(完整word版)求極限的方法和例題總結(jié)

1、WORD搭式可編懾技術(shù)資料分享an(+x)-l例7* BHl(smx)=co$x.獅導(dǎo)數(shù)的定義求挪Rhm- -入 、兀解：庾式二燦 -=($mx)l ,皿x4n=co$-=02gq r Vx2+l-3x例6： hm-x + sin x解*原式=hm-31im-wf9 x + sinx9 x + sinxhm 1+竺婕X-3hm- - =1-3=-2目十.sinx1 +-X8.用初等方法變形后，再利用極限運算法則求極限vJ3x + 1 2lull-例1宀X-1(V3X+ 1)2-22V3X 33lull- (-= lull- ,-= 解：原式二宀(x_i)(VH + 2)A-.1 (X_ 1)(

2、73771+ 2)4注：本題也可以用洛比達法則。Inn yn(J +2 -A/H-1)解:r侖附+2)-(一1)分了分酗除以傷r3lun :；= inn /- .宀J“ + 2 + J”-lT* I 2+L_ 1原式二V /? V n原式卜下同除以3“l(fā)nn=1/l-X丄、z(-)+1WORD搭式可編懾技術(shù)資料分享WORD搭式可編忻技術(shù)資料分享3.兩個重要極限r(nóng)sinx .lull- = 1(1)Z X1 .1lim(l + x)“ = e血(1+匚) =e(2)XTO7；w x說明：不僅要能夠運用這兩個重要極限本身，還應(yīng)能夠熟練運用它們的變形形式,血1斗竺=1 Um(i_2x產(chǎn)之lixn(l

3、 + |)3=e例如：3x , o，” x；等等。利用兩個重要極限求極限注：本題也可以用洛比達法則。21-6sinxlun(l-3sm x)xlim(1 - 3sinx)3smt xA0 =A0/xQn+1 3”Q w+1一3幾lun(l + -)丹=lun(l + -)=e例7 X n + l -M_oc/ +1”TX/? 4-14.等價無窮小定理2無窮小與有界函數(shù)的乘枳仍然是無窮小(即極限是0)。定理3當TO時，下列函數(shù)都是無窮小(即極限是0),且相互等價，即有:Xsinxtanxarcsinxarctanx血(1 + x) 1O說明：當上面每個函數(shù)中的自變量X換成g(x)時(g(x)-0

4、),仍有上面的等價3122關(guān)系成立，例如：當XT0時， 13x . 111(1-x2)一兀。定理4如果函數(shù)f(x)，(x)，81(X)都是X T X。時的無窮小，且/(X)Inn血ZW/，g(x)gQ),則當 f。g|(x)存在時，E g(x)也存在且等于 1-C0SXlull-；例5 io 3x-解:2sin_宀3JC原式二2sm2 i =lnn=1f(為261-6zinx=lnn(l 3snix)3=mrxWORD搭式可編輯技術(shù)資料分享lunZW。g(x),即IT% g(x) JT勺i(x)。WORD恪式可編輯技術(shù)資料分享利用等價無窮小代換（定理4）求極限A 111（1+ 3）lull -

5、 7例9v arctan（x-）解：0XTOH ln(l + 3x)3x, arctan(x2)原式=-o lun -:例10 KTOx-suix解：原式二5x-snix注：下面的解法是錯誤的：tan(x2sui )11111- :- 例TO SU1X當x-0時,X sin丄是無窮小,taii(x2sin丄)與sin丄等價 解：xXX2 1XSU1= liinxsiii- = O xo(最后一步用到定理2)五.利用無窮小的性質(zhì)求極限有限個無窮小的和是無窮小，有界函數(shù)與無窮小乘積是無窮小。用等價無窮小替 換求極限常常行之有效。5.洛比達法則定理5假設(shè)當自變董x趨近于某一定值（或無窮大）時，函數(shù)/

6、（X）和&（x）滿血1二 =0所以,liin 原式二-0 xlull-2. io hi x正如下面例題解法錯誤一樣:例.戈 * I - 1WORD搭式可編輯技術(shù)資料分享足：（1）廣（羽和鞏兀）的極限都是0或都是無窮大;（2） /（X）和g（x）都可導(dǎo)，且g（x）的導(dǎo)數(shù)不為0；則極限E（x）也一定存在，且等于（X）,即K（x）二g（x）。 說明：定理5稱為洛比達法則，用該法則求極限時，應(yīng)注意條件是否滿足，只要 有一條不滿足，洛比達法則就不能應(yīng)用。特別要注意條件（1）是否滿足，即驗 證所求極限是否為“0”型或“8”型；條件（2）一般都滿足，而條件（3）則在求導(dǎo)完畢后可以知道是否滿足。另外，

7、洛比達法則可以連續(xù)使用，但每次使 用之前都需要注意條件。利用洛比達法則求極限說明：當所求極限中的函數(shù)比較復(fù)雜時，也可能用到前面的重要極限、等價無窮 小代換等方法。同時，洛比達法則還可以連續(xù)使用。.1-cosx.sm.v 1Inn-；Inn-=-例12 z（例4）解：原式=76x 6。（最后一步用到了重要極限）例14解：原式二73/二-0 6兀6。（連續(xù)用洛比達法則，罠后用重要極限）例13x l解：原式=宀112X SU1X原式=lim-= limWORD恪式可編輯技術(shù)資料分享sinx-xc osx cosx一(c osx -xsui x)TO3x23WORD搭式可編輯技術(shù)資料分享liin- =

8、 0解：錯誤解法：原式二心0 X X。正確解法：原式=血吐心=hmh】(l+x)iso xln(l + x)“TOx x= lim = lnn-=-。so 2x z 2x(1 + x) 2應(yīng)該注意，洛比達法則并不是總可以用，如下例。0rl-2cosxlull -解：易見：該極限是“0”型，但用洛比達法則后得到：fo 3-SU1X,此極 限不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下：2snix1 -lnu- -TOC cosx13 +- 原式二X(分子、分母同時除以X =3(利用定理1和定理2)6.連續(xù)性定理6-切連續(xù)函數(shù)在其定義去間內(nèi)的點處都連續(xù)，即如果入是函數(shù)/(X)的Inn /U) = /

9、(x0)定義去間內(nèi)的一點，則有 Eo利用函數(shù)的連續(xù)性(定理6)求極限丄lim x2ex例4心21 解：因為=2是函數(shù)fx) = xex的一個連續(xù)點，所以原式二2， = 4匹。7極限存在準則定理7(準則1)單調(diào)有界數(shù)列必有極限。例18liin一binx 2sni x例19f 3.Y+COSXWORD恪式可編輯技術(shù)資料分享四、利用單調(diào)有界準則求極限WORD格式可編輯技術(shù)資料分享例20已知乂解：易證：數(shù)列rlim兀單調(diào)遞增，且有界(0H2) (2)hm兒hmz. a.則hmx. a 定理3(函敷夫定理)如黒抄f(x)h(x)JR*下列條隔 當0 jx x. |l)時有(2) hm g(x)= lim

10、 (x)=*那么hm /存在.且等干A 例1.設(shè)。 0,兀=需,壬=Ja +荷=JQ+ 兀A , xw+1= Ja+ 兀,(打=1,2,A )Innyn=ci lullzn=am m m sin $m sin Ki因九一序以 小”丄用n n.tn_ 2 干是由夭定理可知原式等于-n利用極限存在準則求極限WORD格式可編輯技術(shù)資料分享例厶求極限訕帥羅枷巴wO7r($inx-$m$inx)$mxr($inx-an$inx)xHi hm- ；-=hm- j- -皿xw0 x如如護沁#Lhm哇竺=1MOr5wO?r2S612.利用定積分的定義求極限法積分本質(zhì)上是和式的極限，所以一些和式的極限問題可以轉(zhuǎn)化為求定積分的問設(shè)吧對已知的遞推公式和=嚴兩邊求極限，得:a = y/2 +a解得：a = 2或。=一1（不合題意,舍去）所以例21Um (1A +1)厶？+1解:v 亠 + 亠+A+1易見：f +HJ/+1 J+ 2=X亠+亠+AV/2+1V/2+2yjtr+/?所以由準則2得：9.洛必達法則與等價無窮小替換結(jié)合法對于一些函數(shù)求極限問題，洛必達法則和等價無窮小結(jié)合御用，往往能化簡運算, 收到奇效。WORD搭式可編饑技術(shù)資料分享例5,求凹”（土寸士亍+1+(牛n8.利用