混合同余法產(chǎn)生均勻分布隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生方法總結(jié)

1、混合同余法產(chǎn)生均勻分布隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生方法 總結(jié)主要學(xué)習(xí)混合同余法產(chǎn)生各種分布的隨機(jī)數(shù)的方法，見參考文獻(xiàn)1, 2，重點(diǎn)參考2。其中要注意混合同余法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的參數(shù)的選取。1混合同余法產(chǎn)生均勻分布的隨機(jī)數(shù)1.1混合同余法通過(guò)同余運(yùn)算生成偽隨機(jī)數(shù)的方法稱為同余法，常用的同余法包括加同余法、 乘同余法、混合同余法、除同余法。其中乘同余法和混合同余法的性能更好，有 速度快、內(nèi)存省、周期長(zhǎng)、統(tǒng)計(jì)特性好等優(yōu)點(diǎn)?；旌贤喾ㄊ荓ehmer在1951年提出的，其迭代公式為 ：Xn =mod(AXn-1 +C, M)(1.1)(1.2)Yn=Xn/M公式(1.1)、(1.2)中，mod表示求余函數(shù)，A,C, M均為正整

2、數(shù)。其中M是模 數(shù)，A是乘數(shù)，C是增量，Xo為初始值(0空X。乞M)，當(dāng)C=0時(shí)，稱此算法為 乘同余法；若C = 0，則稱算法為混合同余法，當(dāng)C取不為零的適當(dāng)數(shù)值時(shí)，有 一些優(yōu)點(diǎn)，但優(yōu)點(diǎn)并不突出，故常取 C=0。Xn是在(0, M )內(nèi)服從均勻分布的隨 機(jī)變量，Y,則是在(0, 1)內(nèi)服從均勻分布的隨機(jī)變量。式中X。, A,C, M的取值并 不是隨意的，模M大小是發(fā)生器周期長(zhǎng)短的主要標(biāo)志，常見有 M為素?cái)?shù)，取A 為M的原根，則周期T=M -1。試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)表明，用以下參數(shù)進(jìn)行混合同余法產(chǎn)生 的隨機(jī)序列的統(tǒng)計(jì)特性較好：Xn=mod(314159269X n-1+453806245,231)(1.3)

3、(1.4)Xn=mod(515Xn-1+1,235)735Xn=mod(2 Xn-1+1, 2 )(1.5)Xn二mod(2045X n-1+1, 220)(1.6)107Xn=mod(7X n-1,10 ),Xo=1,T=5 10(1.7)Xn=mod(5 13Xn-1,236),X 0 = 1,T=23 2 1010(1.8)Xn=mod(5 17Xn-1,212),Xo = 1,T=2 401012(1.9)31Xn=mod(32719X n-1, 2 -1), X。任意(1.10)31Xn=mod(16807X n-1, 2 -1), X0任意(1.11)31Xn=mod(122070

4、3125X n-1, 2 -1),X0任意(1.12)15Xn=mod(9869X n-1 +6925, 2 -1)(1.13)3131在式(1.10)(1.12)中 T =2 -2 , 16807、32719、1220703125 都是 2 -1 的原根。混合同余法產(chǎn)生的隨機(jī)序列具有以下特點(diǎn)：Xn重復(fù)周期較小，由于Xn取值在(0, M )內(nèi)，其周期TEM ,T受X°,A,C,M的值得影響，在編程實(shí)現(xiàn)時(shí)，浮點(diǎn)運(yùn)算也會(huì)對(duì)T產(chǎn)生影響用此方法產(chǎn)生的隨機(jī)序列，在一個(gè)周期內(nèi)任意兩個(gè)隨機(jī)數(shù)不可能相等，這往往與實(shí)際情況不相符經(jīng)Hull和Dobell證明，只有X0,A,C,M滿足以下一些關(guān)系才能實(shí)現(xiàn)

5、周期最 大化，即T=M，條件如下：C與M互質(zhì)(或互素，即它們的最大公約數(shù)為1)設(shè)q為某一質(zhì)數(shù)，M分別能被q和4整除，且(A-1 )能被q和4整除產(chǎn)生具有最大周期的偽隨機(jī)序列的混合同余法算法為：kXn =mod(4a+1)Xn-1(2c+1), 2 )(1.14)Yn=Xn/2k(1.15)k由于M=2 ,k-2時(shí)，M只有一個(gè)素?cái)?shù)因子 2，且4也是M的因子，此時(shí) A=4a+1，正好滿足了 T=M的第二個(gè)條件；而此時(shí)C=2c+1剛好與M互質(zhì)，即滿足T = M的第一個(gè)條件1.2改進(jìn)的混合同余法改進(jìn)的混合同余法的迭代公式如下：Xn =mod(AXn-i n, M)(1.16)Yn=Xn/M(1.17)

6、改進(jìn)的混合同余法具有以下特點(diǎn)：比混合同余法產(chǎn)生的周期長(zhǎng)，T _M允許某個(gè)偽隨機(jī)數(shù)重復(fù)發(fā)生，且重復(fù)發(fā)生的次數(shù)為T / M 偽隨機(jī)序列的周期T一般與初始值Xo的選取無(wú)關(guān)，只有極個(gè)別的情況除外1.3原根相關(guān)知識(shí)1.3.1歐拉函數(shù)在數(shù)論，對(duì)正整數(shù)n,歐拉函數(shù)是少于或等于n的數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目。 此函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，它又稱為Euler's totient function、©函數(shù)、歐拉商數(shù)等。例如© (8)=4因?yàn)?,3,5,7均和8互質(zhì)。1.3.2原根定義1 設(shè)m > 1，(a, m) = 1，則使ra 三 1(mod m)(1.18)成立的最小的正整數(shù)

7、r，稱為a對(duì)模m的指數(shù)，記為m(a)，在不致誤會(huì)的情況下， 簡(jiǎn)記為(a)0由Euler定理，當(dāng)r = (m)時(shí)式(1)成立，因此，恒有 m(a) (m)。若 a 三 b (mod m)，(a, m) = 1，則顯然有 亦(a) = 6m(b)。定義2 若、m(a) = (m)，則稱a是模m的原根。例如，當(dāng)m = 7時(shí)，因?yàn)?2321 三 2，22三 4，23三 1 (mod 7)，所以、7(2) = 3。又因?yàn)?2345631 三 3, 32三 2, 33三 6, 34三 4, 35三 5, 36三 1 (mod 7),所以刀(3) = 6 = (7), 3是模7的原根。以后，在談到a對(duì)模m的指數(shù)時(shí)，總假定m > 1, (a, m)=參考文