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1、咼數(shù)重點(diǎn)知識(shí)總結(jié)1 基本初等函數(shù):反函數(shù)(y=arctanx),對(duì)數(shù)函數(shù)(y=lnx),幕函數(shù)(y=x),指數(shù)函數(shù)(y ax),三角函數(shù)(y=sinx),常數(shù)函數(shù)(y=c)2、分段函數(shù)不是初等函數(shù)。8、隱函數(shù)求導(dǎo):(1)直接求導(dǎo)法; 方程兩邊同時(shí)微分,再求出dy/dxx2y21例如:解:法(1),左右兩邊同時(shí)求導(dǎo),2X2yy 0yXy法(2),左右兩邊同時(shí)微分,2xdx2ydydyXdxyy9、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo):若,g(t)則魚dy/dt型,其二階導(dǎo)數(shù)X h(t)dxdx/dth(t)d(dy/dx) d g(t)/h(t)2d y d dy/dxdtdtdx2dxdx/dth(t)
2、10、微分的近似計(jì)算:f(xx) f(x)x?f(x)例如:計(jì)算sin316、導(dǎo)數(shù)的定義:f (xlimx) f(x)f(x) limf(x)f(x0)fxx 0 xX X。xX07、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo):df g(x) dxfg(x) ?g(x)112、x2 x 1-:L. 一L例如:y xx, y5、可導(dǎo)必定連續(xù),連續(xù)未必可導(dǎo)。例如:y |x|連續(xù)但不可導(dǎo)。2 x x 4 x2x、x3、無窮?。焊唠A+低階=低階例如:2x x limx 0lim -4、兩個(gè)重要極限:(1)li叫唾0 xli叫1limx經(jīng)驗(yàn)公式:當(dāng)x xo, f (x)0,g(x),limx Xog(x)f (x)lim f (x)
3、 g(x):X。11momoH H X Xaf(x) sin -(x=0 是函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn))x斷點(diǎn))12、漸近線:水平漸近線:y lim f (x) cx鉛直漸近線:若,lim f(x) ,則 x a 是鉛直漸近線.x a斜漸近線:設(shè)斜漸近線為 y ax b,即求 a lim丄(2 b lim f (x) axxxxx3x2x1例如:求函數(shù)y2的漸近線x 113、 駐點(diǎn):令函數(shù) y=f(x),若 f(xO)=O,稱 x0 是駐點(diǎn)。14、 極值點(diǎn):令函數(shù) y=f(x),給定 x0 的一個(gè)小鄰域 u(xO,S),對(duì)于任意 x u(x0,S),都有 f(x) f(x0),稱 x0 是 f(x)的極
4、小值點(diǎn);否則,稱 x0 是 f(x)的極大值點(diǎn)。極小值點(diǎn)與極大值點(diǎn)統(tǒng) 稱極值點(diǎn)。15、 拐點(diǎn):連續(xù)曲線弧上的上凹弧與下凹弧的分界點(diǎn),稱為曲線弧的拐點(diǎn)。16、 拐點(diǎn)的判定定理: 令函數(shù) y=f(x), 若 f(xO)=O, 且 x0 ; xxO 時(shí), f(x)0 或 xx0,f(x)x0 時(shí),f(x)0,稱點(diǎn)(xO, f(x0)為 f(x)的拐點(diǎn)。17、 極值點(diǎn)的必要條件:令函數(shù) y=f(x),在點(diǎn) x0 處可導(dǎo),且 x0 是極值點(diǎn),則 f(x0)=0。18、改變單調(diào)性的點(diǎn):f(x。)0,f(x。)不存在,間斷點(diǎn)(換句話說,極值點(diǎn)可能是駐點(diǎn),也可能是不可導(dǎo)點(diǎn))19、改變凹凸性的點(diǎn):f(x0)0,
5、f(X0)不存在(換句話說,拐點(diǎn)可能是二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn),也可能是二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn))20、 可導(dǎo)函數(shù) f(x)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn),但函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。21、 中值定理:(1)羅爾定理:f (x)在a,b上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則至少存在一點(diǎn)f(b) f(a) (b a)f()(3)積分中值定理:f (x)在區(qū)間a,b上可積,至少存在一點(diǎn) ,使得bf (x)dx (b a) f ()11、函數(shù)間斷點(diǎn)的類型:第一類:可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn);例如:sin x(x=0 是函數(shù)可去間斷點(diǎn)),ysgn(x)(x=0 是函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn))(2)第二類:振蕩間斷點(diǎn)和無窮間斷點(diǎn);例如:,y-( x=
6、0 是函數(shù)的無窮間x,使得f( )0拉格朗日中值定理:f (x)在a,b上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則至少存在一點(diǎn),使得22、常用的等價(jià)無窮小代換:223、24、x s in xarcs in x arcta nxta nxex12(.1 x121 cosxx213tanx sin xx ,x2對(duì)數(shù)求導(dǎo)法:例如,y洛必達(dá)法xo, f (x)1)ln(1x)sin xx3,ta nx xx63則:適用o/ ,g(x)f(x)lim便limx x0g(x)x x0g(x)25、26、解:1ln y xln x y lnyxxlnx 10/”型,“ 一 ”f(x),g(x)皆0?” 型等。g(x) o
7、,例如,limx 0sinx 1 0 lim 0 xx2xe02xcosx 0 lim0 xxe sin x02無窮大:高階+低階=高階不定積分的求法(1)公式法(2)第一類換元法(湊微分法)例如,limxx 122x 332x5limxx22x3寸4(3)第二類換元法:哪里復(fù)雜換哪里,常用的換元:asi nt;. x2a2,可令x ata nt;. x2a2中分母的階較高時(shí),常采用倒代換1)三角換元:2 2a x,可令,可令x a sect2)當(dāng)有理分式函數(shù)27、分部積分法:udv UVvdu,選取 u的規(guī)則 “反對(duì)幕指三”,剩下的作V。分部積分出現(xiàn)循環(huán)形式的情況,例如:excosxdx,
8、sec xdx28、有理函數(shù)的積分:例如:3x 22(x1) x ,3dx訂dxx(x 1)3x(x 1)31x(x 1)2 dx其中,前部分1丄2dx需要進(jìn)行拆分,令x(x 1)1 1 1x x 1 (x 1)x(x 1)2xx(x 1)2X 1 Xx(x 1)1(x 1)222、常用的等價(jià)無窮小代換:2bnac29、定積分的定義:f(x)dxali叫f (i) X0i 130、定積分的性質(zhì):(1)當(dāng) a=b 時(shí),bf (x)dxa0;ba(2)當(dāng) ab 時(shí),f (x)dxf(x)dxaba當(dāng) f(x)是奇函數(shù),f(x)dx 0,a0ab可加性:f(x)dxa當(dāng) f(x)是偶函數(shù),af (x)dxaa2 f(x)dx0cf(x)dxabf (x)dxcbnac31、變上限積分:(x)xf(t)dta(x)dx和dtf(x)32、33、34、35、36、du(x)推廣:daf(t)dtf u(x) u(x)定積分的計(jì)算(牛頓一萊布尼茨公式)b定積分的分部積分法:udva反常積分:(1)無窮限的反常積分:f(x)dx F(b) F(a)bUVabvduaf (x)dx(2)無界
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