高一數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提綱

1、高一數(shù)學(xué)知識與方法復(fù)習(xí)提綱集 合1、集合的三個特征：確定性、互異性、無序性2、集合的不同分類： 有限集與無限集 數(shù)集的分類：自然數(shù)包括零3、元素與集合的關(guān)系：與關(guān)系4、與、的區(qū)別5、集合的表示方法：列舉法、描述法6、集合運(yùn)算中一定要分清代表元素的含義：特別要區(qū)別數(shù)集與點(diǎn)集7、集合的區(qū)間表示8、集合對某種運(yùn)算的封閉性：（1）封閉性：任取集合中兩個元素，對某種運(yùn)算的結(jié)果仍然屬于該集合（2）不封閉性：（舉反例）取其中兩個特殊元素，對某種運(yùn)算的結(jié)果不屬于該集合數(shù)1、數(shù)的概念（1）偶數(shù)：可用（是整數(shù)）表示，正偶數(shù)俗稱為“雙數(shù)”。奇數(shù)：可用（是整數(shù)）表示，正奇數(shù)俗稱為“單數(shù)”。（2）質(zhì)數(shù)：亦稱“素?cái)?shù)”。一

2、個大于的正整數(shù)，只能被和本身整除，不能被其它正整數(shù)整除的。合數(shù)：一個正整數(shù)除了能被和本身整除以外，還能被另外的正整數(shù)整除。兩個自然數(shù)互質(zhì)，如果它們除了沒有其它公約數(shù)，則稱這兩個自然數(shù)互質(zhì)。（3）有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱?？梢杂梅?jǐn)?shù)（其中、為整數(shù)且互質(zhì)，且）表示。（整數(shù)可以表示成分母為1的分?jǐn)?shù)）有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也稱為有理數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)可以表示成分?jǐn)?shù)的形式 無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)。2、數(shù)的分類 整數(shù)還可以分為正整數(shù)（自然數(shù)）、零、負(fù)整數(shù) 3、有理數(shù)的三大特征（1）有理數(shù)的稠密性稠密性：任意兩個相異的有理數(shù)之間，存在著無限多個有理數(shù)。（2）有理數(shù)的不連續(xù)性 任意兩個有理點(diǎn)之間，存在無

3、數(shù)個無理點(diǎn)。任意兩個無理點(diǎn)之間，存在無數(shù)個有理點(diǎn)。（3）有理數(shù)的可數(shù)性有理數(shù)和自然數(shù)個數(shù)“一樣多”，有理數(shù)的這個特性，稱為有理數(shù)的可數(shù)性，也稱“可數(shù)的”。無理數(shù)就不具備可數(shù)性。4、無理數(shù)（1）無理數(shù)是客觀存在，存在于有理數(shù)之間，無理數(shù)是稠密的，不連續(xù)，但不可列的，不可數(shù)的。（2）無理數(shù)的證明：反證法（3）無理數(shù)的數(shù)軸表示：借助直角三角形5、實(shí)數(shù)（1）是稠密的、連續(xù)的，但不可數(shù)的 （2）實(shí)數(shù)可以比較大小。方程1、方程：含有未知數(shù)的等式稱為方程，必須保證每一步所得的方程與原方程同解2、方程類型（1）一元一次方程：標(biāo)準(zhǔn)式 當(dāng)時，方程有唯一解 當(dāng)且時，方程為，方程無解 當(dāng)且時，方程為，方程有無窮多個解

4、（2）二元一次方程組： 方法： 代入消元法 加減消元法（3）一元二次方程 解法：因式分解、配方法 、公式法 韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）前提： （4）含字母的一元二次方程：注意討論（首項(xiàng)系數(shù)、判別式）（5）可化為一元二次方程的方程： 分式方程、無理方程等：換元轉(zhuǎn)化為一元二次方程。分式方程、無理方程的根要檢驗(yàn)，字母討論的目的就是分清解的情況絕 對 值1、絕對值的意義（1）絕對值的定義： （2）絕對值的幾何意義絕對值的幾何意義：在數(shù)軸上，這個數(shù)所表示的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。， 幾何意義是：在數(shù)軸上表示一個數(shù)的點(diǎn)到的距離。2、絕對值的主要性質(zhì)：(1)(2) 對任何實(shí)數(shù)，有（3）(4) ，3、絕對值的應(yīng)用（1

5、）含絕對值的代數(shù)式的化簡：按絕對值的零點(diǎn)進(jìn)行分類討論（2）含字母的絕對值的分類討論4、絕對值的方程的幾種常見類型（1）型 （2）含有二個（或以上）絕對值的方程：按絕對值的零點(diǎn)進(jìn)行分類討論特別： 注：兩邊開方要帶絕對值（3）含字母的絕對值方程：按絕對值的零點(diǎn)進(jìn)行分類討論多項(xiàng)式、根式1、因式分解： 提取公因式法、運(yùn)用公式法、十字相乘法、分組分解法、換元法 形如：雙十字相乘法2、多項(xiàng)式除法（1）步驟： 把被除式和除式按同一個字母的降冪排列（若缺項(xiàng)則用零補(bǔ)齊） 用豎式進(jìn)行運(yùn)算 當(dāng)余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)時，運(yùn)算終止，得到商式和余式說明：分子、分母均按同一個字母的降冪排列，缺項(xiàng)補(bǔ)零 （2）被除

6、式為關(guān)于的多項(xiàng)式，除式 ，商式，余式，則（其中 次數(shù)低于 的次數(shù)）當(dāng) ，則稱 整除 ，記 | （3）余數(shù)定理：關(guān)于的多項(xiàng)式 ，除以 所得的余數(shù) 因式定理：若 ，則 為 的一個因式 3、指數(shù)與根指數(shù)（1）如果 ，那么叫作的次方根，記為：（2） 時， 當(dāng)為奇數(shù)時， 當(dāng)為偶數(shù)時，（3） 根指數(shù)相同的根式叫做同次根式 根指數(shù)相同，根號內(nèi)多項(xiàng)式相同的根式叫做同類根式 中與互質(zhì)（）的根式叫做最簡根式（4）指數(shù)定義的擴(kuò)充二次函數(shù)（1）1、二次函數(shù)的基本表達(dá)形式（1）一般式：（2）頂點(diǎn)式：，其中為頂點(diǎn)坐標(biāo)（3）交點(diǎn)式：，其中為的兩根2、二次函數(shù)與一元二次方程之間關(guān)系：二次函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為一元二次方

7、程的根3、二次函數(shù) 以直線為對稱軸，則有對任意實(shí)數(shù)均成立。* 為的對稱軸 4、二次函數(shù)的有關(guān)參數(shù) （1）：決定開口的大小與方向（2）：確定對稱軸的位置（3）：表示在軸上的截距，又是所對應(yīng)的函數(shù)值（4）：確定圖象與軸交點(diǎn)的個數(shù)（5） 其他（對應(yīng)相應(yīng)的函數(shù)值）：如，5、函數(shù)的圖像與圖象的關(guān)系平移：拋物線向左（）或向右（）平移個單位，得，再向上（）或向下（）平移個單位，得到6、韋達(dá)定理在二次函數(shù)中的應(yīng)用（1）（2）（3）（4）（5）二次函數(shù)(2)1、求二次函數(shù)的最值必須先確定其定義域2、二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題 考慮對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系并結(jié)合圖形（注意端點(diǎn)的開閉），指出最值取到的條件3、含參數(shù)的

8、二次函數(shù)的最值問題（1）分類討論：考慮對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系并結(jié)合圖形（2）二次函數(shù)在閉區(qū)間上一定存在最大與最小值，而且最值只能在三個位置上取到 * 若二次函數(shù)的開口不定，可以按三個位置上的最值情況進(jìn)行分類討論一元二次不等式的解法1、一元二次不等式的基本解法：首項(xiàng)系數(shù)化正，計(jì)算并求根，結(jié)合圖象寫出解集2、一元二次不等式解集的端點(diǎn)即為方程的解，所以轉(zhuǎn)化為方程問題3、一元二次不等式恒成立問題：結(jié)合圖象及根的分布問題4、含參數(shù)不等式的解法：分類討論（依次為：首項(xiàng)系數(shù)、兩根的大小比較）一元二次方程根的分布1、一元二次方程 兩根為（1）兩個正根 （2）兩個負(fù)根（3）一正一負(fù)（可以省略）2、兩根與某些常數(shù)

9、之間的關(guān)系：數(shù)形結(jié)合（列出符合條件的所有圖象） 依次考慮：開口、對稱軸、判別式、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值符號（注意是否取到等號） * 中判別式在以下幾種情形可以省略： 存在，使得 存在，使得* 區(qū)間端點(diǎn)是否取到等號：可以通過檢驗(yàn)的方法加以判斷3、注意兩個根與兩個不同根的區(qū)別其他不等式的解法1、基本思想：把其他方程轉(zhuǎn)化為簡單不等式2、基本類型（1）分式不等式 基本形式： 一般解法：移項(xiàng)、通分、轉(zhuǎn)化（強(qiáng)調(diào)分母不為零）（2）高次不等式利用數(shù)軸標(biāo)根法求解，基本步驟如下： 首項(xiàng)系數(shù)化為正 求出方程的所有根 數(shù)軸標(biāo)根法求解（從右上方開始畫圖）（3）無理不等式 偶次被開方數(shù)非負(fù) 去根號前先判別不等式兩邊是否非負(fù)：若是

10、，平方去根號；若不是，分類討論（4）絕對值不等式 一般按零點(diǎn)分類討論 以下幾種特殊類型可以直接求解：或（5）注意用數(shù)形結(jié)合解不等式也是一種很有效的方法（兩邊函數(shù)圖象比較簡單）3、不等式解集的端點(diǎn)：或者是不等式有意義的區(qū)間端點(diǎn)或者是方程的解4、元素屬于解集，則代入不等式成立；元素不屬于解集，代入則不等式反號或不等式無意義5、不等式恒成立問題：可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或值域問題子 集1、子集反映的是集合與集合之間的關(guān)系 任取，則稱是的子集2、真子集：任取，且存在3、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集（在子集討論中要優(yōu)先考慮，不要遺漏）4、真子集、子集個數(shù)：設(shè)原集合中元素個數(shù)為，則子集個數(shù)為，

11、真子集的個數(shù)為5、集合相等 （1）（元素較少）列舉：兩個集合元素完全相同（從已知元素入手）（2）（無限集）包含關(guān)系的證明：6、子集的其他表示形式：交集、并集、補(bǔ)集1、交集、并集、補(bǔ)集表示的是集合之間的運(yùn)算2、集合之間的運(yùn)算要注意代表元素的含義3、數(shù)集的運(yùn)算：結(jié)合數(shù)軸4、補(bǔ)集的運(yùn)算必須明確全集的含義5、兩個轉(zhuǎn)化公式：，6、文氏圖與集合運(yùn)算之間的互相表示 用集合表示文氏圖中的陰影部分：寫出陰影部分的元素與所有集合之間的屬于關(guān)系，用交集表示7、集合元素的計(jì)數(shù)公式：（1）兩個集合（2）三個集合命題1、命題：判斷事件真假的語句，由條件與結(jié)論組成，分真命題與假命題2、真命題必須嚴(yán)格加以證明，假命題只需舉出

12、反例3、命題的四種形式：具有相對性，有互逆、互否、互為逆否三種關(guān)系；只有互為逆否的兩個命題具有同真同假性，其他關(guān)系視具體情況加以判斷否命題中：（1）或與且（2）都是與不都是（3）一定與一定不（4）至少個與至多個（5）任意與存在4、等價命題：同真同假性；互為逆否的二個命題是等價命題，反之亦然5、反證法原理與一般應(yīng)用：一般用于否定語句，或出現(xiàn)至少、至多的語句充分必要條件1、充分必要條件類型：（1）充分條件：條件成立結(jié)論成立，稱條件是結(jié)論的充分條件（2）必要條件：結(jié)論成立條件成立，稱條件是結(jié)論的必要條件（3）充要條件：條件成立結(jié)論成立，且結(jié)論成立條件成立，稱條件是結(jié)論的充要條件（4）非充分非必要條件

13、：條件成立不能推出結(jié)論成立，結(jié)論成立不能推出條件成立稱條件是結(jié)論的非充分非必要條件2、充分必要條件的兩種表達(dá)形式：（1）* 是 * 的 * 條件（2）* 的 * 條件 是 *3、充分必要條件的判斷（1）首先區(qū)別什么是條件，什么是結(jié)論；然后利用推出關(guān)系加以說明（2）如果條件與結(jié)論可以用集合表示，則利用子集與推出關(guān)系加以說明 條件對應(yīng)集合，結(jié)論對應(yīng)集合 若，則條件是結(jié)論的充分條件 若，則條件是結(jié)論的必要條件 若，則條件是結(jié)論的充要條件 若不是的子集，不是的子集，則條件是結(jié)論的非充分非必要條件4、充分必要性的證明：必須先給出充分必要性的區(qū)別，再加以證明（不具備充分必要性只要舉出反例）5、充分必要性的

14、選項(xiàng)問題：按充要條件求解，利用子集關(guān)系加以區(qū)別（充分必要性的條件選項(xiàng)不是唯一的）6、否定性的命題充分必要性的判斷：一般判別它的逆否命題的充分必要性更方便7、充分必要性的表達(dá)一定要合適，明確推出關(guān)系的表達(dá)要完整，不等式性質(zhì)1、不等式比較大小的依據(jù)： 2、不等式的基本性質(zhì)（1）（不等式的“傳遞性”）（2）（不等式的加法性質(zhì)）（3）；（不等式的乘法性質(zhì)）（4）（同向不等式的加法性質(zhì)）（5）（6）（7）（8）3、利用不等式求變量范圍時（1）利用同向不等式相加及不等式的“傳遞性”求變量范圍時要求兩個不等式中的等號能同時成立。（2）利用等量關(guān)系（換元）求變量范圍4、同向不等式一般不能相乘，需增加“兩不等式的兩邊均為正數(shù)”才可相乘5、不等式比較大小必須指出等號取到的條件基本不等式1、基本不等式： 若、R，則2， 若、，則2、常用不等式： ； 若， 若，則或 若、，則 若、，則43、用基本不等式求最值時要關(guān)注變量的符號、