第七章第3講空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

1、 第 3 講 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 1四個公理 公理 1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi) 公理 2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面 公理 3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線 公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行 2空間直線的位置關(guān)系 (1)位置關(guān)系的分類： 共面直線平行相交異面直線：不同在任何一個平面內(nèi) (2)異面直線所成的角： 定義：設(shè) a，b 是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點 O 作直線 aa，bb，把 a與 b所成的銳角(或直角)叫做異面直線 a 與 b 所成的角(或夾角) 范圍：0，2 (3

2、)定理： 空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補 3空間直線與平面，平面與平面之間的位置關(guān)系 圖形語言 符號語言 公共點 直 線 與 平 面 相交 aA 1 個 平行 a 0 個 在平面內(nèi) a 無數(shù)個 平 面 與 平 面 平行 0 個 相交 l 無數(shù)個 做一做 1已知 A，B，C 表示不同的點，l 表示直線，表示不同的平面，則下列推理錯誤的是( ) AAl，A，Bl，Bl BA，A，B，BAB Cl，AlA DA，Al，llA 答案：C 2若直線 ab，bcA，則直線 a 與 c 的位置關(guān)系是( ) A異面 B相交 C平行 D異面或相交 答案：D 1辨明三個易誤點 (1)正

3、確理解異面直線“不同在任何一個平面內(nèi)”的含義，不要理解成“不在同一個平面內(nèi)” (2)不共線的三點確定一個平面，一定不能丟掉“不共線”的條件 (3)兩條異面直線所成角的范圍是(0，90 2證明共面問題的兩種途徑 (1)首先由條件中的部分線(或點)確定一個平面，再證其他線(或點)在此平面內(nèi)； (2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證明這兩個平面重合 3證明共線問題的兩種途徑 (1)先由兩點確定一條直線，再證其他點都在這條直線上； (2)直接證明這些點都在同一條特定直線上 做一做 3下列命題正確的個數(shù)為( ) 經(jīng)過三點確定一個平面 梯形可以確定一個平面 兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平

4、面 如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合 A0 B1 C2 D3 解析：選 C.經(jīng)過不共線的三點可以確定一個平面， 不正確； 兩條平行線可以確定一個平面，正確； 兩兩相交的三條直線可以確定一個或三個平面， 正確； 命題中沒有說清三個點是否共線，不正確 4如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S 分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的一個圖是( ) 解析：選 D.A，B，C 圖中四點一定共面，D 中四點不共面 考點一_平面的基本性質(zhì)_ 如圖所示，正方體 ABCD- A1B1C1D1中，E、F 分別是 AB 和 AA1的中點求證： (1)E、C、D1、F 四點共面； (2)CE、D1F、DA 三

5、線共點 證明 (1)連接 EF，CD1，A1B. E、F 分別是 AB、AA1的中點， EFBA1， 又 A1BD1C， EFCD1， E、C、D1、F 四點共面 (2)EFCD1，EFCD1， CE 與 D1F 必相交，設(shè)交點為 P， 則由 PCE，CE平面 ABCD，得 P平面 ABCD. 同理 P平面 ADD1A1. 又平面 ABCD平面 ADD1A1DA， P直線 DA.CE、D1F、DA 三線共點 規(guī)律方法 (1)證明四點共面的基本思路：一是直接證明，即利用公理或推論來直接證明；二是先由其中不共線的三點確定一個平面，再證第四個點也在這個平面內(nèi)即可 (2)要證明點共線或線共點的問題，關(guān)

6、鍵是轉(zhuǎn)化為證明點在直線上，也就是利用公理 3，即證點在兩個平面的交線上或者選擇其中兩點確定一直線，然后證明另一點也在直線上 1. 如圖，空間四邊形 ABCD 中，E，F(xiàn) 分別是 AB，AD 的中點，G，H 分別在 BC，CD 上，且 BGGCDHHC12. (1)求證：E，F(xiàn)，G，H 四點共面； (2)設(shè) EG 與 FH 交于點 P，求證：P，A，C 三點共線 證明：(1)E，F(xiàn) 分別為 AB，AD 的中點， EFBD. 在BCD 中，BGGCDHHC12， GHBD，EFGH. E，F(xiàn)，G，H 四點共面 (2)EGFHP，PEG，EG平面 ABC， P平面 ABC.同理 P平面 ADC. P

7、 為平面 ABC 與平面 ADC 的公共點 又平面 ABC平面 ADCAC， PAC，P，A，C 三點共線 考點二_空間兩直線的位置關(guān)系_ 如圖所示，正方體 ABCD- A1B1C1D1中，M，N 分別是 A1B1，B1C1的中點問： (1)AM 和 CN 是否是異面直線？說明理由； (2)D1B 和 CC1是否是異面直線？說明理由 解 (1)不是異面直線 理由：連接 MN，A1C1，AC. 因為 M，N 分別是 A1B1，B1C1的中點， 所以 MNA1C1. 又因為 A1A 綊 C1C， 所以 A1ACC1為平行四邊形，所以 A1C1AC，所以 MNAC， 所以 A，M，N，C 在同一平面

8、內(nèi)， 故 AM 和 CN 不是異面直線 (2)是異面直線 理由如下： 因為 ABCD- A1B1C1D1是正方體， 所以 B，C，C1，D1不共面 假設(shè) D1B 與 CC1不是異面直線， 則存在平面 ，使 D1B平面 ，CC1平面 ， 所以 D1，B，C，C1， 這與 B，C，C1，D1不共面矛盾 所以假設(shè)不成立， 即 D1B 和 CC1是異面直線 規(guī)律方法 異面直線的判定方法： (1)定義法：依據(jù)定義判斷(較為困難) (2)定理法：過平面內(nèi)一點與平面外一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線為異面直線(此結(jié)論可作為定理使用) (3)反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩直線平行或相交，由假設(shè)的條

9、件出發(fā)，經(jīng)過嚴密的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面 2. 如圖，正方體 ABCD- A1B1C1D1中，M，N 分別為棱 C1D1，C1C 的中點，有以下四個結(jié)論： 直線 AM 與 CC1是相交直線； 直線 AM 與 BN 是平行直線； 直線 BN 與 MB1是異面直線； 直線 AM 與 DD1是異面直線 其中正確的結(jié)論為_(注：把你認為正確的結(jié)論的序號都填上) 解析：直線 AM 與 CC1是異面直線，直線 AM 與 BN 也是異面直線，故錯誤 答案： 考點三_異面直線所成的角(高頻考點)_ 從近幾年的高考試題來看， 異面直線所成的角是高考的熱點， 題型既有選擇題又有填空題，也有

10、解答題，難度為中低檔題；高考對異面直線所成的角的考查主要有以下兩個命題角度： (1)求異面直線所成角； (2)由異面直線所成角求其他量 在正方體 ABCD- A1B1C1D1中， (1)求 AC 與 A1D 所成角的大?。?(2)若 E，F(xiàn) 分別為 AB，AD 的中點，求 A1C1與 EF 所成角的大小 解 (1)如圖所示，連接 B1C，AB1，由 ABCD- A1B1C1D1是正方體，易知 A1DB1C，從而 B1C 與 AC 所成的角就是 AC 與 A1D 所成的角 AB1ACB1C，B1CA60. 即 A1D 與 AC 所成的角為 60. (2)連接 BD，在正方體 ABCD- A1B1

11、C1D1中，ACBD，ACA1C1. E，F(xiàn) 分別為 AB，AD 的中點， EFBD， EFAC.EFA1C1. 即 A1C1與 EF 所成的角為 90. 若本例中“正方體”改為“正四棱柱”且異面直線 A1B 與 AD1所成角的余弦值為910，試求：AA1AB的值 解：設(shè) AB1，AA1t， 由題意知A1BC1為所求， 又 A1C1 2，A1Bt21BC1， cosA1BC1 t21t2122t21t21910， t3，即AA1AB3. 規(guī)律方法 用平移法求異面直線所成的角的三步法 (1)一作：即據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角； (2)二證：即證明作出的角是異面直線所成的角； (3)三求

12、：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角 3.(1)(2015 安徽省江南十校聯(lián)考)已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1的底面是邊長為 1 的正方形，若平面 ABCD 內(nèi)有且僅有 1 個點到頂點 A1的距離為 1，則異面直線 AA1，BC1所成的角為( ) A.6 B.4 C.3 D.512 (2)(2015 廣州調(diào)研)在正四棱錐 V- ABCD 中， 底面正方形 ABCD 的邊長為 1， 側(cè)棱長為 2，則異面直線 VA 與 BD 所成角的大小為( ) A.6 B.4 C.3 D.2 (3) 如圖所示，點 A 是平面

13、BCD 外一點，ADBC2，E，F(xiàn) 分別是 AB，CD 的中點，且 EF 2，則異面直線 AD 和 BC 所成的角為_ 解析：(1)由題意可知，只有點 A 到 A1距離為 1，即高為 1，所以該幾何體是個正方體，異面直線 AA1，BC1所成的角是4. (2)設(shè) ACBDO，連接 VO(圖略)，因為四棱錐 V- ABCD 是正四棱錐，所以 VO平面ABCD，故 BDVO，又四邊形 ABCD 是正方形，所以 BDAC，所以 BD平面 VAC，所以 BDVA，即異面直線 VA 與 BD 所成角的大小為2，故選 D. (3)如圖，設(shè) G 是 AC 的中點，連接 EG，F(xiàn)G. 因為 E，F(xiàn) 分別是 AB

14、，CD 的中點，故 EGBC 且 EG12BC1，F(xiàn)GAD， 且 FG12AD1.則EGF 即為所求， 又 EF 2， 由勾股定理逆定理可得EGF90. 答案：(1)B (2)D (3)90 方法思想判斷空間線面位置關(guān)系(構(gòu)造法) 在正方體 ABCD- A1B1C1D1中，E，F(xiàn) 分別為棱 AA1、CC1的中點，則在空間中與三條直線 A1D1，EF，CD 都相交的直線有_條 解析 法一：如圖，在 EF 上任意取一點 M，直線 A1D1與 M 確定一個平面，這個平面與 CD 有且僅有一個交點 N， 當 M 取不同的位置時就確定不同的平面， 從而與 CD 有不同的交點 N，而直線 MN 與這三條異

15、面直線都有交點，所以在空間中與這三條直線都相交的直線有無數(shù)條 法二： 在 A1D1上任取一點 P， 過點 P 與直線 EF 作一個平面 ， 因 CD 與平面 不平行，所以它們相交，設(shè)它們交于點 Q，連接 PQ(圖略)，則 PQ 與 EF 必然相交，即 PQ 為所求直線由點 P 的任意性，知有無數(shù)條直線與三條直線 A1D1，EF，CD 都相交 答案 無數(shù) 名師點評 1.本題難度不大，但比較靈活對平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線的位置關(guān)系的考查難度一般都不會太大 2注意本題解法較多，但關(guān)鍵在于構(gòu)造平面，但不少學(xué)生不會構(gòu)造平面，因此不能解決 3點、線、面之間的位置關(guān)系可借助正方體為模型，以正方體為主線，

16、直觀感知并認識空間點、線、面的位置關(guān)系，準確判定線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直 已知空間三條直線 l，m，n，若 l 與 m 異面，且 l 與 n 異面，則( ) Am 與 n 異面 Bm 與 n 相交 Cm 與 n 平行 Dm 與 n 異面、相交、平行均有可能 解析：選 D. 在如圖所示的長方體中，m，n1與 l 都異面，但是 mn1，所以 A，B 錯誤；m，n2與 l 都異面，且 m，n2也異面，所以 C 錯誤 1已知直線 l平面 ，P，那么過點 P 且平行于直線 l 的直線( ) A只有一條，不在平面 內(nèi) B有無數(shù)條，不一定在平面 內(nèi) C只有一條，且在平面內(nèi)

17、D有無數(shù)條，一定在平面 內(nèi) 解析：選 C.由直線 l 與點 P 可確定一個平面 ，則平面 ，有公共點，因此它們有一條公共直線，設(shè)該公共直線為 m，因為 l，所以 lm，故過點 P 且平行于直線 l 的直線只有一條，且在平面 內(nèi) 2已知 A、B、C、D 是空間四個點，甲：A、B、C、D 四點不共面，乙：直線 AB 和直線 CD 不相交，則甲是乙成立的( ) A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 解析：選 A.因為 A、B、C、D 四點不共面，則直線 AB 和直線 CD 不相交，反之，直線AB 和直線 CD 不相交，A、B、C、D 四點不一定不共面故甲是乙成立的充

18、分不必要條件 3. 如圖，l，A，B，C，且 Cl，直線 ABlM，過 A，B，C 三點的平面記作 ，則 與 的交線必通過( ) A點 A B點 B C點 C 但不過點 M D點 C 和點 M 解析：選 D.AB，MAB，M. 又 l，Ml，M. 根據(jù)公理 3 可知，M 在 與 的交線上 同理可知，點 C 也在 與 的交線上 4. 如圖所示，ABCDA1B1C1D1是正方體，O 是 B1D1的中點，直線 A1C 交平面 AB1D1于點 M，則下列結(jié)論正確的是( ) AA，M，O 三點共線 BA，M，O，A1不共面 CA，M，C，O 不共面 DB，B1，O，M 共面 解析：選 A.連接 A1C1

19、，AC(圖略)，則 A1C1AC， A1，C1，A，C 四點共面，A1C平面 ACC1A1. MA1C，M平面 ACC1A1.又 M平面 AB1D1， M 在平面 ACC1A1與平面 AB1D1的交線上， 同理 A，O 在平面 ACC1A1與平面 AB1D1的交線上 A，M，O 三點共線 5. 如圖，正方形 ACDE 與等腰直角三角形 ACB 所在的平面互相垂直，且 ACBC2，ACB90，F(xiàn)，G 分別是線段 AE，BC 的中點，則 AD 與 GF 所成的角的余弦值為( ) A.36 B36 C.33 D33 解析：選 A. 延長 CD 至 H.使 DH1，連接 HG、HF，則HFAD. HF

20、DA2 2， GF 6，HG 10. cosHFG86102 62 236. 6 平面 ，相交， 在 ，內(nèi)各取兩點， 這四點都不在交線上， 這四點能確定_個平面 解析：如果這四點在同一平面內(nèi)，那么確定一個平面；如果這四點不共面，則任意三點可確定一個平面，所以可確定四個 答案：1 或 4 7. 如圖所示，在三棱錐 A- BCD 中，E，F(xiàn)，G，H 分別是棱 AB，BC，CD，DA 的中點，則當 AC，BD 滿足條件_時，四邊形 EFGH 為菱形，當 AC，BD 滿足條件_時，四邊形 EFGH 是正方形 解析： 易知 EHBDFG， 且 EH12BDFG， 同理 EFACHG， 且 EF12ACH

21、G，顯然四邊形 EFGH 為平行四邊形要使平行四邊形 EFGH 為菱形需滿足 EFEH，即 ACBD；要使四邊形 EFGH 為正方形需滿足 EFEH 且 EFEH，即 ACBD 且 ACBD. 答案：ACBD ACBD 且 ACBD 8. 如圖所示，正方體的棱長為 1，BCBCO，則 AO 與 AC所成角的度數(shù)為_ 解析：ACAC， AO 與 AC所成的角就是OAC. OCOB，AB平面 BBCC， OCAB.又 ABBOB， OC平面 ABO. 又 OA平面 ABO，OCOA. 在 RtAOC 中，OC22，AC 2， sinOACOCAC12， OAC30.即 AO 與 AC所成角的度數(shù)為 30. 答案：30