鉛錘高求三角形面積法

1、鉛錘高求三角形面積法 作三角形鉛錘高就是解決三角形面積問題得一個好辦法 -二次函數(shù)教學反思 最近教學二次函數(shù)遇到很多求三角形面積得問題,經(jīng)過研究,我發(fā)現(xiàn)作三角形鉛錘高就是解決三角形面積問題得一個好辦法。在課堂上我還風趣地說遇到"歪歪三角形中間砍一刀',同學們很快掌握了這種方法現(xiàn)總結(jié)如下:如圖 1,過 abc 得三個頂點分別作出與水平線垂直得三條直線,外側(cè)兩條直線之間得距離叫 abc 得"水平寬'( a ),中間得這條直線在 abc 內(nèi)部線段得長度叫 abc 得"鉛垂高( h )'、我們可得出一種計算三角形面積得新方法:,即三角形面積等于水平

2、寬與鉛垂高乘積得一半、 例 例 1. (203 13 深圳) )如圖,在直角坐標系中,點 a 得坐標為(2,0),連結(jié) oa,將線段 oa 繞原點 o 順時針旋轉(zhuǎn) 120,得到線段 ob、(1)求點 b 得坐標;(2)求經(jīng)過 a 、 o 、 b 三點得拋物線得解析式;(3)在(2)中拋物線得對稱軸上就是否存在點 c,使boc 得周長最小？若存在,求出點 c 得坐標;若不存在,請說明理由、(4)如果點 p 就是(2)中得拋物線上得動點,且在 x 軸得下方,那么pab 就是否有最大面積？若有,求出此時 p 點得坐標及pab 得最大面積;若沒有,請說明理由、 解:(1)b(1,) (2)設(shè)拋物線得解

3、析式為 y=ax(x+a),代入點 b(1, ),得,因此 (3)如圖,拋物線得對稱軸就是直線 x=1,當點 c 位于對稱軸與線段 ab 得交點時,boc 得周長最小、 設(shè)直線 ab 為 y=kx+b、所以,因此直線 ab 為,當 x=1 時,因此點 c 得坐標為(1,/3)、 (4)如圖,過 p 作 y 軸得平行線交 ab 于 d、 當 x=時,pab 得面積得最大值為,此時、 例 例 2.(2021 益陽) 如圖 2,拋物線頂點坐標為點 c(1,4),交 x 軸于點 a(3,0),交 y 軸于點 b、(1)求拋物線與直線 ab 得解析式;(2)點 p 就是拋物線(在第一象限內(nèi))上得一個動點

4、,連結(jié) pa,pb,當 p 點運動到頂點 c 時,求cab 得鉛垂高 cd 及;(3)就是否存在一點 p,使 s pab =s cab ,若存在,求出 p 點得坐標;若不存在,請說明理由、 解:(1)設(shè)拋物線得解析式為:把 a(3,0)代入解析式求得所以設(shè)直線 ab 得解析式為:由求得 b 點得坐標為 把,代入中 解得:所以 (2)因為 c 點坐標為(,4)所以當 x時,y 1 4,y 2 2 所以 cd4-22(平方單位) (3)假設(shè)存在符合條件得點 p,設(shè) p 點得橫坐標為 x,pab 得鉛垂高為 h,則由 s pab =s cab 得化簡得:解得,將代入中,解得 p 點坐標為 b c 鉛

5、垂高 水平寬 h a 圖 1 c b a o y x d b a o y x p 圖-2 x c o y a b d 1 1 (3)xyabcpe oxyabcqo(2)例 例 3.(205 15 江津) )如圖,拋物線與 x 軸交于 a(1,0),b(- 3,0)兩點,(1)求該拋物線得解析式;(2)設(shè)(1)中得拋物線交 y 軸于 c 點,在該拋物線得對稱軸上就是否存在點 q,使得qac 得周長最小？若存在,求出 q 點得坐標;若不存在,請說明理由、(3)在(1)中得拋物線上得第二象限上就是否存在一點 p,使 pbc 得面積最大？,若存在,求出點 p 得坐標及 pbc 得面積最大值、若沒有,

6、請說明理由、 解:(1)將 a(1,0),b(3,0)代中得 拋物線解析式為: (2)存在。 理由如下:由題知 a、b 兩點關(guān)于拋物線得對稱軸對稱 直線 bc 與得交點即為 q 點, 此時aqc 周長最小 c 得坐標為:(0,3) 直線 bc 解析式為: q 點坐標即為得解 q(1,2) (3)答:存在。理由如下: 設(shè) p 點若有最大值,則就最大, 當時,最大值 最大 當時,點 p 坐標為 同學們可以做以下練習: : 1.(2021 浙江湖州)已知如圖,矩形 oabc 得長 oa=,寬 oc=1,將 aoc 沿 ac 翻折得apc。 (1)填空:pcb=_度,p 點坐標為( , ); (2)若

7、 p,a 兩點在拋物線 y=x 2 +bx+c 上,求 b,c 得值,并說明點 c 在此拋物線上; (3)在(2)中得拋物線 cp 段(不包括 c,p 點)上,就是否存在一點 m, 使得四邊形 mcap 得面積最大？若存在,求出這個最大值及此時 m 點得坐標;若不存在,請說明理由。 2.(湖北省十堰市 2021)如圖, 已知拋物線(a0)與軸交于點 a(1,0)與點 b (3,0),與 y 軸交于點c.(1) 求拋物線得解析式;(2) 設(shè)拋物線得對稱軸與軸交于點 m ,問在對稱軸上就是否存在點 p,使cmp 為等腰三角形？若存在,請直接寫出所有符合條件得點p得坐標;若不存在,請說明理由.(3)

8、 如圖,若點e為第二象限拋物線上一動點,連接 be、ce,求四邊形 boce 面積得最大值,并求此時 e 點得坐標. 圖 圖 3、( 2021 5 年恩施) 如圖 11,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)得圖象與 x 軸交于 a 、 b 兩點, a 點在原點得左 側(cè),b 點得坐標為(3,0),與 y 軸交于 c(0,-3)點, 點 p 就是直線 bc 下方 得拋物線上一動點、 (1)求這個二次函數(shù) 得表達式. (2)連結(jié) po、pc,并把 poc 沿 co 翻折,得到四邊形 popc, 那么就是否存在點 p,使四邊形 popc 為菱形？若存在,請求出 此時點 p 得坐標;若不存在,請說明理由. (3

9、)當點 p 運動到什么位置時,四邊形 abpc 得面積最大并求出此時 p 點得坐標與四邊形 abpc 得最大面積、 解:(1)將 b 、 c 兩點得坐標代入得 解得: 所以二次函數(shù)得表達式為: (2)存在點 p,使四邊形 popc 為菱形.設(shè) p 點坐標為(x,),pp 交 co 于 e 若四邊形 popc 就是菱形,則有 pcpo. 連結(jié) pp 則 pe co 于 e,oe=ec= =. = 解得=,=(不合題意,舍去) p 點得坐標為(,) (3)過點 p 作軸得平行線與 bc 交于點 q,與 ob 交于點 f,設(shè) p(x,),易得,直線bc 得解析式為則 q 點得坐標為(x,x3)、 e

10、b qp oe qp oc ab s s s scpq bpq abc abpc× + × + × = + + =d d d212121四邊形 = 當時,四邊形 abpc 得面積最大 此時 p 點得坐標為,四邊形 abpc 得面積. 25.(2021 綿陽)如圖,拋物線 y = ax 2 + bx + 4 與 x 軸得兩個交點分別為 a(4,0)、b(2,0),與 y 軸交于點 c,頂點為 d.e(1,2)為線段 bc 得中點,bc 得垂直平分線與 x 軸、y 軸分別交于 f、g. (1)求拋物線得函數(shù)解析式,并寫出頂點 d 得坐標; (2)在直線 ef 上求一點

11、 h,使cdh 得周長最小,并求出最小周長; (3)若點 k 在 x 軸上方得拋物線上運動,當 k 運動到什么位置時,efk 得面積最大？并求出最大面積. 【解析】(1)由題意,得 解得,b =1. 所以拋物線得解析式為,頂點 d 得坐標為(1,). (2)設(shè)拋物線得對稱軸與 x 軸交于點 m.因為 ef 垂直平分 bc,即 c 關(guān)于直線 eg 得對稱點為 b,連結(jié) bd 交于ef 于一點,則這一點為所求點 h,使 dh + ch 最小,即最小為 dh + ch = dh + hb = bd =. 而 . cdh 得周長最小值為 cd + dr + ch =. 設(shè)直線 bd 得解析式為 y = k1x + b,則 解得 ,b1 = 3. 所以直線 bd 得解析式為 y =x + 3.由于 bc = 2,ce = bc2 =,rtcegcob, 得 ce : co = cg : cb,所以 cg = 2、5,go = 1、5.g(0,1、5).同理可求得直線 ef 得解析式為 y =x +. 聯(lián)立直線 bd 與 ef 得方程,解得使cdh 得周長最小得點 h(,). (3)如圖所示,設(shè) k(t,),xftxe.過 k 作 x 軸