等時圓模型(最新最全)

1、“等時圓”模型的規(guī)律及應用一、等時圓模型（如圖所示）二、等時圓規(guī)律：1、小球從圓的頂端沿光滑弦軌道靜止滑下，滑到弦軌道與圓的交點的時間相等。（如圖 a）2、小球從圓上的各個位置沿光滑弦軌道靜止滑下，滑到圓的底端的時間相等。（如圖 b）3、沿不同的弦軌道運動的時間相等，都等于小球沿豎直直徑（d ）自由落體的時間，即t02d4R2 R（式中 R為圓的半徑。）ggg三、等時性的證明設某一條弦與水平方向的夾角為，圓的直徑為 d （如右圖）。根據(jù)物體沿光滑弦作初速度為零的勻加速直線運動，加速度為 a g sin，位移為 sd sin ，所以運動時間為2s2d sin2dt0g singa即沿各條弦運動具

2、有等時性，運動時間與弦的傾角、長短無關。四、應用等時圓模型解典型例題例 1：如圖 1，通過空間任一點A 可作無限多個斜面，若將若干個小物體從點A 分別沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時滑下，那么在同一時刻這些小物體所在位置所構成的面是（）A.球面B.拋物面C.水平面D.無法確定【解析】：由“等時圓” 可知，同一時刻這些小物體應在同一 “等時圓” 上，所以 A 正確。例 2：如圖 2，在斜坡上有一根旗桿長為 L，現(xiàn)有一個小環(huán)從旗桿頂部沿一根光滑鋼絲 AB滑至斜坡底部，又知OB=L。求小環(huán)從 A 滑到 B 的時間。【解析】： 可以以 O為圓心，以 L 為半徑畫一個圓。根據(jù)“等時圓”的規(guī)律可知，從 A

3、 滑到 B 的時間等于從 A 點沿直徑到底端 D 的時間，所以有t ABt AD2d4LLgg2g例 3 ：如圖 5所示，在同一豎直線上有 A、B兩點，相距為 h ， B點離地高度為 H，現(xiàn)在要在地面上尋找一點 P，使得從 A、 B兩點分別向點 P安放的光滑木板，滿足物體從靜止開始分別由A和 B沿木板下滑到P點的時間相等，求O、 P兩點之間的距離OP 。解析 ：由“等時圓”特征可知，當A、 B 處于等時圓周上，且P 點處于等時圓的最低點時，即能滿足題設要求。如圖 6所示，此時等時圓的半徑為：RO1PHh2所以OPR2( h )2H ( H h)2例 4：如圖 7， AB 是一傾角為的輸送帶，P

4、處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚，在P與 AB輸送帶間建立一管道（假使光滑），使原料從P處以最短的時間到達輸送帶上，則管道與豎直方向的夾角應為多大？解析： 借助“等時圓”，可以過P 點的豎直線為半徑作圓，要求該圓與輸送帶AB相切，如圖所示， C 為切點， O為圓心。顯然，沿著PC弦建立管道，原料從P 處到達 C 點處的時間與沿其他弦到達 “等時圓”的圓周上所用時間相等。因而，要使原料從P 處到達輸送帶上所用時間最短，需沿著PC建立管道。由幾何關系可得：PC與豎直方向間的夾角等于/ 2 。三、“形似質異”問題的區(qū)分1、還是如圖1 的圓周，如果各條軌道不光滑，它們的摩擦因數(shù)均為，小滑環(huán)分別從a、 b

5、、 c 處釋放（初速為0）到達圓環(huán)底部的時間還等不等？解析： bd 的長為2Rcos， bd 面上物體下滑的加速度為a=gcos - gsin ， t bd=4R cosR=2。可見 t 與有關。g cosg singg tan2、如圖 9，圓柱體的倉庫內(nèi)有三塊長度不同的滑板aO、 bO、 cO，其下端都固定于底部圓心 O，而上端則擱在倉庫側壁，三塊滑塊與水平面的夾角依次為300、450、 600。若有三個小孩同時從a、 b、 c 處開始下滑（忽略阻力），則（）A、 a 處小孩最先到O點B、b 處小孩最先到O點C、 c 處小孩最先到O點D、a、 c 處小孩同時到O點解析： 三塊滑塊雖然都從同一

6、圓柱面上下滑，但a、 b、 c 三點不可能在同一豎直圓周上，所以下滑時間不一定相等。設圓柱底面半徑為 R，則R= 1 gsin t 2， t 2=4Rcos2g sin 2=300 和 600 時， sin2 的值相等。，當 =450 時， t 最小，當例 3：如圖 3，在設計三角形的屋頂時，為了使雨水能盡快地從屋頂流下，并認為雨水是從靜止開始由屋頂無摩擦地流動。試分析和解：在屋頂寬度（ 2L）一定的條件下，屋頂?shù)膬A角應該多大？雨水流下的最短時間是多少？【解析】：L= 1 gsin t 2 ， t 2=4L，當 =450 時， t 最小cos2g sin 2訓練1、如圖所示 ,oa 、ob、

7、oc 是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細桿,O、 a、b、c、d 位于同一圓周上 ,d 點為圓周的最高點,c 點為最低點 . 每根桿上都套著一個小滑環(huán) ( 圖中未畫出 ), 三個滑環(huán)都從o 點無初速釋放 , 用、依次表示滑環(huán)到達 a、 b、 c 所用的時間 , 則()A.B.C.D.答案詳解 D 解 : 以 O點為最高點 , 取合適的豎直直徑oe 作等時圓 , 交 ob 于 b, 如圖所示 , 顯然 o 到 f 、 b、 g、e 才是等時的 , 比較圖示位移,故推得, 選項 ABC錯誤 ,D 正確 .2、身體素質拓展訓練中，人從豎直墻壁的頂點A 沿光滑桿自由下滑傾斜的木板上（人可看做質點），若木板的傾

8、斜角不同，人沿著三條不同路徑AB、AC、AD滑到木板上的時間分別為t 1、t 2、t 3，若已知 AB、AC、AD與板的夾角分別為70°、90°和 105°，則（）A. t 1>t 2>t 3B. t 1<t 2<t 3C. t 1=t 2=t 3D. 不能確定 t 1、t 2、 t 3 之間的關系解析：若以 OA為直徑畫圓，如圖，則 AB 交圓周與 E 點， C 點正好在圓周上， D 點在圓周之內(nèi)， AD的延長線交圓周與 F 點，設 AC與 AO的夾角為，根據(jù)牛頓第二定律得人做初速為零的勻加速直線運動的加速度為：a=gcos 由圖中的直角

9、三角形可知，人的位移為：S=AOcos則可知人從A 到 C 得時間為：，可知與斜面的傾角無關，即人從A 帶你滑到ECF的時間是相等的，則可知人從A 點滑到BCD的時間關系t 1>t 2>t 3，故 A 正確；故選： A3、豎直正方形框內(nèi)有三條光滑軌道 OB、 OC和 OD，三軌道交于 O點，且與水平方向的夾角分別為 30o 、45o 和 60o ?，F(xiàn)將甲、乙、丙三個可視為質點的小球同時從 O點靜止釋放，分別沿 OB、OC和 OD運動到達斜面底端。則三小球到達斜面底端的先后次序是A.甲、乙、丙B.丙、乙、甲C.甲、丙同時到達，乙后到達D. 不能確定三者到達的順序4、如圖所示 , 地面

10、上有一固定的球面, 球半徑為R,球面的斜上方P 處有一質點 (P 與球心 O 在同一豎直平面內(nèi) ). 已知 P 到球心 O的距離為 L,P 到地面的垂直距離為 H,現(xiàn)要使此質點從靜止開始沿一光滑斜直軌道在最短時間內(nèi)滑到球面上 , 求所需的最短時間.解 :(1) 求證 : 如圖所示小球從豎直平面的半徑為R' 的圓的頂點 , 沿光滑軌道運動到任何方向圓外邊緣,任取一條軌道PQ,PQ與水平面的夾角為,由三角關系得PQ的長度為 :由牛頓第二定律得, 沿光滑斜面下滑的加速度為:由位移時間公式得, 運動時間 :即運動時間與角度無關, 故對應任何軌道的時間均相同.(2) 作圖 : 以 P 為頂點作一半徑為