2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)人教A版必修5學(xué)案：1.1.1　正弦定理 Word版含解析

1、第一章 解三角形1.1正弦定理和余弦定理11.1正弦定理目標(biāo) 1.了解正弦定理的推導(dǎo)過(guò)程，掌握正弦定理及其基本應(yīng)用；2.能用正弦定理解三角形，并能判斷三角形的形狀重點(diǎn) 應(yīng)用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，解決三角形問(wèn)題難點(diǎn) 正弦定理的理解及推導(dǎo)知識(shí)點(diǎn)一正弦定理 填一填 答一答1在正弦定理中，三角形的各邊與其所對(duì)角的正弦的比值等于多少？與該三角形外接圓的直徑有什么關(guān)系？提示：這個(gè)比值恰好等于該三角形外接圓的直徑2r，即2r，其中r是該三角形外接圓的半徑2在abc中，a4b，則4.解析：由正弦定理，得4.知識(shí)點(diǎn)二解三角形 填一填1一般地，把三角形的三個(gè)角a，b，c和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素2已知

2、三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形答一答3利用正弦定理能解什么條件下的三角形？提示：正弦定理的等式中有四個(gè)量，所以知其中三個(gè)，可求第四個(gè)因此，知兩角及一邊可解三角形；知兩邊及一邊的對(duì)角也可解三角形4在abc中，已知b3，c3，b30°，判斷三角形解的個(gè)數(shù)提示：由正弦定理和已知條件，得sinc，c60°或c120°且均符合題意若c60°，則a90°，于是a6.若c120°，則a30°，于是ab3.c60°，a90°，a6或c120°，a30°，a3.三角形有兩個(gè)解知識(shí)點(diǎn)三 正弦

3、定理的變形公式 填一填a，b，c；a2rsina，b2rsinb，c2rsinc；sina，sinb，sinc；abcsinasinbsinc.其中，r為abc外接圓的半徑這些常見(jiàn)的公式的變形形式應(yīng)熟練掌握，在解決具體問(wèn)題時(shí)，根據(jù)不同的題設(shè)條件靈活選用不同的變形公式答一答5正弦定理的變形公式的作用是什么？正弦定理的適用范圍是什么？提示：由正弦定理的變形公式可以實(shí)現(xiàn)三角形中邊與角之間的相互轉(zhuǎn)化，正弦定理對(duì)任意的三角形都成立6在abc中，a>b與sina>sinb的關(guān)系怎樣？提示：在abc中，若a>b，則a>b.由正弦定理得2rsina>2rsinb，即sina>

4、;sinb.若sina>sinb，則2rsina>2rsinb(r是abc的外接圓半徑)由正弦定理得a>b.綜上所述，在abc中，a>b與sina>sinb等價(jià)類型一已知兩角和任意一邊，解三角形例1在abc中，已知b30°，c105°，b4，解三角形分析由三角形的內(nèi)角和定理可求a的度數(shù)根據(jù)正弦定理可求a，c.解因?yàn)閎30°，c105°，所以a180°(bc)180°(30°105°)45°.由正弦定理，得，解得a4，c2()已知兩角及一邊解三角形的解題方法,1.若所給邊是已知

5、角的對(duì)邊，可先由正弦定理求另一邊，再由三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角，最后由正弦定理求第三邊.,2.若所給邊不是已知角的對(duì)邊，則先由三角形內(nèi)角和定理求第三個(gè)角，再由正弦定理求另外兩邊.變式訓(xùn)練1在abc中，已知a8，b60°，c75°，解三角形解：a180°(bc)180°(60°75°)45°.由得b4.由得c4(1)所以a45°，b4，c4(1)類型二已知兩邊及一邊的對(duì)角，解三角形例2下列三角形是否有解？有解的作出解答(1)a7，b8，a105°；(2)b10，c5，c60°；(3)a2，b

6、6，a30°.分析利用三角形中大邊對(duì)大角定理以及結(jié)合有解無(wú)解的圖形來(lái)考慮解(1)a7，b8，a<b，a105°>90°，本題無(wú)解(2)b10，c5，b<c，c60°<90°，本題有一解sinb，b45°，a180°(bc)75°.a5(1)(3)a2，b6，a<b，a30°<90°，又bsina6sin30°3，a>bsina，本題有兩解由正弦定理得：sinb，b60°或120°，當(dāng)b60°時(shí)，c90°，

7、c4；當(dāng)b120°時(shí)，c30°，c2.b60°，c90°，c4或b120°，c30°，c2.本例屬于已知兩邊及其中一邊的對(duì)角求解三角形的類型此類問(wèn)題解的情況如下：a為鈍角a為直角a為銳角a>b一解一解一解ab無(wú)解無(wú)解一解a<b無(wú)解無(wú)解a>bsina兩解absina一解a<bsina無(wú)解 變式訓(xùn)練2(1)在abc中，a60°，a4，b4，則b(c)a45°或135° b135°c45° d以上答案都不對(duì)解析：由，得sinb.a>b，a>b，而a60&#

8、176;，b為銳角，b45°.(2)在abc中，a，b，b45°，則a60°或120°.解析：由正弦定理，得sina.a>b，a60°或a120°.類型三正弦定理的應(yīng)用命題視角1：正弦定理中的比例性質(zhì)例3在abc中，已知a60°，a3，則_.分析本題所求問(wèn)題是關(guān)于三角形邊及角正弦值的比值問(wèn)題，結(jié)構(gòu)勻稱，易于聯(lián)想正弦定理解析方法一(等比性質(zhì))：由正弦定理，可得2.方法二(邊化角)：由正弦定理2r，可得2r.22r，2.方法三(角化邊)：由正弦定理2r，可得2r.22r，2.答案2由于正弦定理是比例形式的連等式，因此通常與

9、等比性質(zhì)聯(lián)系可設(shè)：2rk(k>0)，得aksina，bksinb，cksinc；abcsinasinbsinc等結(jié)論，利用它們來(lái)解決三角形中的比值問(wèn)題變式訓(xùn)練3在abc中，(bc)(ca)(ab)456，則sinasinbsinc753.解析：(bc)(ca)(ab)456，則存在常數(shù)k(k>0)，使得bc4k，ca5k，ab6k，解得ak，bk，ck.則有abc753，所以sinasinbsincabc753.命題視角2：判斷三角形的形狀例4在abc中，a，b，c分別為內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊，且(a2b2)sin(ab)(a2b2)sin(ab)，試判斷abc的形狀分析注意到a，b

10、在條件式中是齊次的，因此可以考慮利用正弦定理將邊化為角，通過(guò)角的特征或者關(guān)系來(lái)判斷三角形的形狀解因?yàn)?a2b2)sin(ab)(a2b2)sin(ab)，所以b2sin(ab)sin(ab)a2sin(ab)sin(ab)，所以2sinacosb·b22cosasinb·a2，即a2cosasinbb2sinacosb.由正弦定理知a2rsina，b2rsinb，所以sin2acosasinbsin2bsinacosb，又sina·sinb0，所以sinacosasinbcosb，所以sin2asin2b.在abc中，0<2a<2，0<2b<

11、;2，所以2a2b或2a2b.所以ab或ab.所以abc為等腰三角形或直角三角形1.判斷三角形的形狀，可以從三邊的關(guān)系入手，也可以從三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系入手，從條件出發(fā)，利用正弦定理進(jìn)行代換、轉(zhuǎn)化，呈現(xiàn)出邊與邊的關(guān)系或求出角與角的關(guān)系或大小，從而作出準(zhǔn)確判斷.2.判斷三角形的形狀，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別.變式訓(xùn)練4已知a，b，c分別是abc的內(nèi)角a，b，c所對(duì)的邊，滿足，則abc的形狀是(c)a等腰三角形 b直角三角形c等邊三角形 d等腰直角三角形解析：方法一：由正弦定理得，又，得，即ta

12、natanbtanc，所以abc，即abc為等邊三角形方法二：由a2rsina，b2rsinb，c2rsinc(r為abc外接圓的半徑)，得條件等式可化為，得sinacosbcosasinb，sinbcosccosbsincsin(ab)0，sin(bc)0ab，bcabc，即abc為等邊三角形1在abc中，若a60°，b45°，bc3，則ac(b)a4 b2c. d.解析：由正弦定理得，即，解得ac2.2在abc中，若abc237，則ab等于(c)a12 b23c1 d1解析：由abc237及abc180°，得a30°，b45°.由正弦定理，

13、得absinasinb1.3在abc中，a，b分別是abc的內(nèi)角a，b所對(duì)的邊若b45°，ba，則a30°.解析：由正弦定理得，所以，所以sina.ba，a<b，a<b，a30°.4在abc中，a，b2，b45°，則c75°或15°.解析：由正弦定理，得sina.a>b，a60°或a120°，c75°或15°.5在abc中，lg(sinasinc)2lgsinblg(sincsina)，判斷abc的形狀解：由題意得(sinasinc)(sincsina)sin2b，即sin2asin2csin2b.由正弦定理得a2c2b2，即a2b2c2，所以abc是直角三角形本課須掌握的兩大問(wèn)題1對(duì)正弦定理的理解(1)結(jié)構(gòu)形式正弦定理的關(guān)系式是分子為邊長(zhǎng)，分母為該邊所對(duì)角的正弦的分式連等式，實(shí)際上是三個(gè)邊角關(guān)系式：，.(2)定理本質(zhì)正弦定理指出了任意三角形中三條邊與它們所對(duì)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式由正弦函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角的一