三角形的證明-1

1、三角形的證明1等腰三角形的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）（2）性質(zhì)2：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（三線合一） (3) 性質(zhì)3:等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是頂角角平分線（底邊上的中線、底邊上的高）所在的直線。2等邊三角形的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°（2）性質(zhì)2：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（三線合一）3.等腰三角形的判定1如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊）2有兩條邊相等的三角形是等腰三角形4.等邊三角形的判定1三條

2、邊都相等的三角形是等邊三角形2三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形3有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形5直角三角形性質(zhì) （1）直角三角形的兩個(gè)銳角互余；（2）在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；（3）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（4）勾股定理：直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即（5）其它性質(zhì)： 直角三角形斜邊上的高線將直角三角形分成的兩個(gè)三角形和原三角形相似 常用關(guān)系式：兩直角邊的積=斜邊與斜邊上的高的積6直角三角形的判定 （1）一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形（2）如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角

3、形（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c有關(guān)系，那么這個(gè)三角形是直角三角形專題*等腰三角形5等腰三角形的一個(gè)角是80°，則它頂角的度數(shù)是（ ）A80° B80°或20° C80°或50° D20°6已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5cm、2cm，則該等腰三角形的周長(zhǎng)是（ ）A7cm B9cm或7cm C12cm或者9cm D12cm8等腰三角形底邊上的高為8，周長(zhǎng)為32，則三角形的面積為（ ）A56 B48 C40 D3218如圖，在ABC中，AB=AD=DC，B=70°，則C的度數(shù)為 （ ）A35

4、76; B40° C45° D50°47如圖，ABC中，AB=AC，點(diǎn)P是三角形右外一點(diǎn)，且APB=ABC（1）如圖1，若BAC=60°，點(diǎn)P恰巧在ABC的平分線上，PA=2，求PB的長(zhǎng)；（2）如圖2，若BAC=60°，探究PA，PB，PC的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，若BAC=120°，請(qǐng)直接寫出PA，PB，PC的數(shù)量關(guān)系48如圖，在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E48如圖，在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E（1）求證：ABD是等腰三角形；（2）若A=40&

5、#176;，求DBC的度數(shù)；（3）若AE=6，CBD的周長(zhǎng)為20，求ABC的周長(zhǎng)37已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則以x，y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是 變式訓(xùn)練7等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和11，則它的周長(zhǎng)為（ ）A21 B21或27 C27 D259等腰三角形一邊長(zhǎng)等于4，一邊長(zhǎng)等于9，則它的周長(zhǎng)等于（ ）A17 B22 C17或22 D1312已知等腰三角形的一個(gè)角為75°，則其頂角為（ ）A30° B75° C105° D30°或75°13如圖，在ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，則A等于（ ）A30°

6、; B40° C45° D36°39若+|b-2|=0，則以a，b為邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)為 44如圖，ABC中，DEAC，EFAB，BED=CEF，（1）試說明ABC是等腰三角形，（2）探索AB+AC與四邊形ADEF的周長(zhǎng)關(guān)系專題*直角三角形11如圖，在RtABC中，ACB=90°，CD為AB邊上的高，若點(diǎn)A關(guān)于CD所在直線的對(duì)稱點(diǎn)E恰好為AB的中點(diǎn)，則B的度數(shù)是（ ）A60° B45° C30° D75°16如圖，已知AOB=60°，點(diǎn)P在邊OA上，OP=16，點(diǎn)M，N在邊OB上，PM=PN，若MN=

7、4，則OM=（ ）A6 B5 C4 D31如圖，已知在RtABC中，ABC=90°，點(diǎn)D沿BC自B向C運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D與點(diǎn)B、C不重合），作BEAD于E，CFAD于F，則BE+CF的值（ ）A不變 B增大 C減小 D先變大再變小21如圖，在RtABC中，C=90°，B=22.5°，DE垂直平分AB交BC于E，若BE=，則AC=（ ）A1 B2 C3 D425如圖，AB6，O是AB的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)O，1120°，P是直線l上一點(diǎn)。當(dāng)APB為直角三角形時(shí)，AP 45如圖，已知ABC中，BAC=90°，AB=ACD為線段AC上任一點(diǎn)，連接BD，過C點(diǎn)作

8、CEAB且AD=CE，試說明BD和AE之間的關(guān)系，并證明51如圖，ABC中，AB=BC，BEAC于點(diǎn)E，ADBC于點(diǎn)D，BAD=45°，AD與BE交于點(diǎn)F，連接CF（1）求證：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的長(zhǎng)變式訓(xùn)練19如圖，在ABC中，AB=AC，BAC=90°，直角EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF交AP于點(diǎn)G，給出以下五個(gè)結(jié)論：（倍長(zhǎng)中線法）B=C=45°；AE=CF，AP=EF，EPF是等腰直角三角形，四邊形AEPF的面積是ABC面積的一半其中正確的結(jié)論是（ ）A只有 B C D22如圖RtABC中，AB

9、=BC=4，D為BC的中點(diǎn)，在AC邊上存在一點(diǎn)E，連接ED，EB，則BDE周長(zhǎng)的最小值為（ ）A2 B2 C2+2 D2+241已知：如圖，在ABC中，ADBC，垂足為點(diǎn)D，BEAC，垂足為點(diǎn)E，M為AB邊的中點(diǎn)，連結(jié)ME、MD、ED設(shè)AB=4，DBE=30°，則EDM的面積為 專題*角度問題10如圖，在ABC中，AB=AC，D、E兩點(diǎn)在BC上，且有AD=AE，BD=CE若BAD=30°，DAE=50°，則BAC的度數(shù)為（ ）A130° B120° C110° D100°11如圖，在RtABC中，ACB=90°，C

10、D為AB邊上的高，若點(diǎn)A關(guān)于CD所在直線的對(duì)稱點(diǎn)E恰好為AB的中點(diǎn)，則B的度數(shù)是（ ）A60° B45° C30° D75°14（2006臨沂）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數(shù)為（ ）A60° B120° C60°或150° D60°或120°專題一垂直平分線問題（1）2如圖,BAC=110°若MP和NQ分別垂直平分AB和AC,則PAQ的度數(shù)是 （ ） A.20° B.40° C.50° D.60 4到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離

11、都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的（ ）A.三條高的交點(diǎn) B. 三條角平分線的交點(diǎn) C.三條中線的交點(diǎn) D. 三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) 36如圖，在ABC中，BC邊上的垂直平分線DE交邊BC于點(diǎn)D，交邊AB于點(diǎn)E若EDC的周長(zhǎng)為24，ABC與四邊形AEDC的周長(zhǎng)之差為12，則線段DE的長(zhǎng)為 43如圖，ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E，則BCE的周長(zhǎng)為 42如圖，ABC的周長(zhǎng)為24，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，垂足為E，若AE=4，則ADB的周長(zhǎng)是 5如圖，在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E（1）求證：ABD是等腰三角形；

12、（2）若A=40°，求DBC的度數(shù)；（3）若AE=6，CBD的周長(zhǎng)為20，求ABC的周長(zhǎng)專題二角平分線問題1如圖，OP為AOB的角平分線，PCOA，PDOB，垂足分別是C、D，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）APC=PD BCPD=DOP CCPO=DPO DOC=OD24如圖，OP為AOB的平分線，PCOB于點(diǎn)C，且PC=3，點(diǎn)P到OA的距離為 15（2015秋鄂州校級(jí)月考）AD是ABC的角的平分線，AB=5，AC=3，則SABD：SABD=（ ）A1：1 B2：1 C5：3 D3：530如圖，在RtABC中，A=90°，ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，AD=3，BC=10，則B

13、DC的面積是 變式訓(xùn)練33（2015秋岑溪市期末）如圖，ABC中，C=90°，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，若點(diǎn)D到AB的距離是5，則CD= 34如果等腰三角形一腰上的高和與另一腰的夾角為30°，則它的頂角度數(shù)為 35如圖，在ABC中，C=90°，AB=12，AD是ABC的一條角平分線若CD=4，則ABD的面積為 49如圖，在ABC中，BO、CO分別是ABC、ACB的角平分線，求： （1）若A=50°，求BOC的度數(shù)（2）在其他條件不變的情況下，若A=n°，則A與BOC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？頭疼專題50如上圖，AD是ABC的高，BE是ABC的內(nèi)角

14、平分線，BE、AD相交于點(diǎn)F，已知BAD=40°，求BFD的度數(shù)9有一副直角三角板，在三角板ABC中，BAC=90°，C=60°，AB=6，在三角板DEF中，F(xiàn)DE=90°，E=45°，EF=6將這副直角三角板按如圖1所示位置擺放，點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，點(diǎn)E、F、A、C在同一條直線上現(xiàn)固定三角板ABC，將三角板DEF以每秒1個(gè)單位的速度沿邊AC勻速運(yùn)動(dòng)，DF與AB相交于點(diǎn)M（1）如圖2，連接ME，若EMA=67.5°，求證：DEMAEM；（2）如圖3，在三角板DEF移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿CB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，當(dāng)

15、三角板DEF的頂點(diǎn)D移動(dòng)到AB邊上時(shí)，三角板DEF停止移動(dòng)，點(diǎn)N也隨之停止移動(dòng)連接FN，設(shè)四邊形AFNB的面積為y，在三角板DEF運(yùn)動(dòng)過程中，y存在最小值，請(qǐng)求出y的最小值；（3）在（2）的條件下，在三角板DEF運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某時(shí)刻，使E、M、N三點(diǎn)共線，若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)AF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)直接回答10以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作等腰RtABC，等腰RtADE，其中BAC=DAE=90°，如圖1所示放置，使得一直角邊重合，連接BD、CE（1）試判斷BD、CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）延長(zhǎng)BD交CE于點(diǎn)F試求BFC的度數(shù)；（3）把兩個(gè)等腰直角三角形按如圖2放置，（1）、（2）中的結(jié)

16、論是否仍成立？請(qǐng)說明理由11已知在RtABC中，ACB=90°，AC=BC，BMCM于M，且CMBM（1）如圖1，過點(diǎn)A作AFCM于F，直線寫出線段BM、AF、MF的數(shù)量關(guān)系是 （2）如圖2，D為BM延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連AD以AD為斜邊向右側(cè)作等腰RtADE，再過點(diǎn)E作ENBM于N，求證：CM+EN=MN；（3）將（2）中的ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角后，連BD取BD中點(diǎn)P，連CP、EP，作出圖形，試判斷CP、EP的數(shù)量和位置關(guān)系并證明12探究與發(fā)現(xiàn)：如圖，在RtABC中，BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D在底邊BC上，AE=AD，連結(jié)DE（1）當(dāng)BAD=60°時(shí)，求C

17、DE的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)D在BC （點(diǎn)B、C除外） 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想并探究BAD與CDE的數(shù)量關(guān)系；（3）深入探究：若BAC90°，試就圖探究BAD與CDE的數(shù)量關(guān)系13（12分）（2015秋萬州區(qū)期末）在ABC中，AB=AC，BGAC于G，DEAB于E，DFAC于F（1）如圖1，若D是BC邊上的中點(diǎn)，A=45°，DF=3，求AC的長(zhǎng)；（2）如圖2，D是線段BC上的任意一點(diǎn)，求證：BG=DE+DF；（3）在圖3，D是線段BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，猜想DE、DF與BG的關(guān)系，并證明14（2015秋泰州校級(jí)期中）閱讀理解：（1）如圖（1），等邊ABC內(nèi)有一點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離分別為

18、3，4，5，則APB= ，分析：由于PA，PB不在一個(gè)三角形中，為了解決本題我們可以將ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到ACP處，此時(shí)ACP ，這樣，就可以利用全等三角形知識(shí)，將三條線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中從而求出APB的度數(shù)（2）請(qǐng)你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：已知如圖（2），ABC中，CAB=90°，AB=AC，E、F為BC上的點(diǎn)且EAF=45°，試猜想分別以線段BE、EF、CF為邊能構(gòu)成一個(gè)三角形嗎？若能，試判斷這個(gè)三角形的形狀15（2015秋孝感月考）如圖，在RtACB中，ACB=90°，ABC=30°，AC=1，點(diǎn)D為AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以BD為邊作等邊BDE，設(shè)CD=n（1）當(dāng)n=1時(shí)，EA的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于F，則AF= ；（2）當(dāng)0n1時(shí)