空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

1、第八章立體幾何初步 第1課時(shí) 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系對應(yīng)學(xué)生用書（文）9799頁<（理）99101頁 丿-' 課前 ' 考點(diǎn)引領(lǐng)八I二考情分析考點(diǎn)新知理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系；會(huì)用數(shù)學(xué) 語言規(guī)范的表述空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān) 系了解公理1、2、3及公理3的推論1、2、 3,并能正確判定；了解平行公理和等角定理.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義， 能判疋空間兩直線的位置關(guān)系；了解異面直 線所成角蓼回歸教材HI II.I UIALM AI 1. （原創(chuàng)）已知點(diǎn)P、Q平面a,將命題“ P a, Q? a T PQ? a ”改成文字?jǐn)⑹鍪谴鸢福喝酎c(diǎn)P在平面a內(nèi)，點(diǎn)Q不

2、在平面a內(nèi)，則直線PQ不在平面a內(nèi). 解析：正確理解符號語言表達(dá)空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，能正確進(jìn)行自然語言、 圖形語言和符號語言的相互轉(zhuǎn)化.2. （原創(chuàng)）有下列命題：空間四點(diǎn)共面，則其中必有三點(diǎn)共線；空間四點(diǎn)不共面，則其中任何三點(diǎn)不共線； 空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則此四點(diǎn)共面；空間四點(diǎn)中任何三點(diǎn)不共線，則此四點(diǎn)不共面其中正確的命題是 .（填序號）答案：解析：只須四點(diǎn)共面，任何三點(diǎn)不必共線；正確；錯(cuò)誤.3. （必修2P28習(xí)題1改編）在正方體 ABCD1BQD中，與AD平行的對角線有 條.解析：與AD平行的對角線僅有答案：14.(BC CD(1)(2).時(shí)，四邊形EFGH為菱形； .時(shí)，四邊

3、形EFGH是正方形.必修2P31練習(xí)12改編）如圖所示，在三棱錐 A- BCD中，E, F, G, H分別是棱AB, DA的中點(diǎn)，貝U 當(dāng)AC, BD滿足條件 當(dāng)AC, BD滿足條件答案：AC= BD AC= BD且 AC丄 BD解析：易知 EH/ BD/ FQ 且 EH= *BD= FQ 同理 EF/ AC/ HG 且 EF= *AC= HG 顯然四邊形EFGH為平行四邊形.要使平行四邊形EFGH為菱形需滿足 EF= EH,即AC= BD要使四邊形EFGH為正方形需滿足 EF= EH且EF丄EH,即AC= BD且AC丄BD.5.（必修2P24練習(xí)3改編）設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn)，a , b表示兩條直線

4、,a、B表示兩個(gè)平面, 給出下列四個(gè)命題,其中正確的命題是 .（填序號） P a , P a T a 1 a ； a A b = P , b i 3 T a i 3 ； a / b , a i a , P b , P a T b i a ； aA 3 = b, P a , P 3 T P b.答案：解析：當(dāng)a A a= P時(shí)，P a , P a ,但a? a ,：錯(cuò)；a A 3= P時(shí)，錯(cuò)；如圖，/ a / b, P b,. P ? a,A 由直線a與點(diǎn)P確定唯一平面 a又a / b,由a與b確定 唯一平面 Y但丫經(jīng)過直線a與點(diǎn)P,.丫與a重合， b ia ,故正確；兩個(gè)平面的 公共點(diǎn)必在其交

5、線上，故正確.7D識清單小II汕人忙1. 公理1:如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有點(diǎn)都在這個(gè) 平面內(nèi).公理2:如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他的公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合 是一條直線.公理3:經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論2:經(jīng)過兩條相交直線，有推論3:經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.-2. 空間兩條直線的位置關(guān)系宀護(hù)¥方 位置大糸共面情況公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相交直線在冋一平面內(nèi)1平行直線在冋一平面內(nèi)沒有異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)沒有3. 平行直線的公理及定理(1) 公理4:平行于同

6、一條直線的兩條直線平彳_(2) 定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同， 那么這兩個(gè)角相等.備課札記課中、技巧點(diǎn)撥.題很粘選題型1平面的基本性質(zhì)例1 畫一個(gè)正方體 ABCDAiCD，再畫出平面 ACD與平面BDC的交線，并且說明理由. 解：F CD、F平面 ACD、E AC E平面 ACD、E BD E平面 BDG、F DC、F 平面DCB,則EF為所求.MI,備選變式(教師專享)在長方體ABCDABi C D 的 AC面上有一點(diǎn)P(如圖所示，其中P點(diǎn)不在對角線BiD) 上.(1 )過P點(diǎn)在空間作一直線I，使I /直線BD應(yīng)該如何作圖？并說明理由；(2)過P點(diǎn)在平面Ai C

7、內(nèi)作一直線m使m與直線BD成a角，其中a(0,于，這樣的直線有幾條，應(yīng)該如何作圖？解：(1 )連結(jié)BD, BD,在平面AQ內(nèi)過P作直線I，使I / BD,貝U I即為所求作的直 線，如圖(a) .I BQ/ BD, I / BDi,. I /直線 BD.圖(a)/ BD/ B1D, a直線m與直線BD也成a角，即直線m為所求作的直線，如圖(b).由圖知m與BD是異面直線，且m與BD所成的角a0n當(dāng)a="2時(shí)，這樣的直線 m有且只有一條，當(dāng)naM_2時(shí)，這樣的直線 m有兩條.1/ BAD=Z FAB= 90°, BC/ 石題型2共點(diǎn)、共線、共面問題例2)如圖，四邊形ABEF和

8、 ABCD都是直角梯形, 1AD BE/ =2"FA, G H分別為 FA FD的中點(diǎn).(1) 證明：四邊形BCHG1平行四邊形.(2) C、D F、E四點(diǎn)是否共面？為什么？B C1 1(1) 證明：由已知 FG= GA FHk HD 可得 GH/ nqAD.又 BC/ nqAD,二 GH / =BC； 四 邊形BCH(為平行四邊形.1(2) 解：(解法1)由BE/ =2AF, G為FA中點(diǎn)知，BE/ =FQ / 四邊形BEFG為平行四 邊形. EF / BG.由(1)知 BG/ CH, / EF / CH, / EF 與 CH共面.又 D FH,. C、D F、E四點(diǎn)共面.1(解法

9、2)如圖，延長FE、DC分別與AB交于點(diǎn) M M； / BE / AF,a B為MA中點(diǎn).1/ BC / =2AD,. B 為 MA 中點(diǎn). M 與 M重合，即 FE與 DC交于點(diǎn) M(M) . C、 D F、E四點(diǎn)共面.變式訓(xùn)練如圖，在正方體 ABCD-A1BC1D中，對角線 AQ與平面BDC交于點(diǎn)O, AC BD交于點(diǎn) M E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA的中點(diǎn).求證：(1) C 1、O M三點(diǎn)共線；(2) E、C D、F四點(diǎn)共面.證明：(1) / C1、O M平面BDC,又G、O M平面 AACC,由公理2知，點(diǎn) C、 O M在平面BDC與平面AACC的交線上， C 1、O M三點(diǎn)共線.(2)連

10、結(jié) EF, A B C、D,v E、F 分別是 AB, AA 的中點(diǎn)， EF / AB. / A 1B/ CD, EF / CD. E、C D、F 四點(diǎn)共面.題型3空間直線位置關(guān)系問題例3 已知A是厶BCD平面外的一點(diǎn)，E, F分別是BC, AD的中點(diǎn).(1) 求證：直線EF與BD是異面直線；(2) 若AC丄BD AC= BD,求EF與BD所成的角.（1）證明：假設(shè)EF與BD不是異面直線，則 EF與BD共面，從而 DF與BE共面，即AD 與BC共面，所以A、B C D在同一平面內(nèi)，這與 人是厶BCD平面外的一點(diǎn)相矛盾.故直線EF與BD是異面直線.（2）解：取CD的中點(diǎn)G連結(jié)EG FG,則EG/

11、 BD,所以相交直線 EF與EG所成的角，1即為異面直線 EF與BD所成的角.在 Rt EGF中，由EG= FG= -AC求得/ FEG= 45°,即異面直線EF與BD所成的角為45 備選變式（教師專享）已知四棱錐PABCD勺頂點(diǎn)P在底面的射影恰好是底面菱形ABCD勺兩條對角線的交點(diǎn)，若AB= 3, PB= 4，則PA長度的取值范圍為 .答案：（7, 5）解析：由題意知 POL平面 ABCD AB= 3, PB= 4,設(shè) PO= h, OB= x，貝U PA2= h2+ 9 x2 =16 x2 x2 + 9= 25 2x2，因?yàn)?0<x<3，所以 7<25 2x2&

12、lt;25,所以.7<PA<5.'新題椎祥"1. （2013福州檢測）給出下列四個(gè)命題： 沒有公共點(diǎn)的兩條直線平行； 互相垂直的兩條直線是相交直線； 既不平行也不相交的直線是異面直線； 不同在任一平面內(nèi)的兩條直線是異面直線.其中正確命題是.（填序號）答案：解析：沒有公共點(diǎn)的兩條直線平行或異面， 故命題錯(cuò)；互相垂直的兩條直線相交或異 面，故命題錯(cuò)；既不平行也不相交的直線是異面直線， 不同在任一平面內(nèi)的兩條直線是異 面直線，命題、正確.2. 下列命題錯(cuò)誤的是.（填序號） 如果平面a丄平面3,那么平面a內(nèi)一定存在直線平行于平面3； 如果平面a不垂直于平面3,那么平面a內(nèi)

13、一定不存在直線垂直于平面3； 如果平面 a丄平面 y平面3丄平面 Y, a A 3 =丨，那么直線l丄平面丫； 如果平面a丄平面3,那么平面a內(nèi)所有直線都垂直于平面3答案：解析：根據(jù)長方體模型可知，是錯(cuò)的.DE BE, EF, EC的中點(diǎn)，在這3. 如圖是正四面體的平面展開圖， 個(gè)正四面體中： GH與EF平行； BD與MN為異面直線； GH與MN成60°角； DE與MN垂直.（填序號）以上四個(gè)命題中，正確命題的是 答案：解析：還原成正四面體知 GH與EF為異面直線，BD與 MN為異面直線，GH與 MN成 60 ° 角，DEI MN.4.若直線I不平行于平面 a,且I ? a

14、 ,則下列命題正確的是 內(nèi)的所有直線與I異面； 內(nèi)不存在與I平行的直線； 內(nèi)存在唯一的直線與I平行； 內(nèi)的直線與I都相交.（填序號）5. a答案：從正方體ABCD- A1B1C1D的8個(gè)頂點(diǎn)中任意取 4個(gè)不同的頂點(diǎn)，這 4個(gè)頂點(diǎn)可能是: 矩形的4個(gè)頂點(diǎn)； 每個(gè)面都是等邊三角形的四面體的4個(gè)頂點(diǎn)；每個(gè)面都是直角三角形的四面體的4個(gè)頂點(diǎn)；有三個(gè)面是等腰直角三角形，有一個(gè)面是等邊三角形的四面體的個(gè).4個(gè)頂點(diǎn).其中正確的結(jié)論有答案：4解析：四邊形 ABCD適合（1），四面體ACBD適合，DBG D適合，DACD適合， 因此正確的結(jié)論有 4個(gè).遐藝庫（京）1.若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線

15、”是“這兩條直線沒有公共點(diǎn)” 的條件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”線，）答案：充分不必要 解析：若兩條直線無公共點(diǎn)，則兩條直線可能異面，也可能平行. 則兩條直線必?zé)o公共點(diǎn).若兩條直線是異面直2. （2013南昌模擬）若P是兩條異面直線l、m外的任意一點(diǎn)，則下列命題中假命題的 .（填序號）P有且僅有一條直線與P有且僅有一條直線與P有且僅有一條直線與P有且僅有一條直線與是 答案： 解析：是假命題，因?yàn)檫^點(diǎn)過點(diǎn) 過點(diǎn) 過點(diǎn) 過點(diǎn)l、 l、 l、 l、m都平行; m都垂直; m都相交; m都異面.P不存在一條直線與I、m都平行；是真命題，因?yàn)檫^ 點(diǎn)P有且僅有一條直

16、線與I、m都垂直，這條直線與兩異面直線的公垂線平行或重合；是 假命題，因?yàn)檫^點(diǎn) P也可能沒有一條直線與I、m都相交；是假命題，因?yàn)檫^點(diǎn)P可以作出無數(shù)條直線與I、PQRm都平行的平面上.3. 如圖，在四面體 ABCD中作截面 交于N, RR DC的延長線交于 K.求證：M、N、K三點(diǎn)共線.證明：/ M RQ直線RQ1平面與平面BCD勺一個(gè)公共點(diǎn)，即 M在平面同理可證：N、K也在I上. M、4. 已知：a、若PQ CB的延長線交于 M RQ DB的延長線PQR PQR與平面BCD的交線I上.N、K三點(diǎn)共線.b、c、d是不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線，求證： 不妨設(shè)a、b、M BC,直線BC 1平面BC

17、D二M是平面PQR證明：證法1:若當(dāng)四條直線中有三條相交于一點(diǎn),a、b、c、d 共面.c相交于一點(diǎn)A, 直線d和A確定一個(gè)平面 a又設(shè)直線d與a、b、c分別相交于 E、F、G則A、E、F、G a .A E a,% 4A、E a, a a .同理可證 b 1a, c 1 a . a、b、c、d 在同一平面 a 內(nèi).證法交直線 c 12:當(dāng)四條直線中任何三條都不共點(diǎn)時(shí)，如圖.I b確定一個(gè)平面aa .同理可證d 1 a . a、b、c、d四條直線在同一平面這四條直線兩兩相交，則設(shè)相 設(shè)直線c與a、b分別交于點(diǎn) H K,貝U H、K a.又H K c, a內(nèi).'、S1.證明點(diǎn)線共面的常用方法：一是依據(jù)題中所給條件先確定一個(gè)平面，然后證明其余的點(diǎn)或線都在面內(nèi)；二