(guān)問題的兩個關(guān)鍵點(diǎn)(1)三個定理：切線的性質(zhì)定理、切線長定理和垂徑定理.(2)兩個公式：點(diǎn)到直線的距離公式4.直線(圓)與圓的位置關(guān)系的解題思路(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題 途徑，減少運(yùn)算量.研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過圓心到直線的距離與半徑的比較來實(shí) 現(xiàn)，兩個圓的位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較直線與圓相切時利用“切線與過切點(diǎn)的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立切線 斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點(diǎn)斜式，過圓外一點(diǎn)求解切線段長

17、可轉(zhuǎn)化為圓心到 圓外點(diǎn)距離，利用勾股定理計算 .專題W練對接高考求轟丈皿哉考一、選擇題21.(2017 昆明診斷)已知命題p：“ m= 1”，命題q：“直線xy= 0 與直線x+my= 0 互 相垂直，則命題p是命題q的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要解析 “直線xy= 0 與直線x+mny= 0 互相垂直”的充要條件是1x1 +2(1) m= 0?m 1.命題p是命題q的充分不必要條件.|AX)+By+q；A+B2，弦長公式 IAB= 2r2d2(弦心距d).-12 -答案 A2.過點(diǎn)(3 , 1)作圓(x1)2+y2=r2的切線有且只有一條，則該切線

18、的方程為()-13 -A.2X+y 5= 0B.2X+y 7 = 0C.x 2y 5= 0D.x 2y 7 = 0解析依題意知，點(diǎn)(3 , 1)在圓(x 1)2+y2=r2上，且為切點(diǎn)1圓心(1 , 0)與切點(diǎn)(3 , 1)連線的斜率為 2，所以切線的斜率k= 2.故圓的切線方程為y 1 = 2(X 3)，即 2x+y 7 = 0.答案 B3.(2017 濟(jì)南調(diào)研)若直線xy+m= 0 被圓(x 1)2+y2= 5 截得的弦長為 2 3，則m的值為( )A.1B. 3C.1 或一 3D.2解析圓(x 1)2+y2= 5 的圓心C(1 , 0)，半徑r=5.又直線xy+m= 0 被圓截得的弦長為

19、 2 3.圓心C到直線的距離d=r2(；3)2=.2,答案 C4.(2015 全國H卷)已知三點(diǎn)A(1 ,0) ,B(0 , 3) ,C(2 ,3)，則ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為()A.3因此|1 0+m12+( 1)2 , m= 1 或 m= 3.解析設(shè)圓的一般方程為 1+ D+F=0,3+3E+ F= 0,II_7+ 2D+3E+F= 0,2 2x+y+Dx+Ey+F=0,D=2,E=-毎，F(xiàn)=1,4 ABC外接圓的圓心為21-14 -答案 B5.(2017 衡水中學(xué)模擬)已知圓 C: (x 1)2+y2= 25,則過點(diǎn)F(2 , 1)的圓C的所有弦中, 以最長弦和最短弦為對角線的四

20、邊形的面積是()A.10 31B.9 21C.10 23D.9 11解析易知最長弦為圓的直徑10,又最短弦所在直線與最長弦垂直，且IPQ =、2,最短弦的長為 2r2- |PC2= 2 25-2 =223,1故所求四邊形的面積S= 2 10X2_ 23= 10 23.答案 C二、填空題6._ (2017 廣安調(diào)研)過點(diǎn)(1 , 1)的直線I與圓(x 2)2+ (y 3)2= 9相交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB| =4 時，直線I的方程為.解析 易知點(diǎn)(1 , 1)在圓內(nèi)，且直線I的斜率k存在，則直線I的方程為y 1 =k(x 1)，即kxy+1k= 0.又|AB= 4,r= 3,圓心(2 , 3)到

21、I的距離d=32 22=5.|k2|廠1因此2.八2= 5，解得k= 2pk+( 1)斗2直線I的方程為x+ 2y 3 = 0.答案x+ 2y 3= 07.(2017 北京卷)已知點(diǎn)P在圓x2+y2= 1 上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(一 2, 0) ,O為原點(diǎn)，則AO- AP勺最大值為_ .解析 法一由題意知，AO=(2 , 0)，令 Rcosa, sina)，則AF= (cosa+ 2, sina).AO- AF= (2 , 0) (cosa+ 2, sina) = 2cosa+ 46,故AO- AP的最大值為 6.法二-由題意知，AO=(2 , 0)，令P(x,y), 1wxw1,則AO- AP=(

22、2 , 0)(x+ 2,y) = 2x+ 4w6,故AO- AP勺最大值為 6.答案 68.(2017 荷澤二模)已知圓C的方程是x2+y2 8x 2y+ 8 = 0,直線I:y=a(x-15 -3)被圓C截 得的弦長最短時，直線_I方程為 . . 2 2解析 圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x 4) + (y 1) = 9,圓C的圓心C(4 , 1)，半徑r= 3.-16 -又直線I:y=a(x 3)過定點(diǎn)R3, 0),則當(dāng)直線y=a(x 3)與直線CP垂直時，被圓C截得的弦長最短1 0因此akcp=a= 1，-a= 1.4 3故所求直線I的方程為y= (x 3)，即x+y 3= 0.答案x+y 3= 0

23、三、解答題9.已知點(diǎn)A(3 , 3) ,B(5 , 2)到直線I的距離相等，且直線I經(jīng)過兩直線Ii： 3xy 1 = 0 和l2：x+y 3 = 0 的交點(diǎn)，求直線I的方程.|3x一y一 1 = 0,解 解方程組得交點(diǎn)P(1 , 2).x+y 3= 0,若點(diǎn)A,B在直線I的同側(cè)，貝UI/AB工3 21而kAB= 3 5 一2，由點(diǎn)斜式得直線1I的方程為y 2= yx 1),即x+ 2y 5 = 0.5y 2 2-2I的方程為x 1即x 6y+ 11 = 0.綜上所述，直線I的方程為x+ 2y 5= 0 或x 6y+ 11 = 0.10.(2015 全國I卷)已知過點(diǎn)A(0 , 1)且斜率為k的直線I與圓 C：(x 2)2+ (y 3)2= 1 交 于M N兩點(diǎn).(1)求k的取值范圍；若OM ONh12,其中0為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN解(1)由題設(shè)，可知直線I的方程為y=kx+ 1,因?yàn)镮與c交于兩點(diǎn)，所以|2